2023-2024学年甘肃省张掖市某校高三下学期模拟考试数学试题(含详细答案解析)

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这是一份2023-2024学年甘肃省张掖市某校高三下学期模拟考试数学试题(含详细答案解析)，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合P=0,1,2,4,Q={x∣aA. 0,1B. 1,2C. −1,0D. −1,0,1
2.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A. 任意一个有理数，它的平方是有理数B. 任意一个无理数，它的平方不是有理数
C. 存在一个有理数，它的平方是有理数D. 存在一个无理数，它的平方不是有理数
3.已知正项等差数列an满足a1a2=3,a2a3=15，则a4a5=( )
A. 39B. 63C. 75D. 99
4.牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t分钟后的温度T满足T−Ta=12thT0−Ta，h称为半衰期，其中Ta是环境温度．若Ta=25℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃大约还需要( )(参考数据：lg2≈0.30，lg11≈1.04)
A. 8分钟B. 9分钟C. 10分钟D. 11分钟
5.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M(不同于原点)是直线y=x与C的一个公共点.若MF=10，则C的准线方程为( )
A. x=−3B. x=−2C. x=−1D. x=−13
6.已知a，b是不同的直线，α,β是不同的平面，且a⊥α,b⊥β，则“a//b”是“α//β”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要
7.已知α∈π4,3π4,sin2α−2cs2α=1，则tanπ4−α=( )
A. −2B. −12C. 12D. 2
8.已知圆柱的母线长与底面的半径之比为 3:1，四边形ABCD为其轴截面，若点E为上底面圆弧AB⌢的靠近B点的三等分点，则异面直线DE与AB所成角的余弦值为( )
A. 64B. 33C. 63D. 104
9.将函数fx=sin2x的图像向左平移π4个单位后，得到函数gx的图像，设A,B,C为以上两个函数图像不共线的三个交点，则△ABC的面积不可能为( )
A. 2 2πB. 2πC. 22πD. 24π
10.已知函数f(x−1)(x∈R)是偶函数，且函数f(x)的图像关于点(1,0)对称，当x∈[−1,1]时，f(x)=ax−1，则f(2022)=( )
A. −1B. −2C. 0D. 2
11.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2c(b>c),P是C上的任意一点，过点P作两条直线与圆x2+y2=c2相切，切点分别为A,B.若当∠APB最大时，AB=c，则C的离心率为( )
A. 217B. 33C. 55D. 77
12.已知实数x,y满足ex+ex=21+yey=2e，则x+y=( )
A. 1B. 12C. 1eD. 13
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=3,−λ,b=λ−1,−2，且a−b−b=a，则实数λ=__________.
14.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有__________种．
15.对给定的实数b，总存在两个实数a，使直线y=ax−b与曲线y=lnx−b相切，则b的取值范围为__________.
16.如图，在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2A1B1，且存在一个半径为r的球，与该正四棱台的各个面均相切.设该正四棱台的外接球半径为R，则Rr=__________.
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知数列{an}对任意的n∈N*都满足a13+a232+a333+⋯+an3n=n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn=1lg3a4n−1lg3a4n+3，求数列{bn}的前n项和为Tn.
18.(本小题12分)
在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2bsin2A2+acsB=c.
(1)求A；
(2)D为线段BC上一点，AD平分∠BAC，若AD=2，求a的最小值.
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PCD⊥平面PAD，
(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)若PA⊥AD,M是PB的中点，平面MAC与平面PCD所成锐二面角的余弦值为 63，求直线PC与平面PAB所成角的余弦值.
20.(本小题12分)
自2017年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相依，延续风貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标．某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂．这种生物复合剂入水后每1个单位的活性随时间x(单位：小时)变化的函数为u=−256x+4−x+64,0≤x<4a12−x,4≤x≤12，已知当x=4时，u的值为28，且只有在活性不低于3.5时才能产生有效作用．
(1)试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间；(结果精确到0.1小时)
(2)由于环境影响，每1个单位生物复合剂入水后会产生损耗，设损耗剩余量v关于时间x的函数为v=1x+1,0≤x≤12，记u⋅v为每1个单位生物复合剂的实际活性，求出u⋅v的最大值．(结果精确到0.1)
21.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2，实轴长为4.
(1)求C的方程；
(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点P(0,t)且垂直于y轴(P位于原点与上顶点之间)，过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐标．
22.(本小题12分)
已知函数fx=xax+lnx−2,gx=xlnx−x−a，
(1)若fx与gx有相同的单调区间，求实数a的值；
(2)若方程fx=3gx+x+3a−1有两个不同的实根x1,x2，证明：x1x2>ea.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】分a=−1，a=0，a=1，a=2分别说明即可.
