西安市第一中学2024届高三第三次模拟数学试卷(含答案)

这是一份西安市第一中学2024届高三第三次模拟数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则等于( )
A.B.C.D.
2．已知复数,则z的实部是( )
A.2B.0C.D.
3．已知向量,,且,那么x的值是( )
A.-3B.3C.D.
4．设，则的一个可能值是( )
A.2B.1C.D.
5．下列函数中,在区间上单调递增且是奇函数的是( )
A.B.C.D.
6．已知平面向量,,若,则( )
A.B.0C.D.
7．下图是国家统计局7月发布的2021年6月至2022年6月规模以上工业原煤产量增速的月度走势,其中2022年1~2月看作1个月,现有如下说法：
①2021年10月至2022年3月,规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势;
②2021年6月至2022年6月,规模以上工业原煤产量增速的中位数为;
③从这12个增速中随机抽取1个,增速超过10的概率为．
则说法正确的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
8．设函数则等于( )
A.B.C.4D.10
9．在中,已知,,,则( )
A.B.C.D.10cm
10．有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个( )
A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对
11．已知,是椭圆的两个焦点,P是椭圆上一点,则的最大值是( )
A.B.9C.16D.25
12．若方程在上有两个不同的根,则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知点与圆,P是圆C上任意一点,则的最小值是___________．
14．《张邱建算经》记载：今有女子不善织布,逐日织布同数递减,初日织五尺,末一日织一尺,计织三十日,问共织布__________尺．
15．若函数的图象在处的切线斜率为3,则____________．
16．已知正方体的各顶点都在同一球面上,若该球的表面积为,则正方体的表面积为__________.
三、解答题
17．在中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若,．
（1）求的面积;
（2）求a的最小值．
18．某校在某次考试后,为了解高二年级整体的数学成绩,对高二年级学生的数学成绩进行了抽样调查,抽取了一个容量为50的样本,将调查数据整理成如下频率分布直方图,分段区间为,,,（单位：分）．
（1）求样本中低于120分的人数;
（2）用样本估计总体,以频率作为概率,在高二年级中随机抽取一名同学的数学成绩,若不低于130分称为优秀,求该同学成绩优秀的概率．
19．如图,在三棱柱中,侧棱底面,,D为的中点,,．
（1）求三棱柱的表面积;
（2）求证：平面．
20．已知椭圆经过点,.
（1）求椭圆C的方程;
（2）若直线交椭圆C于A,B两点,O是坐标原点,求的面积.
21．已知曲线在点处的切线的斜率为3,且当时,函数取得极值.
（1）求函数在点处的切线方程;
（2）求函数的极值;
（3）若存在,使得不等式成立,求m的取值范围.
22．平面直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数）.以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
（2）已知点,记和交于两点,求的值.
23．已知,.
（1）若p是真命题,求对应的取值范围;
（2）若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：由题意可得：.
故选：D.
2．答案：B
解析:由复数,得z的实部是0,
故选:B.
3．答案：B
解析：因为,所以,所以,解得,
故选：B.
4．答案：D
解析：因为，，
所以，，所以.
故选：D.
5．答案：D
解析：对于A,函数的定义域为,
故函数为非奇非偶函数,故A不符题意;
对于B,函数的定义域为R,
因为,
所以函数为偶函数,故B不符题意;
对于C,函数的定义域为R,
因为,
所以函数为偶函数,故C不符题意;
对于D,函数的定义域为,
因为,
所以函数为奇函数,
又因为函数,在区间上都单调递增,
所以函数在区间上单调递增,故D符合题意.
故选：D.
6．答案：A
解析：因为,所以,即,
所以,
故选：A.
7．答案：D
解析：从2021年10月至2022年3月,规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势,故①正确;
2021年6月至2022年6月,规模以上工业原煤产量增速的的中位数为,故②正确;
从这12个增速中随机抽取1个,超过10的概率为,故③正确.
故选：D．
8．答案：C
解析：由题意知,.
故选：C.
9．答案：B
解析：因为,,,
所以,
所以由正弦定理,可得.
故选：B.
10．答案：A
解析：由俯视图可以看出这个图形的底面是四边形,主视图和侧视图都是等腰梯形,得到这个图形是一个四棱台．
故选：A.
11．答案：D
解析：因为,所以,
当且仅当时,取到最大值.
故选：D.
12．答案：A
解析：,,
令,,
即与,有两个不同的交点,
则,,
令,即,解得,
令,即,解得,
故上单调递增,在上单调递减,
故在处取得极大值,也是最大值,,
且当时,,当时,,
当时,趋向于0,
故,
故选：A.
13．答案：5
解析：圆的圆心为,半径,
因为,所以点A在圆外,
所以的最小值为,
故答案为：5.
14．答案：90
解析：每日织布数可看作等差数列,其中,,
故30天共织布尺.
故答案为：90.
15．答案：-2
解析：因为,所以,
又函数的图象在处的切线斜率为3,
则,所以．
故答案为：-2.
16．答案：32
解析：易知该球的直径即为正方体的体对角线,
设正方体的棱长为l,球的直径,
因为球的表面积为,所以,,
所以正方体的表面积为.
故答案为：32.
17．答案：（1）
（2）2
解析：（1）由余弦定理,,结合可得,
整理可得,根据三角形的面积公式,.
（2）由（1）知,根据基本不等式,,
当时,a的最小值是2.
18．答案：（1）23
（2）0.2
解析：（1）由频率分布直方图可知,,
解得,
则,即样本中低于120分的人数为23．
（2）样本中不低于130分的人数为,
故该同学成绩优秀的概率为．
19．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为侧棱底面,所以三棱柱为直三棱柱,
所以侧面,,均为矩形．
因为,所以底面,均为直角三角形．
因为,,所以．
所以三棱柱的表面积为
．
（2）连接交于点O,连接,因为四边形为矩形,
所以O为的中点．因为D为的中点,所以．
因为平面,平面,所以平面．
20．答案：（1）
（2）3
解析：（1）因为椭圆经过点,所以,
把点的坐标代入方程,得,解得.
所以椭圆C的方程为.
（2）联立方程组消去y,得.
解得或不妨设,,则.
21．答案：（1）
（2）的极大值为极小值为1
（3）
解析：（1）由题得：,
结合题意可得,
解得,经检验符合题意,
故,,
所以在点处的切线方程为.
（2）由（1）知.
令,解得或,
令,解得,
故在,上单调递增,在上单调递减,
所以的极大值为,
的极小值为;
（3）在上有极大值,无极小值,
又因为,,所以,
所以要使不等式能成立,则.
所以,
故m取值范围是.
22．答案：（1）曲线的普通方程为;曲线的直角坐标方程为
（2）
解析：（1）已知曲线（为参数）,
则,由消参得,
则曲线的普通方程为．
由曲线的极坐标方程为,
变形得,
即,且满足,
由互化公式,得,即.
故曲线的直角坐标方程为．
（2）由于在直线l上,
可设直线l的参数方程的标准形式为（t为参数）,
代入曲线,
化简得,,
设A,B对应的参数分别为,,
则,,
由于,故,
所以.
故的值为.
23．答案：（1）
（2）
解析：（1）是真命题,,
,解得,
的取值范围是.
（2）由（1）知：,即
因为p是q的必要不充分条件,所以,解得：.
综上所述a的取值范围是.