2022-2023学年广东省佛山市禅城实验高级中学高一（下）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省佛山市禅城实验高级中学高一（下）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）若tan10°＝a，则用a表示sin820°的结果为（ ）
A．-11+a2B．11+a2C．-a1+a2D．a1+a2
2．（5分）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(13，-223)，那么cs（π﹣α）等于（ ）
A．-223B．-13C．13D．223
3．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n
B．α⊥β，m⊥α，n⊥β⇒m⊥n
C．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β
D．α⊥β，α∩β＝m，n∥m⇒n∥α且n∥β
4．（5分）在复平面内，复数z＝﹣2﹣3i，则z对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．（5分）y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一段图象如图，则其解析式为（ ）
A．y=2sin(2x+π6)B．y=2sin(2x-π6)
C．y=2sin(2x+π3)D．y=2sin(2x-π3)
6．（5分）“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建．今天我们所看到的超然楼为2008年重建而成，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景．如图，为测量超然楼的高度，小刘取了从西到东相距104（单位：米）的A，B两个观测点，在A点测得超然楼在北偏东60°的点D处（A，B，D在同一水平面上），在B点测得超然楼在北偏西30°，楼顶C的仰角为45°，则超然楼的高度CD（单位：米）为（ ）
A．26B．263C．52D．523
7．（5分）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法中不正确的是（ ）
A．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n
B．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
C．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
D．若m⊂α，α∥β，n⊥β，则m⊥n
8．（5分）若tanθ＝2，则sinθ(1-sin2θ)sinθ-csθ=（ ）
A．25B．-25C．65D．-65
二、多选题
（多选）9．（5分）下列关于圆柱的说法中，正确的是（ ）
A．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的两个圆柱是两个不同的圆柱
B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D．以矩形的一组对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转180°而形成的面所围成的几何体是圆柱
（多选）10．（5分）下列四个命题中，错误命题的是（ ）
A．垂直于同一条直线的两条直线相互平行
B．垂直于同一个平面的两条直线相互平行
C．垂直于同一条直线的两个平面互相平行
D．垂直于同一个平面的两个平面互相平行
（多选）11．（5分）如图所示，在4×4的方格中，点O，A，B，C均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是（ ）
A．OB→=OA→+OC→B．|OA→|=|OC→|=12|OB→|
C．AC→=OB→-2OC→D．OA→⋅OB→=OC→⋅OB→
（多选）12．（5分）函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．直线x=-2π3是函数f（x）图像的一条对称轴
B．函数f（x）的图像关于点(-π6+kπ2，0)，k∈Z对称
C．函数f（x）的单调递增区间为[-5π12+kπ，π12+kπ]，k∈Z
D．将函数f（x）的图像向右平移π12个单位得到函数g(x)=sin(2x+π6)的图像
三、填空题
13．（5分）已知sin(α+π2)=23，则cs2α＝ ．
14．（5分）已知sinα⋅csα=38，且π4＜α＜π2，则csα﹣sinα＝ ．
15．（5分）底面半径为1，高为4的圆柱的侧面积是 ．
16．（5分）如图是一体积为72的正四面体，连接两个面的重心E、F，则线段EF的长是 ．
四、解答题
17．（10分）求函数y＝sinx+csx，x∈[-5π12，3π4]的最值，并指出相应x的值．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB+3bcs（B+C）＝0，a=19．
（1）求A；
（2）若b＝2，求△ABC的面积．
19．（12分）已知函数f(x)=2cs2x2+3sinx+a-1的最大值为1．
（1）求函数f（x）的单调递减区间．
（2）若x∈[0，π2]，求函数f（x）的值域．
20．（12分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝22．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求平面PCD和平面ABCD夹角的余弦值的大小．