【详解】因为a∈Z，所以当a=−1时，P∩Q=0,1，符合题意，
当a=0时，P∩Q=1,2，符合题意，
当a=1时，P∩Q=2，不符合题意，
当a=2时，P∩Q=4，不符合题意，
故a的取值集合为−1,0.
故选：C.
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握存在量词命题的否定方法“∃x∈A，p(x)”的否定是“∀x∈A，¬p(x)”，是解答本题的关键．
根据存在量词命题“∃x∈A，p(x)”的否定是“∀x∈A，¬p(x)”，结合已知命题，即可得到答案．
【解答】
解：∵命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”是存在量词命题，
而存在量词命题的否定是全称量词命题，
则命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，
故选：B.
3.【答案】B
【解析】【分析】利用等差数列的通项公式列方程组求解.
【详解】设等差数列an的公差为d，
因为a1a2=3a2a3=15，所以a1a1+d=3a1+da1+2d=15，
解得a1=1d=2或a1=−1d=−2(舍去)，
所以a4a5=1+3×2×1+4×2=63.
故选：B.
4.【答案】C
【解析】【分析】由题意可得(12)1h=1011，代入45−25=(12)th(75−25)，得1011t=25，两边取常用对数得：tlg1011=lg25，再利用对数的运算性质即可求出t的值．
【详解】解：根据题意得：75−25=121h(80−25)，
∴121h=1011，
∴45−25=(12)th75−25，
∴20=50×(12)1ht，
∴1011t=25，
两边取常用对数得：tlg1011=lg25，
∴t=lg25lg1011=lg2−lg51−lg11=2lg2−11−lg11≈2×0.3−11−1.04=10，
∴水温从75℃降至45℃大约还需要10分钟，
故选：C.
5.【答案】B
【解析】【分析】联立直线与抛物线方程求得点M的坐标，然后根据焦半径公式求得，从而求出抛物线方程，直接求出准线方程即可.
【详解】联立y=xy2=2px，解得x=2py=2p或x=0y=0(舍去)，所以M2p,2p.
因为MF=10，所以2p+p2=10，解得p=4，
所以C的方程为y2=8x，准线方程为x=−2.
故选：B
6.【答案】C
【解析】【分析】根据线面、面面的垂直、平行关系和充分必要条件的定义即可判断.
【详解】解：充分性：若a⊥α,a//b，则b⊥α，又b⊥β，所以α//β，所以“a//b”是“α//β”的充分条件；
必要性：若α//β,a⊥α，则a⊥β，又b⊥β，所以a//b，所以“a//b”是“α//β”的必要条件，
所以“a//b”是“α//β”的充要条件，
故选：C.
7.【答案】A
【解析】【分析】利用三角函数的倍角公式，结合正切函数的和差公式，逆用正余弦的和差公式即可得解.
【详解】因为sin2α−2cs2α=1，
所以−2cs2α=1−sin2α，则−2csα+sinαcsα−sinα=(csα−sinα)2，
因为α∈π4,3π4，所以csα−sinα≠0,csα+sinα≠0，
则tanπ4−α=1−tanα1+tanα=csα−sinαcsα+sinα=−2.
故选：A.
8.【答案】A
【解析】【分析】设圆柱的底面圆的半径为r，由AB//CD，可得∠CDE即为异面直线DE与AB所成角的平面角，求出CE,DE，再利用余弦定理即可得解.
【详解】解：设圆柱的底面圆的半径为r，则AD=BC= 3r,
因为AB//CD，
所以∠CDE即为异面直线DE与AB所成角的平面角，
因为点E为上底面圆弧AB⌢的靠近B点的三等分点，
所以∠BOE=π3，故△OBE为等边三角形，
所以BE=r，
故AE= 3r，
则CE=2r，DE= 6r，
所以cs∠EDC= 6r2+2r2−2r22× 6r×2r= 64，
即异面直线DE与AB所成角的余弦值为 64.
故选：A.
9.【答案】D
【解析】【分析】先求得g(x)的解析式，在同一坐标系内作出f(x)、g(x)图像，不妨取x轴正半轴第一个交点为A，第二个交点为B，分别求得当C位于不同位置时，△ABC的面积，根据规律，分析即可得答案.
