宣威市第三中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份宣威市第三中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数,则z的虚部是( )
A.1B.iC.-2D.-1
2．集合或,,若,则实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.
3．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则( )
A.2B.C.3D.
4．某班有6名班干部,其中4名男生,2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动,在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为( )
A.B.C.D.
5．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为( )
A.48B.32C.24D.16
6．已知的展开式中各项系数和为243,则展开式中常数项为( )
A.60B.80C.D.
7．现定义,其中为虚数单位,e为自然对数的底数,,且实数指数幂的运算性质对都适用,若,,那么复数等于( )
A.B.C.D.
8．函数的定义域为实数集R,对于任意的都有.若在区间上函数恰有三个不同的零点,则实数m的取值范围是( )
A.B.C. D.
二、多项选择题
9．已知直线l：，O为坐标原点，则( )
A.直线l的倾斜角为
B.若O到直线l的距离为1，则
C.过O且与直线l平行的直线方程为
D.过O且与直线l垂直的直线方程为
10．在的展开式中,下列结论正确的是( )
A.第6项和第7项的二项式系数相等B.奇数项的二项式系数和为256
C.常数项为84D.有理项有2项
11．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则( )
A.该正八面体结构的表面积为
B.该正八面体结构的体积为
C.该正八面体结构的外接球表面积为
D.该正八面体结构的内切球表面积为
三、填空题
12．已知向量,,若,则实数m的值为_____________.
13．若曲线（a为常数）不存在斜率为负数的切线,则实数a的取值范围是____________.
14．已知中，点D在边BC上，，，.当取得最小值时，___________.
四、解答题
15．若函数,在处切线方程为：.
（1）求的解析式;
（2）求在上的最大值、最小值.
16．已知椭圆与双曲线的焦距之比为.
（1）求椭圆和双曲线的离心率;
（2）设双曲线的右焦点为F,过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限）,A,B分别为椭圆的左、右顶点,与椭圆交于另一点Q,O为坐标原点,证明：.
17．记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）证明：.
18．在如图所示的五面体中,共面,是正三角形,四边形为菱形,,平面,点M为中点.
(1)证明：平面;
(2)已知,求平面与平面所成二面角的正弦值.
19．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；
（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
参考答案
1．答案：A
解析：,虚部为1,
故选：A
2．答案：B
解析：因为,
所以有,所以实数m的取值范围是,
故选：B.
3．答案：B
解析：由题意得，，则，
即点A到准线的距离为2，所以点A的横坐标为，
不妨设点A在x轴上方，代入得，，
所以.
故选：B.
4．答案：B
解析：由题意,从现有4名男生,2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动,
设男生甲被选中为事件A,其概率为,
设女生乙被选中为事件B,
则男生甲被选中且女生乙也被选中的概率为,
所以在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为.
故选：B.
5．答案：C
解析：1与4相邻，共有种排法，
两个2之间插入1个数，
共有种排法，再把组合好的数全排列，共有种排法，
则总共有种密码.
故选：C.
6．答案：B
解析：当时,,解得,
则的展开式第项,
令,解得,所以,
故选：B.
7．答案：A
解析：
,
故选：A.
8．答案：B
解析：由可得,即函数是以为周期的周期函数;
在平面直角坐标系中作出函数在区间上的图象如图,函数有三个零点等价于方程有三个根,
进而转化为函数与函数有三个交点.而函数是斜率为m且过定点的动直线.结合图象可知当,
即时两函数的图象有三个交点.
故应选B.
9．答案：CD
解析：直线l可化为：，
所以斜率，得倾斜角为，故A错误；
由点到直线的距离公式得，得，
所以，故B错误；
设与直线l平行的直线方程为，
因为平行直线方程经过原点，所以，
即平行直线方程为，故C正确；
设与直线l垂直的直线方程为，
因为垂直直线方程经过原点，所以，
即垂直直线方程为，故D正确.
故选：CD.
10．答案：BC
解析：的展开式中共有10项,由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第6项的二项式系数相等,故A错误;
由已知可得二项式系数之和为,且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等,
所以奇数项的二项式系数和为,故B正确;
展开式的通项为,,,令,解得.
故常数项为,故C正确;
有理项中x的指数为整数,故,2,4,6,8,故有理项有5项,故D错误.
故选:BC
11．答案：ACD
解析：
对A：由题知，各侧面均为边长为m的正三角形，
故该正八面体结构的表面积，故A正确；
对B：连接，，则，底面，
故该正八面体结构的体积，故B错误；
对C：底面中心S到各顶点的距离相等，故S为外接球球心，外接球半径，
故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确；
对D：该正八面体结构的内切球半径，
故内切球的表面积，故D正确；
故选：ACD.
12．答案：
解析：因为,
所以,.
又,所以,解得.
故答案为：.
13．答案：
解析：,,曲线（a为常数）不存在斜率为负数的切线,
在上恒成立, 在恒成立
令,,则,当时,,
当时,, 在上单调递增,在上单调递减,
当时,取得最大值,,
故答案为.
14．答案：
解析：设，则在中，.在中，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以当取最小值时，.
15．答案：（1）
（2）最大值,最小值-19
解析：（1）,
因为函数在处切线方程为：,
所以,解得,
所以;
（2）,
当或时,,当时,,
所以函数在,上递增,在上递减,
又,,,,
所以,.
16．答案：（1）椭圆的离心率为,双曲线的离心率为
（2）证明见解析
解析：（1）椭圆的焦距,双曲线的焦距,
则,整理得,
从而,,
故椭圆的离心率,双曲线的离心率.
（2）由（1）可知,椭圆,
因为,所以直线的方程为.
联立方程组,整理得,
则,则,
可得,即,
因为,,,
则,,
故.
17．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）方法一：因为，且是公差为的等差数列，
所以，所以.
因为当时，，
所以，所以，
所以，
所以，
又也满足上式，
所以.
方法二：因为，且是公差为的等差数列，
所以.
因为当时，，
所以，所以，整理得，
所以，
所以，
又也满足上式，
所以，
则，
所以，
又也满足上式，
所以.
（2）因为，所以，
所以.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）证明：连接交与点O,连接,,
由于平面,平面,
平面平面,故,
O为的中点,点M为中点,故,
,则四边形为平行四边形,
则,而平面,平面,
故平面;
（2）由（1）知,取中点为N,连接,,
由题意知是边长为2的正三角形,在中,,,
则,故,
是边长为2的正三角形,则,
又,,平面,则平面,
平面,故,
,,则为正三角形,故,
而,,平面,故平面,
以N为坐标原点,分别以,,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
则,,
设平面的法向量为,则,
则,令,则;
,,设平面的法向量为,
则,即,令,则,
故,
设平面与平面所成二面角为,,
故,故平面与平面所成二面角的正弦值为.
19．答案：（1）47.9岁
（2）0.89
（3）0.0014
解析：（1）平均年龄为
（岁）.
（2）设事件“该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间，则.
（3）设事件“任选一人年龄位于区间”，事件“任选一人患这种疾病”，由条件概率公式可得.