21．（12分）已知M、N分别是底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD的棱AB、PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE．求证：
（1）MN∥平面PAD；
（2）MN∥PE．
22．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AB的中点，AB＝2，AA1＝3．
（1）求证：平面A1CD⊥平面ABB1A1；
（2）求点A到平面A1CD的距离．
2022-2023学年广东省佛山市禅城实验高级中学高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．（5分）若tan10°＝a，则用a表示sin820°的结果为（ ）
A．-11+a2B．11+a2C．-a1+a2D．a1+a2
【解答】解：∵tan10°＝a，
∴sin820°＝sin（2×360°+100°）＝sin100°＝sin（90°+10°）＝cs10°=11+tan210°=11+a2．
故选：B．
2．（5分）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(13，-223)，那么cs（π﹣α）等于（ ）
A．-223B．-13C．13D．223
【解答】解：∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(13，-223)，
∴由任意角的三角函数的定义可得，csα=13，
则cs（π﹣α）＝﹣csα=-13．
故选：B．
3．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n
B．α⊥β，m⊥α，n⊥β⇒m⊥n
C．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β
D．α⊥β，α∩β＝m，n∥m⇒n∥α且n∥β
【解答】解：m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，
对于A，α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m与n相交、平行或异面，故A错误；
对于B，由面面垂直和线面垂直的性质得：
α⊥β，m⊥α，n⊥β⇒m⊥n，故B正确；
对于C，m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α与β相交或平行，故C错误；
对于D，α⊥β，α∩β＝m，n∥m⇒n∥α或n⊂α且n∥β或n⊂β，故D错误．
故选：B．
4．（5分）在复平面内，复数z＝﹣2﹣3i，则z对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：∵z＝﹣2﹣3i，
∴z=-2+3i，
∴z对应的点（﹣2，3）位于第二象限．
故选：B．
5．（5分）y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一段图象如图，则其解析式为（ ）
A．y=2sin(2x+π6)B．y=2sin(2x-π6)
C．y=2sin(2x+π3)D．y=2sin(2x-π3)
【解答】解：T＝4（7π12-π3）＝π=2πω，∴ω＝2，
根据图象可得函数最大值为2，则A＝2，
点（7π12，0）对应五点作图的第三个点，
则2×7π12+φ＝π，∴φ=-π6，
则函数的解析式为：y＝2sin（2x-π6）．
故选：B．
6．（5分）“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建．今天我们所看到的超然楼为2008年重建而成，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景．如图，为测量超然楼的高度，小刘取了从西到东相距104（单位：米）的A，B两个观测点，在A点测得超然楼在北偏东60°的点D处（A，B，D在同一水平面上），在B点测得超然楼在北偏西30°，楼顶C的仰角为45°，则超然楼的高度CD（单位：米）为（ ）
A．26B．263C．52D．523
【解答】解：由题意可得：∠BAD＝30°，∠ABD＝60°，∠CBD＝45°，AB＝104（米），
在△ABD中，可得∠ADB＝90°，则BD=AB⋅sin∠BAD=104×12=52（米），
在Rt△BCD中，可得△BCD为等腰直角三角形，即DC＝BD＝52（米）．
故选：C．
7．（5分）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法中不正确的是（ ）
A．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n
B．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
C．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
D．若m⊂α，α∥β，n⊥β，则m⊥n
【解答】解：若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊥β，则m∥n，故A正确；
若m∥α，α⊥β，则m⊂β或m∥β或m与β相交，相交也不一定垂直，故B错误；
若m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n∥α，又n⊥β，则α⊥β，故C正确；
若m⊂α，α∥β，则m∥β，又n⊥β，则m⊥n，故D正确．
故选：B．
8．（5分）若tanθ＝2，则sinθ(1-sin2θ)sinθ-csθ=（ ）
