2023-2024学年甘肃省武威市凉州区高考数学三诊试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年甘肃省武威市凉州区高考数学三诊试卷(含详细答案解析)，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合U={x∈Z|x2−x−12≤0}，A={−2,−1,3}，B={0,1,3,4}，则(∁∪A)∩B=( )
A. {0,2,4}B. {0,1,4}C. {0,4}D. {1,3}
2.复数z满足1+zi+zi2=|1− 3i|，则z=( )
A. 1+iB. 12+12iC. −12−12iD. −12+12i
3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=bcsA，则△ABC为( )
A. 等腰非等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等边三角形
4.函数f(x)=x2⋅csx在区间[−π2,π2]内的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知lgx+lgy=1，则x+y的最小值是( )
A. 1B. 10C. 2 10D. 10
6.已知sin(π6−α)=13，则cs(2π3+2α)的值是( )
A. −79B. −13C. 13D. 79
7.点A是曲线y=32x2−lnx上任意一点，则点A到直线y=2x−1的最小距离为( )
A. 510B. 55C. 2 55D. 5
8.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0,+∞),都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0，则满足f(2x−1)A. (−1,0)B. (1,+∞)∪(−∞,0)
C. (−∞,0)D. (0,1)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题是真命题的是( )
A. ∀x∈R，x+1x≥2B. ∃x>0，lnx=x
C. ∀x∈R，x2+x≥−1D. 方程x2=2x的实根有三个
10.下列等式中正确的是( )
A. sin15∘cs15∘=14B. 2sin222.5∘−1= 22
C. tan71∘−tan26∘1+tan71∘tan26∘=1D. sin26∘cs34∘+cs26∘sin34∘=12
11.若函数f(x)=xlnx−ax+1恰有两个零点，则实数a的取值可能是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
12.若函数fx=Asin2x+φ(A>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A. −π12,0是函数fx图象的一个对称中心
B. 函数fx的图象关于直线x=π3对称
C. 函数fx在区间−π3,π3上单调递增
D. 函数fx的图象可由y=Asin2x的图象向左平移π12个单位得到
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若直线y=−2x+23与曲线y=13x3−ax相切，则a=__________.
14.已知tanα=2，则sin2α−cs2αsin2α=__________.
15.△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为3(a2+b2−c2)4 3，则C=__________.
16.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，xf′(x)0的解集为__________ .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=csx(2 3sinx+csx)−sin2x.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间和最小正周期；
(Ⅱ)若当x∈[0,π2]时，关于x的不等式f(x)≥m______，求实数m的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，补全问题(Ⅱ)，并求解．其中①有解；②恒成立．
18.(本小题12分)
如图，在△ABC中，∠A=30∘，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3
(1)求△CBD的面积；
(2)求边AC的长.
19.(本小题12分)
已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=110，且a1，a2，a4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn=1(an−1)(an+1)，若数列{bn}前n项和为Tn，证明Tn<12.
20.(本小题12分)
已知等比数列{an}中，2a1+a2=a3，且a1，a2，a3−1成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)当数列{an}为正项数列时，若数列{bn}满足bn=2n−1+an(n∈N*)，记数列{bn}的前n项和为Sn，试比较Sn与n2+2n的大小.
21.(本小题12分)
若函数f(x)=ax3−bx+4，当x=2时，函数f(x)有极值−43.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数的极值点并求出函数的极值.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx+mx，其中m∈R.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；
(Ⅱ)若∀x∈(0,+∞)，f(x)≤x2−2x，求m的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合U={x∈Z|x2−x−12≤0}={x∈Z|−3≤x≤4}={−3,−2,−1,0,1,2,3,4}，A={−2,−1,3}，
∴∁∪A={−3,0,1,2,4}，
∵B={0,1,3,4}，
∴(∁∪A)∩B={0,1,4}，
故选：B.
确定全集的元素，然后利用补集和交集，进行交补运算．
本题的考点是集合的交集和补集运算．先将集合进行化简是解决本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：由已知1+zi+zi2=|1− 3i|，可得(i−1)z=1，
∴z=1i−1=−12−12i.
故选：C.
先求出等式右侧复数的模，然后表示出复数z，再化简变形求得结果．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用正弦定理判断三角形的形状、两角和的正弦公式、诱导公式——π±α型，属于基础题．
由c=bcsA结合正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式，得到csB=0，进而求出角B的大小，即可判断△ABC的形状．
【解答】
解：在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，
由正弦定理得csinC=bsinB=2R，
则c=2RsinC，b=2RsinB，
由题意知c=bcsA，
所以sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB=sinBcsA，
所以sinAcsB=0，
因为A是△ABC的内角，所以0所以sinA>0，所以csB=0，
又0即△ABC为直角三角形．
故选：C.