【详解】由题意得gx=sin2x+π4=sin2x+π2=cs2x，
在同一坐标系内作出f(x)、g(x)图像，如下图所示
令sin2x=cs2x，解得x=π8+kπ2,k∈Z，
不妨取x轴正半轴第一个交点为A，第二个交点为B，
所以Aπ8, 22,B5π8,− 22
若C点位于C19π8, 22时，△ABC的面积S=12×9π8−π8× 2= 22π，故C正确
当C点位于C213π8,− 22时，△ABC的面积S=12×13π8−5π8× 2= 22π，
当C点位于C317π8, 22时，△ABC的面积S=12×17π8−π8× 2= 2π，故B正确，
因为AC3=2AC1，此时△ABC3为△ABC1面积的2倍，
以此类推，当C位于不同位置时，△ABC的面积应为 22π的整数倍，故A正确，D错误，
故选：D
10.【答案】A
【解析】【分析】先由题给条件求得函数f(x)的最小正周期为8，再利用周期、对称轴的性质即可求得f(2022)的值.
【详解】根据题意，函数f(x−1)(x∈R)是偶函数，则函数f(x)的对称轴为x=−1，
则有f(x)=f(−2−x)，又由函数f(x)的图像关于点(1,0)成中心对称，
则f(x)=−f(2−x)，则有f(−2−x)=−f(2−x)，则f(x+4)=−f(x)，
则有f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，则函数f(x)是周期为8的周期函数，
则f(2022)=f(−2+253×8)=f(−2)=f(0)=−1
故选：A.
11.【答案】A
【解析】【分析】根据切线性质可得垂直关系，进而根据锐角三角函数得sin∠APO=cOP，即可求解P为短轴端点时，OP最小，根据三角形边角关系即可求解 32=cb，进而根据齐次式即可求解离心率.
【详解】设坐标原点为O，由题意知OA⊥PA，OB⊥PB，故sin∠APO=OAOP=cOP.
因为∠APB=2∠APO，当∠APB最大时，∠APO最大，
即sin∠APO最大，故只需OP最小，
当P为短轴端点时，OP最小，此时AB=OA=OB=c，∠AOP=π6，
所以∠APO=π3，所以 32=cb，即4c2=3b2=3a2−c2，
化简得7c2=3a2，得e2=37，故e= 217.
故选：A
12.【答案】A
【解析】【分析】根据题意可得x+ex=2,1+yey=e，换元得et+t=2，进而利用ft=et+t的单调性可得t=1−y=x即可求解.
【详解】由ex+ex=21+yey=2e，得x+ex=2,1+yey=e，所以1+y=e1−y，
令t=1−y，则2−t=et,et+t=2.
令ft=et+t，由于y=et,y=t均为单调递增函数，则ft单调递增，
因为f0=12,f1=e+12，
所以存在唯一的实数t使ft=et+t=2，所以t=1−y=x，即x+y=1.
故选：A
13.【答案】−2
【解析】【分析】依题意可得a−b=b+a，将两边平方可得−a⋅b=ab，设a与b的夹角为θ，根据数量积的定义得到θ=π，即可得到a与b共线且反向，根据平面向量共线的坐标表示求出λ，再检验即可.
【详解】由a−b−b=a，得a−b=b+a，两边平方得−a⋅b=ab，
设a与b的夹角为θ，则−abcsθ=ab，因为a、b均不为0，
所以csθ=−1，又θ∈0,π，所以θ=π，
所以a与b共线且反向，所以−λλ−1=−6，解得λ=3或λ=−2.
当λ=3时，a=3,−3,b=2,−2，即a=32b，则a与b同向，舍去；
当λ=−2时，a=3,2,b=−3,−2，即a=−b，则a与b反向，符合题意，
所以λ=−2.
故答案为：−2
14.【答案】60
【解析】【分析】
本题考查排列组合的综合运用，
分类计算可得结果.
【解答】
解：从四个城市选择三个城市，每个城市投资1个项目有C43A33种;
从四个城市选择两个城市，有一个城市投资2个有C42C21C32种，
故投资方案共C43A33+C42C21C32=24+36=60种.
故答案为60.
15.【答案】−∞,0
【解析】【分析】求出导函数，然后利用导数的几何意义列方程消元得b=1+lna1−a，构造函数fa=1+lna1−a，利用导数法研究函数单调性，数形结合求得值域即可求解.
