西北工业大学附属中学2024届高三下学期第14次适应性训练数学（理）试卷(含答案)

这是一份西北工业大学附属中学2024届高三下学期第14次适应性训练数学（理）试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．满足且的集合M的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
2．已知，若复数为实数，则( )
A.1B.C.D.2
3．在中，“是钝角”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．若，则( )
A.B.C.D.
5．两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验是( )
A.抛一枚硬币，正面朝上的概率；B.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率；
C.转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率；
D.从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率.
6．已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为2的扇形，则此圆锥内切球的表面积为（）
A.B.C.D.
7．已知是定义域为的奇函数.若以点为圆心，半径为2的圆在x轴上方的部分恰好是图像的一部分，则的解析式为( )
A.，B.
C.D.
8．现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住2人，且男女不能混住.则不同的安排方法有( )种
A.1960B.2160C.2520D.2880
9．设，直线与直线相交于点P，点Q是圆上的一个动点，则的最小值为( ).
A.B.C.D.
10．已知函数，将图象上所有的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，若在上恰有一个极值点，则的取值不可能是( )
A.1B.3C.5D.7
11．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为P，且与双曲线C的左支交于点Q，若（O为坐标原点），则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
12．若存在满足，且使得等式成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知，则二项式展开式中的常数项为______.
14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______.
15．某市统计高中生身体素质状况，规定身体素质指标值在内就认为身体素质合格，在[60，84]内就认为身体素质良好，在内就认为身体素质优秀，现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值，经计算.若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质良好的概率为______.（用百分数作答，精确到）
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，.
16．在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足.若恒成立，则实数的取值范围为______.
三、解答题
17．已知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且.
（I）求数列的通项公式；
（II）若，且数列的前n项和为，求的取值范围.
18．某医疗科研小组为研究某市市民患有疾病A与是否具有生活习惯B的关系，从该市市民中随机抽查了100人，得到如表数据.（注：用表示M的对立事件）
（Ⅰ）是否有超过的把握认为，该市市民患有疾病A与是否具有生活习惯B有关?
（Ⅱ）从该市市民中任选一人，M表示事件“选到的人不具有生活习惯B”，N表示事件“选到的人患有疾病A”，试利用该调查数据，求的估计值；
（Ⅲ）从该市市民中任选3人，记这3人中具有生活习惯B，且未患有疾病A的人数为X，试利用该调查数据，求X的数学期望的估计值.
附：，其中.
19．如图，四棱锥，侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面ABCD是的菱形，M为棱PC上的动点且.
（Ⅰ）求证：为直角三角形；
（IⅡ）试确定的值，使得二面角的平面角的余弦值为.
20．已知椭圆的上顶点为P，是椭圆E上的一点，以PQ为直径的圆经过椭圆E的右焦点F.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过椭圆E的右焦点F且与坐标轴不垂直的直线l与椭圆E交于A、B两点，在直线上是否存在一点D，使得为等边三角形?若存在，求出等边三角形的面积；若不存在，请说明理由.
21．已知函数
（Ⅰ）若函数在内点A处的切线斜率为，求点A的坐标；
（Ⅱ）①当时，求在上的最小值；
②证明：.
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点，若直线l与曲线C交于A，B两点，求三角形POA和三角形POB面积乘积的值.
23．已知函数.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）设，若，求证：.
参考答案
1．答案：B
解析：由可得，.又因为，
所以或.故选：B
2．答案：A
解析：，若z为实数，则，则，.故选：A
3．答案：C
解析：由于，两边平方得，且图形为三角形，故是钝角；反之也成立。故选：C.
4．答案：C
解析：.故选：C
5．答案：D
解析：根据统计图可知，实验结果在0.33附近波动，即其概率，则选项A，郑一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
选项B，掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意；
选项C，转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为，故此选项不符合题意；
选项D，从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为，
故此选项符合题意；故选：D
6．答案：D
解析：侧面展开图扇形的弧长为，圆锥底边的半径r满足，解得，
所以该圆锥轴截面是一个两腰长为2，底边长为1的等腰三角形，底边上的高为，
设内切球半径为R，则，则.
所以内切球的表面积为.故选：D.
7．答案：D
解析：以点为圆心，半径为2的圆的方程为，
则该圆在x轴上方的部分的方程为，
则该圆在x轴上方的部分的方程为，
由是奇函数，得，当时，，
故答案为：D
8．答案：C
解析：3名女生需要住2个房间或3个房间.
若3名女生住2个房间，则不同的方法种数为，
若3名女生住3个房间，则不同的方法种数为，
则不同的安排方法有种.故选.