4.【答案】B
【解析】解：由于函数f(x)=x2csx是偶函数，
故它的图象关于y轴对称，且当x∈[−π2,π2]时，函数值为正实数，
故选B.
根据函数f(x)=x2csx是偶函数，且函数在[−π2,π2]内的函数值为正实数，从而得出结论．
本题主要考查偶函数的图象和性质，余弦函数在∈[−π2,π2]的值域，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：∵lgx+lgy=lg(xy)=1，即xy=10且x>0，y>0，
∴x+y≥2 xy=2 10，当且仅当x=y= 10时取等号，
所以x+y的最小值为2 10.
故选：C.
利用基本不等式的性质即可得出．
本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查二倍角的余弦，运用诱导公式化简求值，考查计算能力，是基础题．
利用诱导公式和二倍角公式化简cs(2π3+2a)为含sin(π6−α)的表达式，然后代入sin(π6−α)的值，求解即可．
【解答】
解：cs(2π3+2α)
=csπ−π3−2α
=−cs(π3−2α)
=−cs[2(π6−α)]
=−[1−2sin2(π6−α)]
=−(1−29)=−79.
故选：A.
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了点到直线的距离公式，导数的几何意义，属中档题.
由动点A在曲线y=32x2−lnx，则找出曲线上某点的切线斜率与直线y=2x−1的斜率相等的点为距离最小的点，然后利用导数的几何意义即可.
【解答】
解：不妨设f(x)=32x2−lnx，定义域为：(0,+∞)，
对f(x)求导可得：f′(x)=3x−1x
令f′(x)=2，
解得：x=1(其中x=−13舍去)
当x=1时，y=32，则此时该点(1,32)到直线y=2x−1的距离为最小，
根据点到直线的距离公式可得：d=|2−32−1| 5= 510.
故选A.
8.【答案】B
【解析】解：因为f(x)是偶函数，且f(x)在x∈[0,+∞)上单调递减，
所以不等式f(2x−1)即|2x−1|>1，
解得x<0或x>1，
所以满足f(2x−1)故选：B.
由函数为偶函数可得原不等式等价于f(|2x−1|)本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
9.【答案】CD
【解析】解：对于A，当x<0时，x+1x=−(−x+1−x)，
因为−x>0，所以−x+1−x≥2 (−x)⋅1−x=2，
所以x+1x=−(−x+1−x)≤−2，故A错误；
对于B，由反函数的性质可知，
由于y=ex与y=lnx的图象关于y=x对称，
且y=lnx的图象恒在y=x图象的下方，所以x>lnx恒成立，故B错误；
对于C，∀x∈R，x2+x+1=(x+12)2+34≥0，即x2+x≥−1恒成立，故C正确；
对于D，y=x2与y=2x有且仅有三个交点，故D正确．
故选：CD.
利用命题的定义，结合函数图象的性质求解即可．
本题主要考查了含有量词的命题真假关系的应用，属于中档题．
10.【答案】AC
【解析】解：选项A，sin15∘cs15∘=12sin30∘=14，即A正确；
选项B，2sin222.5∘−1=−cs45∘=− 22，即B错误；
选项C，tan71∘−tan26∘1+tan71∘tan26∘=tan(71∘−26∘)=tan45∘=1，即C正确．
选项D，sin26∘cs34∘+cs26∘sin34∘=sin(26∘+34∘)=sin60∘= 32，即D错误．
故选：AC.
利用二倍角公式，可判断选项A和B；由两角和的正弦公式，可判断选项D；由两角差的正切公式，可判断选项C.
本题考查三角函数的求值，熟练掌握二倍角公式，两角和差公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查利用导数求函数的零点问题，属于中档题.
求出函数的导数，分析其单调性和极值，根据零点的个数可得f(x)min=1−ea−1<0，解不等式求出a的范围即可.
【解答】
解：因为f(x)=xlnx−ax+1，
所以f′(x)=lnx+1−a，
令f′(x)>0，可得x>ea−1，
令f′(x)<0，可得0所以f(x)在(0,ea−1)上单调递减，在(ea−1,+∞)上单调递增，
所以f(x)min=f(ea−1)=1−ea−1，
当x→0时，f(x)→1;当x→+∞时，f(x)→+∞.
若f(x)有两个零点，则f(x)min=1−ea−1<0，
解得a>1，则选项BCD满足.
故选BCD.