【详解】由y=lnx−b得y′=1x−b，设切点坐标为x0,y0，则x0>b,1x0−b=a,y0=ax0−b,y0=lnx0−b,，
消去x0,y0可得b1−a=1+lna,a≠1，所以b=1+lna1−a,a≠1，
令fa=1+lna1−a,a≠1，则f′a=1a+lna(1−a)2，当a>1时，f′a>0,fa单调递增；
当0所以ga在区间0,1上单调递减，因为g1=1>0，
所以当00，即f′a>0,fa单调递增
因为当a趋近于0时，fa趋近于负无穷大−∞，当a从1左边趋近于1时，fa趋近于正无穷大，
当a从1右边趋近于1时，fa趋近于负无穷大，当a趋近于正无穷大时，fa趋近于0，
作出fa的大致图象，
所以若对给定的实数b，总存在两个实数a，使直线y=ax−b与曲线y=lnx−b相切，
则b的取值范围为−∞,0.
故答案为：−∞,0
16.【答案】 654
【解析】【分析】
本题考查棱台的结构特征，几何体的外接球、内切球问题，属于中档题．
设内切球球心为O1，外接球球心为O2，根据已知条件计算可得到答案．
【解答】
解：设内切球球心为O1，外接球球心为O2，
棱BC，B1C1的中点分别为E，F，不妨设r=2，
棱台上、下底面的中心分别为P，Q，球O1与EF相切于H，
易知FP=FH，EQ=EH，
所以∠FO1E=∠FO1H+∠EO1H=π2，
所以PFr=rQE，
又QE=2PF，所以PF= 2，QE=2 2，PQ=4，
所以PB1=2，QB=4，
所以 R2−4+ R2−16=4，解得R= 652，
所以Rr= 654.
故答案为： 654.
17.【答案】解：
(1)∵a13+a232+a333+⋅⋅⋅+an3n=n，∴当n=1时，a1=3，
当n≥2时，a13+a232+a333+⋅⋅⋅+an−13n−1=n−1，
从而有an3n=1，即当n≥2时，an=3n，
又a1=3满足上式，
故数列an的通项公式为an=3n.
(2)由题可知，bn=1lg3a4n−1lg3a4n+3=1lg334n−1⋅lg334n+3=14n−14n+3，
所以bn=14n−14n+3=1414n−1−14n+3，
Tn=1413−17+1417−111+⋅⋅⋅+1414n−1−14n+3，
所以Tn=1413−14n+3.

【解析】(1)根据题干中的已知条件可得当n=1时，a1=3，当n≥2时，an3n=1，即可求解数列an的通项公式；
(2)代入an=3n化简数列bn，利用裂项相消法即可求解数列bn的前n项和Tn.
18.【答案】解：
(1)因为2bsin2A2+acsB=c，所以b1−csA+acsB=c，
即acsB−bcsA+b=c.
在△ABC中，由正弦定理得sinAcsB−sinBcsA+sinB=sinC，
在△ABC中，sinC=sinA+B=sinAcsB+sinBcsA，
所以sinB=2sinBcsA.
因为sinB≠0，所以csA=12，
又0(2)
由AD平分∠BAC，得∠BAD=∠CAD=π6，
因为S△ABD+S△ADC=S△ABC，所以12c⋅AD⋅sinπ6+12b⋅AD⋅sinπ6=12bcsinπ3，
又AD=2，所以b+c= 32bc.
因为b+c= 32bc≥2 bc，
所以bc≥163，当且仅当b=c=4 33时，等号成立.
在△ABC中，由余弦定理得
a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc=34(bc)2−3bc=34(bc−2)2−3，
因为bc≥163，所以当bc=163时，a2最小，且a2min=34×1632−3×163=163，
所以a的最小值为4 33.

【解析】(1)由正弦定理边化角以及两角和的正弦公式得sinB=2sinBcsA，由此即可进一步求解；
(2)由等面积法以及三角形面积公式得b+c= 32bc，由基本不等式有bc≥163，在△ABC中，由余弦定理得可得a2=34(bc−2)2−3，由bc≥163可得a的范围进而求解.
