重庆市第十一中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份重庆市第十一中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若,则( )
A.6B.5C.4D.3
2．某物体的运动方程为（位移单位：m,时间单位：s）,若,则下列说法中正确的是( )
A.是物体从开始到这段时间内的平均速度
B.是物体从到这段时间内的速度
C.是物体在这一时刻的瞬时速度
D.是物体从到这段时间内的平均速度
3．某市的5个区县A,B,C,D,E地理位置如图所示,给这五个区域染色,每个区域只染一种颜色,且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择,则不同的染色方案共有( )
A.24种B.36种C.48种D.72种
4．已知函数在区间上单调递增,则实数a的最大值为( )
A.4B.5C.2D.
5．某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒.若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为( )
A.B.C.D.
6．已知函数,过点作曲线的两条切线,切点分别为和,若,则实数( )
A.0B.1C.2D.3
7．若,则( )
A.B.C.D.
8．已知函数有三个零点,,,其中,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．南岸区安排甲、乙、丙、丁四个学生去某市的A,B,C,D四个学校交流学习,每名学生只能去一个学校,则下列说法正确的是( )
A.若四个学校都有人去,则共有24种不同的安排方法
B.若甲乙不能去同一个学校,则共有148种不同的安排方法
C.若甲不去A学校,乙不去B学校,且每学校均有人去,则共有18种不同的安排方法
D若南岸区又计划向这四个学校追加18个交换生名额,且每学校至少3个名额,则共有84种不同的追加方式
10．下列选项中正确的是( )
A.已知随机变量X服从二项分布,则
B.口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球,记其中红球的个数为随机变量,则X的数学期望
C.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测,从中任取2件,已知其中一件为正品,则另一件也为正品的概率是
D.某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8,则在9次射击中,最有可能击中的次数是7次
11．若函数在处取得极值,则( )
A.
B. 为定值
C. 当时,有且仅有一个极大值
D. 若有两个极值点,则是的极小值点
三、填空题
12．高二年级开设3门拓展专题课,现有4位同学参加专题课的学习,每位同学仅报一门,每门至少有一位同学参加,则不同的报名方法有___________.
13．已知函数为定义在上的可导函数,且．则不等式的解集为____________．
14．某篮球队为提高队员的训练积极性,进行小组投篮游戏,每个小组由两名队员组成,队员甲与队员乙组成了一个小组．游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次,每小组投进的次数之和为4次的称为“神投小组”,获得二次“神投小组”的队员可以结束训练．已知甲、乙两名队员每次投进篮球的概率分别为,,若,在游戏中,甲乙两名队员想结束训练,理论上他们小组要进行___________轮游戏才行．
四、解答题
15．已知函数,且,求：
（1）a的值;
（2）曲线在点处的切线方程;
（3）函数在区间上的最大值．
16．已知,其中,,,,．且展开式中仅有第5项的二项式系数最大．
（1）求n的值;
（2）求（用数值作答）;
（3）若,求二项式的值被7除的余数．
17．已知函数．
（1）讨论函数的单调性;
（2）若函数有2个零点,求a的范围
（3）若函数在处取得极值,且存在,使得成立,求实数b的取值范围．
18．陶瓷历史已逾千年,始于春秋,兴于辽金,盛于明清.目前某省有53家陶瓷企业,某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后才可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为,,,经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格概率依次为,,.
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率;
（2）经过前后两次烧制后,如果陶瓷合格则可以上市销售,每件陶器可获利100元;如果陶器不能合格,则每件陶器亏损80元,求这3件陶器最终盈亏Y的分布列和数学期望.
（3）A,B,C三位学徒跟师傅学习制作某种陶器,经过一段时间的学习后,他们各自能制作成功该陶器的概率分别为,,,且,现需要他们三人制作一件该陶器,每次只有一个人制作且每个人只制作一次,如果有一个人制作失败则换下一个人重新制作,若陶器制作成功则结束.按A,B,C的顺序制作陶器,若,,求制作陶器人数X的数学期望的最大值.