12.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查利用图象求三角函数的解析式、正弦函数的图象与性质，考查学生的数形结合能力、推理论证能力和运算能力，属于基础题．
先由图象可知A=2，再把点(5π12,0)代入函数解析式，结合0<φ<π2，可求得φ=π6，从而确定函数的解析式为f(x)=2sin(2x+π6).然后根据正弦函数图象的中心对称、轴对称和正弦函数的单调性以及平移变换法则逐一判断每个选项即可．
【解答】
解：由图可知，A=2，
∵函数f(x)的图象经过点(5π12,0)，∴0=2sin(2×5π12+φ)，
∴sin(5π6+φ)=0，
∴5π6+φ=kπ,k∈Z，
又∵0<φ<π2，∴φ=π6.
∴函数f(x)=2sin(2x+π6).
令2x+π6=kπ,k∈Z，则x=−π12+kπ2,k∈Z，当k=0时，对称中心为(−π12,0)，即A正确；
令2x+π6=π2+kπ,k∈Z，则x=π6+kπ2,k∈Z，不存在整数k使其对称轴为x=π3，即B错误；
令2x+π6∈[−π2+2kπ,π2+2kπ],k∈Z，则x∈[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z，当k=0时，单调递增区间为[−π3,π6]，
所以函数f(x)在区间[−π3,π3]上不是单调递增的，即C错误；
y=2sin2x的图象向左平移π12个单位得到y=2sin[2(x+π12)]=2sin(2x+π6)=f(x)，D正确.
故选AD.
13.【答案】3
【解析】【分析】
本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题.
设切点为x0,y0，列式求解即可.
【解答】
解：不妨设切点为x0,y0，
则曲线y=13x3−ax中，则y′=x2−a，
则应有y0=−2x0+23x02−a=−2y0=13x03−ax0，解得a=3x0=−1y0=83，
故答案为3.
14.【答案】34
【解析】【分析】
本题考查三角函数值的求法，考查同角三角函数关系式和二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
化简sin2α−cs2αsin2α=tan2α−12tanα，代入tanα=2，由此能求出结果．
【解答】
解：∵tanα=2，
∴sin2α−cs2αsin2α=sin2α−cs2α2sinαcsα=tan2α−12tanα=4−12×2=34，
故答案为34.
15.【答案】π3
【解析】解：∵S△ABC=12absinC，由余弦定理得b2+a2−c2=2abcsC，
∴结合S△ABC=34 3(b2+a2−c2)，得12absinC= 32abcsC，
∴sinC= 3csC，∵C∈(0,π)，所以csC≠0，
∴tanC= 3，∴C=π3，
故答案为：π3.
化简已知得12absinC= 32abcsC，解方程可求tanC，进而求得C.
本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．
16.【答案】(−1,0)∪(0,1)
【解析】解：令g(x)=f(x)x，则g′(x)=xf′(x)−f(x)x2，
因为x>0时，xf′(x)所以g(x)在(0,+∞)上单调递减，
又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(−x)=−f(x)，
所以g(−x)=f(−x)−x=−f(x)−x=f(x)x=g(x)，
所以g(x)是(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，
则g(x)在(−∞,0)上单调递增，且g(−1)=g(1)=f(1)1=0，
所以当x∈(−1,0)∪(0,1)时，g(x)>0.
所以不等式f(x)x>0的解集为(−1,0)∪(0,1).
故答案为：(−1,0)∪(0,1).
令g(x)=f(x)x，对其求导，根据条件得到g(x)是定义域上的偶函数，在(−∞,0)上的单调性，再结合g(−1)=g(1)=0，可求出g(x)>0的解集．
本题考查不等式的解集，解题关键是判断函数的单调性，考查了函数的思想，属中档题．
17.【答案】(Ⅰ)解：因为f(x)=2 3sinxcsx+cs2x−sin2x
= 3sin2x+cs2x
=2sin(2x+π6).
所以函数f(x)的最小正周期T=π.
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z，
解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z.
所以函数f(x)的单调增区间为[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z，
(Ⅱ)解：若选择①
由题意可知，不等式f(x)≥m有解，即m≤f(x)max.
因为x∈[0,π2]，所以π6≤2x+π6≤7π6.
故当2x+π6=π2，即x=π6时，f(x)取得最大值，且最大值为f(π6)=2.
所以m≤2.
若选择②
由题意可知，不等式f(x)≥m恒成立，即m≤f(x)min.
因为x∈[0,π2]，所以π6≤2x+π6≤7π6.
故当2x+π6=7π6，即x=π2时，f(x)取得最小值，且最小值为f(π2)=−1.
所以m≤−1.
【解析】本题主要考查了二倍角公式辅助角公式在三角函数化简中的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档试题．
(Ⅰ)先结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的单调性及周期性可求；
(Ⅱ)若选择①，由f(x)≥m有解，即m≤f(x)max，结合正弦函数的性质可求；
若选择②，由f(x)≥m恒成立，即m≤f(x)min，结合正弦函数的性质可求．
18.【答案】解：(1)在△CBD中，由余弦定理可得csB=32+72−522×3×7=1114，
则sinB= 1−cs2B=5 314，
S△CBD=12×3×7×5 314=15 34；
(2)在△ABC中，由正弦定理得BCsinA=ACsinB，
即712=AC5 314，解得AC=5 3.

