宁夏回族自治区银川九中、平罗中学、贺兰二高、西吉中学2024届高三下学期第四次模拟考试数学（理）试卷(含答案)

这是一份宁夏回族自治区银川九中、平罗中学、贺兰二高、西吉中学2024届高三下学期第四次模拟考试数学（理）试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．在中，“是钝角”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫米/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为，其中k为常数，，为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：）( )
A.B.C.D.
5．函数的部分图象大致是( )
A.B.
C.D.
6．如图所示，在边长为2的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为的中点，则( )
A.B.C.D.
7．如图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中以下四个命题中，真命题的序号是( )
①平面；
②平面；
③平面平面；
④平面平面.
A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④
8．二项式的展开式中，把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法种数为( )
A.种B.种C.种D.种
9．下列三个数：，，，大小顺序正确的是( )
A.B.C.D.
10．已知函数在有且仅有两个零点，且，则图象的一条对称轴是( )
A.B.C.D.
11．已知双曲线的上、下焦点分别为，，直线与E的上、下支分别交于点A，B，若以线段为直径的圆恰好过点，且，则E的离心率为( )
A.B.2C.D.
12．已知函数是定义域为R的偶函数，当时，，若关于x的方程，有且只有7个不同实数根，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知角终边经过点，则的值为__________.
14．若实数x，y满足，则的最大值为__________.
15．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，为数列的前n项和，则的值为______.
16．已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，，则__________.
三、解答题
17．等差数列的前n项和为，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
18．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程
（2）若对任意的恒成立，求满足条件的实数b的最小整数值.
19．某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据：
根据以上数据，绘制了散点图.
观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与x的相关系数.参考数据（其中）：
（1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程；
（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.01），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；
（3）该企业采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单的概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2；若单价定为90元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为10元，根据（2）的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100元还是90元，请说明理由.
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，，相关系数.
20．如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，D为的中点，二面角的大小是.
（1）求证：平面平面；
（2）线段上是否存在一个点E，使直线与平面所成角的正弦值为.若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
21．已知A、B分别是椭圆的左、右顶点，过点且斜率为k的直线l交椭圆C于M、N两个不同的点（M、N与A、B不重合）.
（1）求椭圆C的焦距和离心率；
（2）若点B在以线段为直径的圆上，求k的值；
（3）若，设O为坐标原点，直线、分别交y轴于点S、T，当且时，求的取值范围.
22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线C的普通方程和极坐标方程；
（2）在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线l与曲线C交于A，B两点，若中点为M，求.
23．已知函数，
（1）求不等式的解集；
（2）已知的最小值为m，且正实数a，b满足，证明：.
参考答案
1．答案：D
解析：由，有，即，所以；
由令，根据二次函数的性质有，
所以，又因为，所以，；
所以.
故选：D
2．答案：B
解析：由题意可得：，
则复数z对应点的坐标为，据此可知复数z在复平面内位于第二象限.
本题选择B选项.
3．答案：C
解析：“”等价于“”，
所以，
从而，
在中，显然A，B，C三点不共线，即两个向量，不能方向相反，则是钝角，则必要性成立，
若是钝角，则，则，则充分性成立，
则“是钝角”是“”的充要条件.
故选：C.
4．答案：A
解析：因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，所以，即所以.
再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为.
故选：A.
5．答案：D
解析：的定义域为，
，
所以为奇函数，故A错误；
当，且x趋近0时，，，
所以，故C错误，
当时，，故B错误.
故选：D.
6．答案：D
解析：由已知有，，，
所以.
已知D是AC的中点，则，，，
所以，
则.
故选：D.
7．答案：A
解析：把正方体的平面展开图还原成正方体，如图所示；
对于①，平面平面，平面，
平面，①正确；
对于②，平面平面，平面，
平面，②正确；
对于③，如图所示，易知，，则四边形为平行四边形，
则，平面，平面，平面；
同理可得四边形为平行四边形，则，
因为，平面，则平面，且，
平面，平面平面，③正确；
对于④，如图所示，由③知，因为平面，平面，
所以平面，
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，因为平面，平面，所以平面，
又因为，且平面，
平面平面，④正确.
综上，正确的命题序号是①②③④.
故选：A.
8．答案：D
解析：二项式的展开式的通项公式为：
，
令，得，
所以展开式中的有理项有4项，
把展开式中的项重新排列，先把3项无理项全排列，
再把4项有理项插入形成的4个空中，
所以有理项互不相邻的排法种数为种.
故选：D.
9．答案：A
解析：构造函数，
因为对一切恒成立，
所以函数在上是减函数，从而有，
即.
故选：A.
10．答案：C
解析：由函数在有且仅有两个零点，
得，解得，则，
又，而，当时，，，
由，得，当时，，
即函数在有3个零点，不符合题意，
因此是函数图象的一条对称轴，即，，解得，
当时，，当时，，均不符合题意；
当时，，得，则图象的对称轴为.