9．答案：A
解析：由题意得：，
恒过定点，恒过定点，又，
P点轨迹是以MN为直径的圆，即以为圆心，为半径的圆，且除去点，其方程为，
又圆与圆C的圆心距，
两圆相离，的最小值是两圆圆心距d减去两圆半径之和，
即.故选：A.
10．答案：A
解析：因为
又因为将图象上所有的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，所以，.当时，，
又因为在上恰有一个极值点，所以得，故选：A.
11．答案：B
解析：因为，O是的中点，所以Q为的中点.因为，所以点到渐近线的距离，又，所以.连接，易知，则由双曲线的定义可知.在中，
由余弦定理，得，
整理得，所以双曲线的离心率为，故选：B.
12．答案：B
解析：画出不等式组表示的平面区域，如图所示，，，，
由知，并可转化为.
设，根据可行域可知，，
设，
则，，
因为，所以恒成立，则单调递增，
且，所以令，得，则在时单调递减；
令，得，则在时单调递增，又，，，
所以，所以，解得，故选：B.
13．答案：15
解析：由，得二项式为，
其常数项为.故答案为：15.
14．答案：
解析：由题意知，该几何体是一个半圆锥，其底面半径为1，高为1，则该几何体的体积为.
故答案为：.
15．答案：
解析：因为100个数据，，，，的平均值，方差
所以的估计值为，的估计值为.
设该市高中生的身体素质指标值为X，由，得.故答案为：.
16．答案：
解析：由可得，
结合，
可得，即，
由于在锐角中，，故，，
则，
则，，，
又，所以恒成立，即恒成立，即恒成立，
因为，故，令，，
则函数在内单调递增，故，
即，.故答案为.
17．答案：(I)，；
(II)
解析：(I)设数列的公比为q，
由，，成等差数列可得，
故，解得，由可得，
解得，故，即数列的通项公式为，
(II)由(I)可得，
故.
且为递增的数列，则，又当时，
所以，故
18．答案：(I)有超过的把握认为，该市市民患有疾病A与是否具有生活习惯B有关；
(II)；
(III)
解析：(I)由已知得列联表如下:
根据列联表中的数据，经计算得到
故有超过的把握认为，该市市民患有疾病A与是否具有生活习惯B有关
(II)由(I)数据可得：，.
所以
(III)由题意知，所以的估计值为
19．答案：(I)证明见解析；
(II)当时，二面角的平面角的余弦值为
解析：(I)取AD中点O，连接，，
依题意可知，均为正三角形，所以，.
又因为，平面，平面，
所以平面.又平面，所以.
因为，所以，即，从而为直角三角形
(II)解法：由(I)可知，又平面平面，，平面平面平面，所以平面.
以O为原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，.由
可得点M的坐标，所以，.
设平面的法向量为，则，
即解得，
令，得
显然平面的一个法向量为.
依题意，
解得或(舍去)，
所以，当时，二面角的平面角的余弦值为
解法二:连，由(I)可知平面，所以，.
所以为二面角的平面角，即.
在中，，，，所以，
由正弦定理可得，即.解得，
又，所以，
故当时，二面角的平面角的余弦值为
20．答案：(I);
(II)
解析：(I)依据题意得，得，，，
又，，，㥊圆的方程为
(II)假设在直线上存在一点D使得为等边三角形，设直线
由得
，设，，的中点为，则，，，
为等边三角形，所以的斜率为，又D点的横坐标为2，
为等边三角形，
即，得，，
的面积为
21．答案：(I)；
(II)①0；②证明见解析
解析：(I)设点，.由于，则，得，则，且，则点.
(II)①，，
在上递减，，，
，，，，递增，
，，递减，，
，，在上递增，，在上的最小值是0.
②由①可知时，恒成立，即恒成立。
设，，，时，，
递增，，，
，
取，则
22．答案：(I)C:；l：；
(II)
解析：(I)由(为参数)，消去参数可得，
故曲线C的普通方程为.
由，可得，
即，将，代入上式，可得，故直线l的直角坐标方程为.
(II)由(I)可知，点在直线l上，可设直线l的参数方程为
（t为参数）.将，代入，
化简得.
设A，B两点对应的参数分别为，，则，
由题意可得
又点O到直线l的距离为，所以
23．答案：(I)；
(II)证明见解析
解析：(I)可化为，即.
当时，，解得;
当时，，无解;
当时，，解得.
综上可得或.
故不等式的解集为
(II)因为，所以，
即.因为，
当且仅当，即，时取等号.
所以，即.
疾病A
生活习惯B
具有
不具有
患病
25
15
未患病
20
40
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
疾病A
生活习惯B
合计
具有
不具有
患病
25
15
40
未患病
20
40
60
合计
45
55
100