A．25B．-25C．65D．-65
【解答】解：sinθ(1-sin2θ)sinθ-csθ=sinθ(sinθ-csθ)2sinθ-csθ=sinθ（sinθ﹣csθ）=sin2θ-sinθcsθsin2θ+cs2θ=tan2θ-tanθtan2θ+1=4-24+1=25．
故选：A．
二、多选题
（多选）9．（5分）下列关于圆柱的说法中，正确的是（ ）
A．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的两个圆柱是两个不同的圆柱
B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D．以矩形的一组对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转180°而形成的面所围成的几何体是圆柱
【解答】解：由旋转体的定义可知，故选项A正确；
由圆柱的结构特征可知，用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面，故选项B正确；
用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面不是圆面，故选项C错误；
由旋转体的定义可知，选项D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（5分）下列四个命题中，错误命题的是（ ）
A．垂直于同一条直线的两条直线相互平行
B．垂直于同一个平面的两条直线相互平行
C．垂直于同一条直线的两个平面互相平行
D．垂直于同一个平面的两个平面互相平行
【解答】解：对于A，垂直于同一直线的两条直线相交、平行或异面，故A错误；
对于B，由线面垂直的性质得垂直于同一个平面的两条直线相互平行，故B正确；
对于C，由面面平行的判定定理得垂直于同一直线的两个平面互相平行，故C正确；
对于D，由面面平行的判定定理得垂直于同一个平面的两个平面互相平行或相交，故D错误．
故答案为：AD．
（多选）11．（5分）如图所示，在4×4的方格中，点O，A，B，C均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是（ ）
A．OB→=OA→+OC→B．|OA→|=|OC→|=12|OB→|
C．AC→=OB→-2OC→D．OA→⋅OB→=OC→⋅OB→
【解答】解：如图所示，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，
则A（﹣1，4），B（3，5），C（4，1），
所以OA→=(-1，4)，OB→=(3，5)，OC→=(4，1)，
则OB→=OA→+OC→，故A正确，
|OA→|=(-1)2+42=17，|OB→|=32+52=34，|OC→|=42+12=17，
所以|OA→|=|OC→|≠12|OB→|，故B错误，
AC→=(5，-3)，OB→-2OC→=（3，5）﹣2（4，1）＝（﹣5，3），所以AC→≠OB→-2OC→，故C错误；
OA→⋅OB→=-3+20=17，OC→⋅OB→=12+5=17，故D正确．
故选：AD．
（多选）12．（5分）函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．直线x=-2π3是函数f（x）图像的一条对称轴
B．函数f（x）的图像关于点(-π6+kπ2，0)，k∈Z对称
C．函数f（x）的单调递增区间为[-5π12+kπ，π12+kπ]，k∈Z
D．将函数f（x）的图像向右平移π12个单位得到函数g(x)=sin(2x+π6)的图像
【解答】解：由图象可知，A＝1，且14T=7π12-π3，则函数f（x）的周期T＝π，
所以ω=2πT=2，
又f(7π12)=-1，则2×7π12+φ=2kπ+3π2，k∈Z，
而|φ|＜π2，
则k=0，φ=π3，f(x)=sin(2x+π3)，
对于A，由于f(-2π3)=sin(-4π3+π3)=0，则直线x=-2π3不是函数f（x）图象的对称轴，选项A不正确；
对于B，由2x+π3=kπ，k∈Z，可得x=-π6+kπ2，k∈Z，则函数f（x）的图象关于点(-π6+kπ2，0)，k∈Z对称，选项B正确；
对于C，由-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，可得-5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，
则函数f（x）的单调递增区间为[-5π12+kπ，π12+kπ]，k∈Z，选项C正确；
对于D，g(x)=f(x-π12)=sin[2(x-π12)+π3]=sin(2x+π6)，选项D正确．
故选：BCD．
三、填空题
13．（5分）已知sin(α+π2)=23，则cs2α＝ -19 ．
【解答】解：sin(α+π2)=23，可得csα=23，
所以cs2α＝2×49-1=-19．
故答案为：-19．
14．（5分）已知sinα⋅csα=38，且π4＜α＜π2，则csα﹣sinα＝ -12 ．
【解答】解：因为sinα⋅csα=38，
又因为π4＜α＜π2，
所以csα∈（0，22），sinα∈（22，1），
则csα﹣sinα=-(csα-sinα)2=-1-2sinαcsα=-1-2×38=-12．
故答案为：-12．
15．（5分）底面半径为1，高为4的圆柱的侧面积是 8π ．
【解答】解：因为圆柱的底面半径为1，高为4，
所以圆柱的侧面积S侧＝2πrl＝2π×1×4＝8π．
故答案为：8π．
16．（5分）如图是一体积为72的正四面体，连接两个面的重心E、F，则线段EF的长是 22 ．
【解答】解：设正四面体的棱长为a，
则正四面体的体积为212a3=72，
a＝62，