19.【答案】解：
(1)如图，过点A作AH⊥PD于点H，
因为平面PCD⊥平面PAD，平面PCD∩平面PAD=PD，AH⊂平面PAD，
所以AH⊥平面PCD，因为CD⊂平面PCD，所以AH⊥CD，
因为底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD，
又AH∩AD=A，AH,AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD
因为CD⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD，
(2)由(1)知CD⊥平面PAD，因为AB//CD，
所以AB⊥平面PAD，又PA⊥AD，所以AB,AD,AP两两垂直，
所以以A为原点，以AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为底面ABCD是正方形，设AB=1,AP=h，
所以A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0)，C(1,1,0),P(0,0,h),M12,0,h2
则AC=(1,1,0)，AM=12,0,h2,DC=(1,0,0),DP=(0,−1,h),
设平面MAC的一个法向量为n=x,y,z，则n⋅AC=0,n⋅AM=0,得x+y=0,12x+h2z=0,
令z=−1，则x=h,y=−h，所以n=h,−h,−1，
设平面PCD的一个法向量为m=x′,y′,z′，则m⋅DC=0,m⋅DP=0,得x′=0,−y′+hz′=0,
令z′=1，则x′=0,y′=h，所以m=0,h,1，
因为平面MAC与平面PCD所成锐二面角的余弦值为 63，
所以csn,m=n⋅mn⋅m=h2+1 h2+h2+1× h2+1= 63，解得h=1(负值舍去)，
又AD⊥平面PAB,AD//BC，所以BC⊥平面PAB，
所以∠CPB为PC与平面PAB所成的线面角，
因为AB=BC=h=1，所以PB= 2,PC= 3，
在Rt△PBC中，cs∠CPB=PBPC= 2 3= 63，
所以直线PC与平面PAB所成角的余弦值为 63.

【解析】(1)根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而根据线线垂直证明线面垂直，即可得面面垂直，
(2)建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解长度，进而利用线面角的几何法，结合三角形的边角关系即可求解.
20.【答案】解：
(1)由于f(4)=28，则a=72，
当0≤x<4时，f(x)=−256x+4−x+64≥3.5⇒x2−56.5x+14≤0，
解得0.25≤x<4，
当4≤x≤12时，f(x)=72(12−x)≥3.5⇒4≤x≤11，
即产生有效作用的时间段为0.25≤x≤11，
故产生有效作用的时间为11−0.25=10.75≈10.8小时．
(2)当0≤x<4时，令t=x+1，则t∈[1,5),
同时u⋅v=1t−256t+3−t+65=65t−61t(t+3)−1，
再令m=65t−61，则m∈[4,264),
面积u⋅v=mm+165m+165+3−1=652m+15616m+317−1，
由基本不等式，m+15616m+317≥2 m⋅15616m+317=2 15616+317，
当且仅当m= 15616∈[4,264)时等号成立，
则u⋅v在[0,4)上的最大值为u⋅v=6522 15616+317=6.45≈6.5，
当4≤x≤12时，u⋅v=72⋅12−xx+1=7213x+1−1，
则此时u⋅v在[4,12]是单调递减的，
则最大值在x=4时取到，u⋅v=285=5.6，
综上所述，u⋅v在[0,12]上的最大值为6.5.

【解析】(1)由f(4)=28求出a，分0≤x<4、4≤x≤12，解不等式f(x)≥3.5可得答案；
(2)当0≤x<4时，令t=x+1，u⋅v=65t−61t(t+3)−1，再令m=65t−61，面积u⋅v=652m+15616m+317−1由基本不等式求得最值；当4≤x≤12时，u⋅v=7213x+1−1，利用单调性可得u⋅v的最大值，再比较可得答案．
21.【答案】解：(1)因为实轴长为4，即2a=4，a=2，
又ca= 2，所以c=2 2,b2=c2−a2=4，
故C的方程为y24−x24=1；
(2)由O，A，N，M四点共圆可知，∠ANM+∠AOM=π，
又∠MOP+∠AOM=π，即∠ANM=∠MOP，
故tan∠ANM=tan∠MOP=1tan∠OMP，
即−kAN=1−kOM，所以kAN⋅kOM=1，
设G(x1,y1)，H(x2,y2)，M(xM,yM)，
由题意可知A(0,−2)，则直线AG:y=y1+2x1x−2，
直线AH:y=y2+2x2x−2，
因为M在直线l上，所以yM=t，代入直线AG方程，可知xM=(t+2)x1y1+2，
故M坐标为((t+2)x1y1+2,t)，所以kOM=t(y1+2)(t+2)x1，
又kAN=kAH=y2+2x2，
由kAN⋅kOM=1，则t(y1+2)(t+2)x1⋅y2+2x2=1，
整理可得t+2t=(y1+2)(y2+2)x1x2，
当直线GH斜率不存在时，显然不符合题意，
故设直线GH：y=kx+t，
代入双曲线方程：y24−x24=1中，
可得(k2−1)x2+2ktx+t2−4=0，
所以x1+x2=−2ktk2−1,x1x2=t2−4k2−1，
又(y1+2)(y2+2)=(kx1+t+2)(kx2+t+2)
=k2x1x2+k(t+2)(x1+x2)+(t+2)2=k2⋅t2−4k2−1+k(t+2)⋅−2ktk2−1+(t+2)2=−(t+2)2k2−1，
所以t+2t=(y1+2)(y2+2)x1x2=−(t+2)2k2−1t2−4k2−1=−(t+2)2t2−4=−(t+2)t−2(t+2≠0)，
故t=2−t，即t=1，所以点P坐标为(0,1).