19．柯西中值定理是数学的基本定理之一,在高等数学中有着广泛的应用．定理内容为：设函数,满足①图象在上是一条连续不断的曲线;②在内可导;③对,．则,使得．特别的,取,则有：,使得,此情形称之为拉格朗日中值定理．
（1）设函数满足,其导函数在上单调递增,判断函数在的单调性并证明;
（2）若,且,不等式恒成立,求实数m的取值范围;
（3）若,求证：．
参考答案
1．答案：D
解析：由得,,
解得.
故选：D.
2．答案：C
解析：由,
可知,是物体在这一时刻的瞬时速度.
故选：C
3．答案：D
解析：当B,E同色时,共有种不同的染色方案,
当B,E不同色时,共有种不同的染色方案,
所以共有72种不同的染色方案.
故选：D.
4．答案：A
解析：,
又函数在区间上单调递增,
所以在区间上恒成立,
即在区间上恒成立,
由,当且仅当,即时等号成立,
所以,即实数a的最大值为4.
故选：A.
5．答案：C
解析：记服用金花清感颗粒为事件A，服用莲花清瘟胶囊为事件B，服用清开灵颗粒为事件C，感冒被治愈为事件D，
依题意可得，，，，，，所以
.
6．答案：D
解析：由题意知,
因为与曲线相切,
所以,整理得,
同理,
则a,b是方程的两个实数根,
所以,
所以．
故选：D.
7．答案：A
解析：二项式展开式的通项为（且）,
令,解得,所以,
又,
令可得,
令可得,
所以,
所以,
即.
故选：A.
8．答案：B
解析：定义域为,显然,
若t是零点,则,
,
所以也是零点,函数有三个零点,,,
不妨设,则,,
所以,,
因为有三个零点,令,则,
即或,
当时,的对称轴为,且,
所以当时,,即恒成立,
即函数在上单调递增,不符合题意;
当时,设的两根分别为,,
则,,故,
因为或时,,;时,,.
所以函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
当时,,,
,当,,
所以由零点存在定理易知有三个零点,满足题意.
综上,的取值范围是.
故选：B.
9．答案：AD
解析：若四个学校都有人去,则共有种不同的安排方法,故A正确;
若甲乙不能去同一个学校,则共有种不同的安排方法,故B错误;
若甲不去A学校,乙不去B学校,且每区均有人去,则共有种不同的安排方法,故C错误;
若又计划向这四个学校追加18个交换生名额,且每校至少3个,先每个学校分2个名额,然后使用隔板法将10个名额分成4份,且隔板不相邻,不在两端,则共有种不同的安排方法,故D正确;
故选：AD.
10．答案：BC
解析：A选项,,,,A错误;
B选项,X服从超几何分布,,,,,B正确;
C选项,根据题意,设“第一次摸出正品”为事件A,“第二次摸出正品”为事件B,则
,,,故C正确;
D选项,设9次射击击中k次概率最大,
则,解得,所以同时最大,故或,D错误．
故选：BC．
11．答案：ABC
解析：的定义域为,则,
,
由题意可知,是方程的一个变号实数根,
则,故A正确;
由得,,故B正确;
当时,因为,
所以函数开口向下,且与x轴正半轴只有一个交点,
当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
则有且仅有一个极大值,故C正确;
将代入整理得,
则方程有不相等的实数根与,即,
当时,时,,时,,
所以在,上单调递增,在上单调递减,
则是的极大值点,是的极小值点,
当时,时,;当时,,
所以在,上单调递增,在上单调递减,
则是的极大值点,是的极小值点,故D错误,
故选：ABC.