【解析】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式以及同角三角函数的基本关系.
(1)由余弦定理求得csB，即可得出sinB，再由面积公式即可求解；
(2)由正弦定理即可求解.
19.【答案】(1)解：由题意知：a22=a1a4S10=110⇒(a1+d)2=a1(a1+3d)10a1+45d=110
解得a1=d=2，故数列an=2n；
(2)证明：由(1)可知bn=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
则Tn=12[(11−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)<12.
【解析】本题考查数列求和，等差数列的通项公式，等比数列的性质，考查计算能力．
(1)利用已知条件列出方程，然后求解数列的通项公式．
(2)化简数列的通项公式，利用裂项法求解数列的和即可．
20.【答案】解：(1)由题意，设等比数列{an}的公比为q，
则由2a1+a2=a3，可得2a1+a1q=a1q2，
∵数列{an}是等比数列，
∴a1≠0，
∴2+q=q2，即q2−q−2=0，
解得q=−1，或q=2，
∵a1，a2，a3−1成等差数列，
∴a1+(a3−1)=2a2，即a1+a1q2−1=2a1q，
整理，得a1=1(q−1)2，
①当q=−1时，可解得a1=14，
此时an=14×(−1)n−1，n∈N*，
②当q=2时，可解得a1=1，
此时an=2n−1，n∈N*，
综上可得，an=14×(−1)n−1，n∈N*，或an=2n−1，n∈N*.
(2)由题意及(1)，可得an=2n−1，n∈N*，
则bn=2n−1+an=2n−1+2n−1，
∴Sn=b1+b2+⋅⋅⋅+bn
=(1+20)+(3+21)+(5+22)+…+[(2n−1)+2n−1]
=[1+3+5+⋅⋅⋅+(2n−1)]+(1+2+22+⋅⋅⋅+2n−1)
=n(1+2n−1)2+1−2n1−2
=n2+2n−1，
∵Sn−(n2+2n)=−1<0，
∴Sn【解析】(1)根据等比数列{an}，2a1+a2=a3，且a1，a2，a3−1成等差数列，利用“a1，q”求解；
(2)由(1)题得an=2n−1，则bn=2n−1+2n−1，利用分组求和得到Sn=n2+2n−1，再利用作差法比较Sn与n2+2n的大小．
本题主要考查等比数列的基本运算，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了方程思想，分类讨论，转化与化归思想，分组求和法，等差数列和等比数列的求和公式的运用，作差法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
21.【答案】解：(1)f′x=3ax2−b，
由题意得：f′(2)=12a−b=0f(2)=8a−2b+4=−43，
解得：a=13b=4；
故函数的解析式是f(x)=13x3−4x+4；
(2)由(1)可得f′(x)=x2−4=(x+2)(x−2)，
令f′(x)=0，得x=2或x=−2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
因此，当x=−2时，f(x)有极大值283，
当x=2时，f(x)有极小值−43.
【解析】(1)求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；
(2)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．
本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=1x+m(x>0)，
当m≥0时，f′(x)>0恒成立，
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当m<0时，令f′(x)>0，得0令f′(x)<0，得x>−1m，
∴f(x)在(0,−1m)上单调递增，在(−1m,+∞)上单调递减，
综上所述：当m≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当m<0时，f(x)在(0,−1m)上单调递增，在(−1m,+∞)上单调递减．
(Ⅱ)依题意得lnx+mx≤x2−2x对任意x∈(0,+∞)恒成立，
即m≤x2−2x−lnxx对任意x∈(0,+∞)恒成立，
令g(x)=x2−2x−lnxx(x>0)，则g′(x)=x2+lnx−1x2，
令h(x)=x2+lnx−1，
则h(x)在(0,+∞)上单调递增，
∵h(1)=0，
∴当x∈(0,1)时，h(x)<0，即g′(x)<0；
当x∈(1,+∞)时，h(x)>0，即g′(x)>0，
∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
∴g(x)min=g(1)=−1，
∴m≤−1，故m的最大值为−1.
【解析】(Ⅰ)求出导函数f′(x)=1x+m(x>0)，讨论m≥0，m<0，分别判断f(x)的单调性即可；
(Ⅱ)将已知问题转化为m≤x2−2x−lnxx对任意x∈(0,+∞)恒成立，构造函数g(x)=x2−2x−lnxx(x>0)，利用导数求出其最小值，进而得出所求的答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性、最值与极值，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．x
(−∞,−2)
−2
(−2,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
283
↘
−43
↗