故选：C
11．答案：C
解析：如图，已知四边形是平行四边形，
又因为以线段为直径的圆恰好过点，所以，
又因为，设，，所以，
则E的离心率为.
故选：C.
12．答案：A
解析：由题可画出函数的大致图象，
关于x的方程有且只有7个不同实数根，
设，则结合函数图象，可知方程必有两个根，，且，，
，
则，即.
故选：A
13．答案：
解析：因为角的终边过点，
所以，
所以，则，
故答案为：.
14．答案：9
解析：作出可行域如图，
设，得，表示一组斜率为的直线.
且z的几何意义为直线的截距的2倍，
联立，解得，则，
当直线过点时，截距最大，即取最大值，
，根据指数函数为单调递增函数，则的最大值为9.
故答案为：9.
15．答案：
解析：，，
，，
以此类推，由可知，
事实上.
，
因此，.
故答案为：.
16．答案：4048
解析：由题意得为奇函数，所以，即，所以函数关于点中心对称，
由为偶函数，所以可得为偶函数，则，所以函数关于直线对称，
所以，从而得，所以函数为周期为4的函数，
因为，所以，则，
因为关于直线对称，所以，
又因为关于点对称，所以，
又因为，又因为，所以，
所以.
故答案为：4048.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）设数列的首项为，公差为d，
依题意可知，，
解得，，故，，
（2）因为，所以，
所以.
18．答案：（1）.
（2）-3.
解析：（1），，
，，
曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）对任意的恒成立，
，
令，则函数在上单调递增，
.
在唯一，使得使得，即，，
且当时，，即；
当时，，即.
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
∴，
则在上单调递增，
所以，
满足条件的实数b的最小整数值为-3.
19．答案：（1）；
（2）当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为21元；
（3）见解析
解析：（1）令，则可转化为，
因为，所以，
则，所以，
所以y关于x的回归方程为；
（2）y与的相关系数为：
，
因为，所以用反比例函数模型拟合效果更好，
当时，（元），
所以当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为21元；
（3）（i）若产品单价为100元，记企业利润为X（千元），
订单为9千件时，每件产品的成本为元，企业的利润为611（千元），
订单为10千件时，每件产品成本为31元，企业的利润为690（千元），
企业利润X（千元）的分布列为
所以（千元）；
（ii）若产品单价为90元，记企业利润为Y（千元），
订单为10千件时，每件产品的成本为31元，企业的利润为590（千元），
订单为11千件时，每件产品的成本为元，企业的利润为659（千元），
企业利润Y（千元）的分布列为
所以（千元），
故企业要想获得更高利润，产品单价应选择90元.
20．答案：（1）证明见解析；
（2）存在，
解析：（1）因是正方形，则，因，故.
由，，则.因，则平面，
又平面，故平面平面.
（2）
如图，取的中点M，连接，易得，因，
故即二面角的平面角，即，
易得，取中点O，连接，过点O作，交于F，
因，故得正三角形，则，
由（1）得平面平面，且平面平面，平面，
故得平面.
因此可分别以，，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.
则，，，，，
依题意，设，，
则，
因，，设平面的法向量为，
则，故可取.
设直线与平面所成的角为，
则，解得或，
因，故，即，
故当点E是的一个四等分点（靠近点B）时，直线与平面所成角的正弦值为，此时
21．答案：（1）；；
（2）；
（3）
解析：（1）由椭圆方程可得，，，
所以椭圆的焦距，离心率；
（2）
不妨设直线的方程为，，，
易知，
联立，消去y并整理得，
，
由韦达定理可得，，
若点B在以线段为直径的圆上，
此时，即，
整理可得，即，
代入韦达定理，
整理得，解得，，
因为当时，直线过椭圆的右顶点B，不符合题意，舍去，
所以；
（3）
设，，
由（2）得，，，
因为，，
所以，，
解得，，
则，①
易知，，
解得，，
则，②
联立①②，可得，
因为，所以，
所以的取值范围.
22．答案：（1），；
（2）
解析：（1）由，
得到，
即，
所以曲线C的普通方程为.
又因为，，
则，
整理得，
即曲线C的极坐标方程为.
（2）由题意可得直线l的参数方程为（t为参数），
代入，整理得，，
设A，B，M所对应的参数分别为，，，且，
所以，，.
因为中点为M，则，
，所以.
23．答案：（1）或；
（2）证明见解析
解析：（1），，，
则，即，解得或，
故所求解集为或.
（2）当时，由，
当时，由，
当时，由.
则，
当时，；当时，；
当时，.
所以当时，，.
因为，所以.
由柯西不等式可得.
所以，
所以，当且仅当时等号成立.
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
112
61
44.5
35
30.5
28
25
24
183.4
0.34
0.115
1.53
360
22385.5
61.4
0.135
X
611
690
P
0.8
0.2
Y
590
659
P
0.3
0.7