12．答案：36
解析：根据题意,四位同学选3门拓展专题课,每位同学仅报一门,每门至少有一位同学参加,
需要分三组,则三组人数为1、1、2,此时有种不同的分组方法,
再对三组排序有种不同的方法,根据分步乘法计数原理,共有种不同的安排方法.
故答案为：36.
13．答案：
解析：因为,
令,,则,
所以上单调递增,
不等式,即,
即,所以,解得,
即不等式的解集为.
故答案为：
14．答案：32
解析：依题意,甲乙组队获得“神投小组”的概率,
而,则有,当且仅当时取“=”,
因此,,因甲乙在一轮游戏中有获得“神投小组”和没有获得“神投小组”两个结果,
则甲乙在n轮游戏中获得“神投小组”次数满足,,
甲乙两名队员想结束训练,他们必获得2次“神投小组”称号,即,解得,
所以甲乙两名队员想结束训练,理论上他们小组要进行32轮游戏才行．
故答案为：32.
15．答案：（1）1
（2）
（3）4
解析：（1）,
,解得：
（2）由（1）知,所以,
曲线在点处的斜率为,
所以切线方程,即,
即.
（3）由（1）可知：,,
令,解得,
故当时,,所以单调递减;
当时,,所以单调递增;
所以区间内,当或时可能取最大值,
又,
所以最大值为.
16．答案：（1）8;
（2）6560;
（3）1.
解析：（1）因为展开式中仅有第5项的二项式系数最大,
所以,解得.
（2）令得,
令得,
所以.
（3）若,则
,
因为84是7的倍数,所以能被7整除,
所以被7除的余数为1.
17．答案：（1）答案见解析
（2）
（3）
解析：（1）函数的定义域为,
又．
当时,则恒成立,在上单调递减;
当时,由,解得,由,解得．
在上单调递增,在上单调递减;
综上可得,当时,在上单调递减;
当时,在上单调递增,在上单调递减.
（2）令,即,因为,
所以,
因为函数有2个零点,所以在有两根,
令,,
也即直线与的图象有两个交点,
又,
当时,故在上单调递增;
当时,故在上单调递减.
又当时,,,,
则的图象如下所示：
数形结合可得,故a的取值范围为;
（3）在处取得极值,
由（1）得,,
,即,解得,
则,令,;令,
所以函数在单调递减,在单调递增,在处取极小值.
．
存在,使得成立,
即存在,使得成立,
则,,
令,,
则,所以当时,当时．
所以在上单调递增,在上单调递减．
,
故,故b取值范围为．
18．答案：（1）
（2）分布列见解析,30
（3）
解析：（1）分别记甲､乙､丙经第一次烧制后合格的事件分别为,,
设E表示第一次烧制后恰有一件产品合格的事件,则
;
（2）分别记甲､乙､丙三件产品经过两次烧制后合格的为事件A,B,C,
则,,.
设经过两轮烧制后合格品的件数为,则,
由题意,即Y的可能取值为-240,-60,120,300,
由于;;
,.
所以;;,,
所以随机变量Y的分布列为
故随机变量Y的数学期望,
（3）由题意,制作陶器人数X的可能值为1,2,3.
于是,,,
则随机变量X的分布列为
所以,
又,则,
设,,
所以在上单调递增,则,
所以,所以当时,的最大值为.
19．答案：（1）在上单调递增,证明见解析;
（2）;
（3）证明见解析.
解析：（1）不妨取,则在上单调递增.
证明：因,,令,,
因在上单调递增,则,在上恒成立,
故在上单调递增,则,即,
故在上单调递增.
（2）因,且,不等式恒成立,
即,且,不等式恒成立,
取,,由柯西中值定理,,,
故,不等式恒成立,
令,,
则由,可得,由可得,
即在上单调递增,在上单调递减,
故时,函数取得最大值,故,
即实数m的取值范围为.
（3）因,取,,
由柯西中值定理,,,
因.则,
因,故,证毕.
Y
-240
-60
120
300
P
X
1
2
3
P