EF=23DS=13BC=22，
故答案为：22．
四、解答题
17．（10分）求函数y＝sinx+csx，x∈[-5π12，3π4]的最值，并指出相应x的值．
【解答】解：y＝sinx+csx=2sin（x+π4），∵x∈[-5π12，3π4]，∴x+π4∈[-π6，π]，
则当x+π4=π2，即x=π4时，y取得最大值为2，
当x+π4=-π6，即x=-5π12时，y取得最小值为-22．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB+3bcs（B+C）＝0，a=19．
（1）求A；
（2）若b＝2，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）asinB+3bcs（B+C）＝0，可得sinAsinB-3sinBcsA＝0，
∴sinA=3csA，
∴tanA=3，
∴A=π3⋯（5分）
（2）因为A=π3，a=19，b＝2，所以12=4+c2-194c，
∴c＝5
∴S=12bcsinA=12×2×5×32=532⋯（10分）
19．（12分）已知函数f(x)=2cs2x2+3sinx+a-1的最大值为1．
（1）求函数f（x）的单调递减区间．
（2）若x∈[0，π2]，求函数f（x）的值域．
【解答】解：（1）f(x)=2cs2x2+3sinx+a-1=csx+3sinx+a=2sin(x+π6)+a．
由f（x）max＝2+a＝1，解得a＝﹣1．由f(x)=2sin(x+π6)-1，
则2kπ+π2≤x+π6≤2kπ+3π2，k∈Z，
解得2kπ+π3≤x≤2kπ+4π3，k∈Z，
所以函数的单调递减区间为[2kπ+π3，2kπ+4π3]，k∈Z，
（2）由x∈[0，π2]，则x+π6∈[π6，2π3]，
所以12≤sin(x+π6)≤1，
所以0≤2sin(x+π6)-1≤1，
所以函数f（x）的值域为[0，1]．
20．（12分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝22．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求平面PCD和平面ABCD夹角的余弦值的大小．
【解答】证明：（1）∵棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝22．
∴PA⊥BD，AB=BD2-AD2=(22)2-22=2，
∴ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．
解：（2）∵棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，
PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝22．
∴PA⊥CD，AD⊥CD，
∴∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，
∵PA＝AD＝2，PA⊥AD，
∴∠PDA＝45°，∴cs∠PDA＝cs45°=22，
∴平面PCD和平面ABCD夹角的余弦值的大小为22．
21．（12分）已知M、N分别是底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD的棱AB、PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE．求证：
（1）MN∥平面PAD；
（2）MN∥PE．
【解答】证明：（1）如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ．
∵N，Q分别是PC，DC的中点，
∴NQ∥PD．
∵NQ⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴NQ∥平面PAD．
∵M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴MQ∥AD．
又∵MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴MQ∥平面PAD．
∵MQ∩NQ＝Q，
∴平面MNQ∥平面PAD．
∵MN⊂平面MNQ，
∴MN∥平面PAD．
（2）∵平面MNQ∥平面PAD，
且平面PEC∩平面MNQ＝MN，
平面PEC∩平面PAD＝PE
∴MN∥PE．
22．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AB的中点，AB＝2，AA1＝3．
（1）求证：平面A1CD⊥平面ABB1A1；
（2）求点A到平面A1CD的距离．
【解答】证明：（1）由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的结构特征可得，AA1⊥平面ABC，
又因为CD⊂平面ABC，所以AA1⊥CD，
在正三角形ABC中，D为AB的中点，所以AB⊥CD，
又因为AA1∩AB＝A，AA1，AB⊂平面ABB1A1，
所以CD⊥平面ABB1A1，
又因为CD⊂平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面ABB1A1．
解：（2）由（1）可知，CD⊥平面ABB1A1，又因为A1D⊂平面ABB1A1，
所以CD⊥A1D，
在正三角形ABC中，CD=3，
在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
又因为AD⊂平面ABC，所以AA1⊥AD，所以A1D=10，
因为VA1-ACD=VA-A1CD，
所以点A到平面ACD的距离h=13S△ACD⋅AA113S△A1CD=1×3×33×10=31010．