江苏省南通市如东县2019-2020学年高一下学期期末数学试卷

这是一份江苏省南通市如东县2019-2020学年高一下学期期末数学试卷，共10页。

注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，包含［选择题（1~12））填空题（第13题～第16题，共80分）、解答题（第17～22题，共70分）。本次考试时间120分钟，满分150分、考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。
3．答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。
4．如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。
一、单选题：本大题共10小题，每题5分，共50分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若直线经过点，则实数的值
A．1 B．2 C．3 D．4
2. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6的正方体玩具)先后抛掷两次，则向上的点数之和为的概率为
A． B． C． D．
3. 在△中，已知，则角等于
A． B． C． D．
4. 已知直线，，若，则实数m的值为
A．2 B．1C．1或2D．0或
5. 已知l，m为两条不同直线，为两个不同平面，则下列命题为真命题的是
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
6. 圆截直线所得的弦长为，则实数
A． B． C．D．2
7. 在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为
A． B． C．D．
8. 关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下表的统计资料：
由上表可得线性回归方程，若规定当维修费用y＞12时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用的年限不超过（ ）年．
A．7 B．8 C．9 D．10
9. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为角A的角平分线，交BC于D，，
，BD＝2，则b＝
A． B． C． D．
10. 已知锐角△的内角的对边分别为a，b，c且， 则的取值范围为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
11. 若圆C1：与圆C2：相切，则m的值可以是
A．16B．7C．﹣4D．﹣7
12. 如图，在三棱锥中，、、分别为棱、、的中点，平面，，，，则
A．三棱锥的体积为
B．平面截三棱锥所得的截面面积为
C．点与点到平面的距离相等
D．直线与直线垂直
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13. 若x1，x2，…，xn的方差为，则2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的方差为 ▲ ．
14. △ABC中，角，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则△ABC一定为 ▲ ． （用“直角三角形”“等边三角形”“等腰直角三角形”填空）
15. 设长方体的长、宽、高分别为、、，其顶点都在同一个球面上，则该球的半径为 ▲ ．
A
B
C
D
（第16题）
16. 已知凸四边形ABCD（指把四边形的任意一条边向两端无限延长
成一直线时，其他各边都在此直线的同旁）中，边，
对角线，且,又顶点满足，
则凸四边形ABCD的对角线长的范围是 ▲ ．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，acsC+ccsA＝2bcsA．
A
C
B
D
（第18题）
P
E
F
（1）求A；
（2）若B＝45°，a＝2，求b，c．
18．（本小题满分12分）
在正四棱锥中，E，F分别为棱的中点．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）求证：EF⊥平面．
19．（本小题满分12分）
某校疫情期间“停课不停学”，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三年级进行了一次网络模拟考试．全年级共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如图所示）．已知这100人中[110，120）分数段的人数比[100，110）分数段的人数多6人．
（1）根据频率分布直方图，求a，b的值；并估计抽取的100名同学数学成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；
频率/组距
（2）现用分层抽样的方法从分数在[130，140），[140，150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数恰在同一组内的概率．
20. （本小题满分12分）
如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，对角线与相交于点，点为线段上靠近点的三等分点，与底面所成角为.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.
21. （本小题满分12分）
已知圆与直线相切.
（1）求圆的标准方程；
（2）若动点在直线上，过点引圆的两条切线、，切点分别为.
① 记四边形的面积为，求的最小值；
② 证明直线恒过定点.
22. （本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围；
（3）设，是否存在正实数，使得函数在内的最大值为4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
2019～2020学年度如东县第二学期高一期末学情检测
数学参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
二、多选题：多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
11. 12.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13. 14.等边三角形 15. 16.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解：（1）因为：acsC+ccsA＝2bcsA
由正弦定理得sinAcsC+sinCcsA＝2sinBcsA．
即sin（A+C）＝2sinBcsA＝sinB，显然sinB≠0．故
因为,所以 ……………………4分
（2）结合（1）知A＝60°，B＝45°，
故，
而
A
C
B
D
（第18题）
P
E
F
O
所以由正弦定理得
解得 ……………………10分
18. 解（1）因为E，F分别为棱PA，PC的中点，
所以EF∥AC， ……………………2分
又因为，，
所以EF∥平面ABCD．……………………5分
（2）连结，交于点，连结．
因为为正四棱锥，
所以．
又，所以．
又因为，EF∥AC，
所以EF⊥PO，
在正方形ABCD中AC⊥BD,EF∥AC，
EF⊥BD． ……………………9分
又，，
所以， ……………………12分
19. 解：（1）依题意a+b＝0.046，1000（b﹣a）＝6，
解得a＝0.020，b＝0.026，
平均数为：
整理得平均数为112 ……………………5分
（2）设“抽取的2名同学的分数恰在同一组内”为事件A
由题意，在分数为[130，140）的同学中抽取4人，分别用a1，a2，a3，a4表示，
在分数为[140，150]的同学中抽取2人，分别用b1，b2表示，
从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4）（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）共15种，
抽取的2名同学的分数恰在同一组内的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），a2，a3），（a2，a4），（a3，a4），（b1，b2），共7种，
所以，抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为．………12分
20．解：（1）因为在长方体中，有平面，因为
所以，
因为四边形是正方形，所以，
又，从而平面.
而平面，所以； ……………………5分
（2）因为在长方体中，
有、、两两垂直，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立
如下图所示的空间直角坐标系，
由（1）知为直线与平面所成的角，
又因为与平面所成角为，所以，所以.
由，得，可知，所以，
因为，故，
则，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，则，
即，令，可得， ……………………8分
因为平面，所以为平面的法向量，即，
所以.
根据法向量方向与二面角半平面的位置关系，可知二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为. ……………………12分
21．解：（1）由题意知，圆心到直线的距离，所以，
故圆C的标准方程为. ……………………4分
（2）①圆C的圆心为，半径，
因为、是的两条切线，
所以，，
故
又因为，
根据平面几何知识，要使最小，只要最小即可. ……………………6分
易知，当点坐标为时，
.
此时. ……………………8分
②设点的坐标为，
因为，
所以四点共圆.且以为直径.
该圆方程为：
又圆的方程为
两圆方程相减得:
即直线AB的方程为， ……………………10分
所以直线恒过定点. ……………………12分
22. 解：（1）由题意，函数有意义，则满足，解得，
即函数的定义域为. ……………………2分
（2）由，且，
可得，
且为单调递增连续函数，
又函数在上有且仅有一个零点，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是. ……………………6分
（3）由，设，
则，
易证在为单调减函数，在为单调增函数，
当时，函数在上为增函数，所以最大值为，
解得，不符合题意，舍去；
当时，函数在上为减函数，所以最大值为，
解得，不符合题意，舍去；
当时，函数在上增函数，在上为减函数，
所以最大值为或，解得，符合题意，
综上可得，存在使得函数的最大值为4. ……………………12分