【数学】湖南省衡阳市耒阳市2024年中考一模数学试题

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考试时间：分钟 满分：分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是符合题意的）(共10题；共30分)
1. 下面四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
2. 一元二次方程的根为（ ）
3. 下列事件属于随机事件的是（ ）
4. 如图，在中， ， 是边上的高， ， 若圆C是以点C为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是（ ）
5. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为 ， 则抛物线的对称轴为直线（ ）
6. 如图，四边形内接于 ， 是直径，连接 ， 若 ， 则的度数为（ ）
7. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
8. 如图，内接于 ， 连接并延长交于点 ， 交于点 ， 若 ， 则的长为（ ）
9. 如图，在等腰中， ， ， 边在轴上，将绕原点逆时针旋转 ， 得到 ， 若 ， 则点的对应点的坐标为（ ）
10. 如图，二次函数的图象与x轴分别交于 ， 两点，与y轴正半轴交于点C，下列判断：①；②；③；④；⑤若 ， 是抛物线上的两个点，则 ． 其中正确的是（ ）
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）(共5题；共15分)
11. 某工厂为了能给市面上提供充足的篮球，第一个季度至第三个季度生产篮球由63200个增加到91008个，若设该工厂平均每季度生产篮球的增长率为x，则可列方程为____________________
12. 如图，有四张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有“速度滑冰”、“冰球”、“单板滑雪”、 ‘冰壶“四种不同的图案，现将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，则该卡片的正面图案恰好是“冰壶”的概率是____________________
13. 二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以为____________________（写出一个值即可）
14. 如图，在等边中， ， 点D为边的中点，将绕点D顺时针旋转 ， 得到 ， 是点A的旋转路径，连接 ， 则图中阴影部分的面积为____________________
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转的过程中点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面积的最小值是____________________.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
三、解答题（共8小题，共75分．解答应写出过程）(共8题；共75分)
16.
（1） 用配方法解方程：；
（2） 用适当的方法解方程： ．
17. 关于x的一元二次方程有实数根．
（1） 求m的取值范围；
（2） 对于m取一个适当值，并求出一元二次方程的根．
18. 如图，平面直角坐标系在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A，B，C的坐标分别是 ， ， ．
（1） 把绕原点O逆时针旋转后得到 ， 画出并写出点的坐标；
（2） 在（1）的基础上，求线段在旋转过程中扫过的面积．
19. 某市利用各类灵活多样宣传方式、各种宣传载体，全方位开展“国家反诈中心”宣传推广工作，截止2021年底，注册人数已达216.39万人．某社区工作人员为调查本社区居民对于“国家反诈中心”的了解情况，进行了一次问卷调查，本次问卷共设置10个问题，每题10分，问卷调查结束后，根据问卷结果分为A：非常了解（分）、B：比较了解（分）、C：基本了解（分）、D：不太了解（分）四个等级并绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据上图提供的信息解答下列问题∶
（1） 扇形统计图中，A等级对应的人数所占百分比为 ▲ ， 补全条形统计图；
（2） 若该社区共有居民8000人，请你估计对于“国家反诈中心”非常了解的人数；
（3） 为更好地开展“国家反诈中心”宣传推广工作，社区准备招募2名宣讲人员，现有问卷结果等级为A的4人报名，其中3人为一组居民，1人为二组居民，若从中随机选取2人，求选取的2人不是同一组居民的概率．
20. 如图，内接 ， 点A为的中点，D为边上一点， ， 是的切线， ， 连接 ．
（1） 求证：；
（2） 当点A到弦的距离为1时，求的值．
21. 近年来，国潮联名款产品层出不穷，大品牌通过在服饰中加入如“大闹天宫”，“故宫” 这样的传统中国元素，唤起年轻一代消费群体的记忆，与这些年轻消费者进行着价值沟通，逐渐构成“国潮力量”．某外贸公司经市场调研，整理出某爆款联名卫衣的售价每增加x元，日销售量的变化情况如下表：
已知该款卫衣的成本价为80元/件，设销售该卫衣的日销售利润为w元．
（1） 求w（元）与x（元）之间的函数关系式；
（2） 在销售过程中，该卫衣售价增加8元后的日销售利润能达到80000元吗，为什么？
（3） 求该卫衣售价增加多少元时，日销售利润最大，最大日利润是多少？
22. 如图，已知抛物线经过三点．
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 若点D为第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值；
（3） 设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标．
23. 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型∶它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．如图① ，在中， ， 点D，E分别在边上， ， 连接 ， M是的中点，连接 ．
（1） 观察猜想
请直接写出与的数量关系和位置关系；
（2） 类比探究
将图① 中绕点C逆时针旋转到图② 的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3） 解决问题
若 ， 将图①中的绕点C逆时针旋转一周时，请直接写出的最大值与最小值．
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A . 常压下，温度降到以下，自来水会结冰
B . 随意打开一本书，书的页码是奇数
C . 任意一个五边形的外角和等于
D . 如果 ， 那么
A . 点D在圆C上，点A，B均在圆C外
B . 点D在圆C内，点A，B均在圆C外
C . 点A，B，D均在圆C外
D . 点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C . 0
D . 9
A . 4
B .
C .
D . 5
A .
B .
C .
D .
A . ②③
B . ①②④
C . ③④⑤
D . ①④⑤
售价(元/件)
日销售量(件)