【解析】本题考查了双曲线方程的求解，以及直线与双曲线的位置关系的问题，属于难题．
(1)根据双曲线的离心率结合实轴长，可求得a，b，即得答案；
(2)根据O，A，N，M四点共圆结合几何性质可推出kAN⋅kOM=1，设G(x1,y1)，H(x2,y2)，M(xM,yM)，从而可以用点的坐标表示出t，再设直线GH：y=kx+t，联立双曲线方程，利用根与系数的关系式，代入t的表达式中化简，可得答案．
22.【答案】解：
(1)函数fx与gx的定义域均为0,+∞，
由gx=xlnx−x−a得g′x=lnx，
当0当x>1时，g′x>0,gx单调递增，
由fx=xax+lnx−2得f′x=2ax+lnx−1，
因为fx与gx有相同的单调区间，
所以f′1=2a−1=0，解得a=12，
当a=12时，fx=12x2+xlnx−2x,f′x=x+lnx−1，
因为f′x在区间0,+∞上单调递增，且f′1=0，
所以当0当x>1时，f′x>0,fx单调递增，
此时fx与gx有相同的单调区间，符合题意，
故a=12.
(2)方程fx=3gx+x+3a−1有两个不同的实根x1,x2，
等价于ax2−2xlnx+1=0有两个不同的实根x1,x2，
等价于ax=2lnx−1x有两个不同的实根x1,x2，
令hx=ax−2lnx+1x,x>0，则h′x=a−1x2−2x=ax2−2x−1x2，
当a≤0时，h′x<0,hx单调递减，不符合题意，舍去；
当a>0时，方程h′x=0必有一正根x0，使得ax02−2x0−1=0，即ax0=2+1x0，
且当0x0时，h′x>0,hx单调递增，
若方程ax=2lnx−1x有两个不同的实根，hx0=ax0−2lnx0+1x0=2+2x0−2lnx0<0，
令φx=1+1x−lnx，则φx单调递减，
因为φe=1e>0，所以x0>e,0<1x0<1e，
所以a=1x02+2x0=1x0+12−1<2e+1e2<1，
因为x1,x2是方程ax=2lnx−1x的两个不同的实根，
所以ax1=2lnx1−1x1，ax2=2lnx2−1x2，
两式相加，得ax1+x2=2lnx1x2−x1+x2x1x2，即a=2lnx1x2x1+x2−1x1x2，
两式相减，得ax2−x1=2lnx2x1+x2−x1x1x2，即a=2lnx2x1x2−x1+1x1x2，
所以2lnx1x2x1+x2−1x1x2=2lnx2x1x2−x1+1x1x2，整理得lnx1x2−x1+x2x1x2=x1+x2x2−x1lnx2x1，
不妨设01,ωt=lnt−t−1t+1=lnt+2t+1−1,t>1
则ω′t=1t−2(t+1)2=t2+1t(t+1)2>0，所以ωt单调递增，ωt>ω1=0，
所以lnx2x1>x2−x1x1+x2，所以lnx1x2−x1+x2x1x2=x1+x2x2−x1lnx2x1>1，
所以lnx1x2>1+x1+x2x1x2>1，所以x1x2>e，
又因为a<1，所以x1x2>ea.

【解析】(1)先分析gx的单调性，从而结合fx的导数得到a，再进行检验即可得解；
(2)将问题转化为ax2−2xlnx+1=0有两个不同的实根x1,x2，构造函数hx=ax−2lnx+1x，利用导数求得a的取值范围，再利用零点的定义消去a转化得lnx1x2−x1+x2x1x2=x1+x2x2−x1lnx2x1，从而构造函数ωt=lnt−t−1t+1，利用导数证得x1x2>e，从而得证.
方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出不等关系；
2.利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3.适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论；
4.构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

2023-2024学年甘肃省张掖市某校高三下学期模拟考试数学试题(含详细答案解析)

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