2024年贵州省黔东南州凯里一中高考数学二模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年贵州省黔东南州凯里一中高考数学二模试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若对任意x∈A，1x∈A，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是( )
A. {1,3}B. {−1,0,1}C. {x|x>1}D. {x|x>0}
2.已知向量a=(1,0)，b=(m,2 3)，b在a方向上的投影向量为2a，则m=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.直线l：2x+y+k=0与圆C：x2+y2−4x+6y+12=0交于A，B两点，若|AB|=2，则k=( )
A. 2B. 1C. −1D. −2
4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，a5=81，则S5=( )
A. 201B. 121C. 61D. 61或121
5.平面α过直三棱柱ABC−A1B1C1的顶点B1，平面α//平面ABC1，平面α∩平面BB1C1C=l，且AA1=AB=BC，AB⊥BC，则A1B与l所成角的正弦值为( )
A. 32B. 22C. 12D. 33
6.贵州有很多旅游景点，值得推荐的景区是“黄小西吃晚饭”.“黄小西”分别指黄果树、荔波小七孔和西江千户苗寨，“吃晚饭”分别代表其谐音对应的三个景区：赤水国家级风景名胜区、万峰林和梵净山.现有甲、乙两位游客慕名来到贵州，都准备从上面6个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件A为“甲和乙至少一人选择黄果树”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，则P(B|A)=( )
A. 1136B. 518C. 711D. 1011
7.已知0<α<β<π，且sin(α+β)=2cs(α+β)，sinαsinβ−3csαcsβ=0，则tan(α−β)=( )
A. −1B. − 32C. −12D. 12
8.已知正实数a，b满足e2a−2+eb=e2−2a+e−b，则a−12b的最大值为( )
A. 0B. 12C. 1D. 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsB+bcsA=2a，且sin2B=sinAsinC，则( )
A. a，b，c成等比数列B. sinA:sinB:sinC=1:2: 2
C. A，B，C成等差数列D. 若a=2，则S△ABC= 7
10.某学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生(该校男女生人数之比为3：2)中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为160，方差为179.则下列说法正确的是参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：n1，x−，s12，n2，y−，s22.记总的样本平均数为ω−，样本方差为s2，则( )
参考公式：s2=1n1+n2|n1[s12+(x−−ω−)2]+n2[s22+(y−−ω−)2]|
A. 抽取的样本里男生有60人B. 每一位学生被抽中的可能性为140
C. 估计该学校学生身高的平均值为170D. 估计该学校学生身高的方差为236
11.定义在R上的函数f(x)满足f(2+x)−f(2−x)=2x，且函数f(2x+1)关于点(0,3)对称，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的图象关于点(1,3)对称B. 4是函数f(x)的一个周期
C. f(2023)=2025D. i=099f(i)=5150
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z=11+2i，则|z−|=______.
13.已知一个圆锥的底面半径为4，用一个平行于该圆锥底面的平面截圆锥，若截得的小圆锥的底面半径为2，则截得的小圆锥的侧面积与截得的圆台的侧面积之比为______.
14.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，双曲线的离心率为2，过F2作直线l:y= 3x的垂线，垂足为M，与双曲线右支和y轴的交点分别为A，B，则tan∠OMF1=______；△ABF1的内切圆在AF1边上的切点为N，若双曲线的虚轴长为2 6，则|AN|=______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在科技飞速发展的今天，人工智能领域迎来革命性的突破.类似于OpenAI的人工智能大模型不仅具有高度智能化、自主化和自适应的特点，它们的学习能力和信息储存能力也远远超越人类，更是拥有强大的语音识别和语言理解能力.某机构分别用A，B两种人工智能大模型进行对比研究，检验这两种大模型在答题时哪种更可靠，从某知识领域随机选取180个问题进行分组回答，其中A人工智能大模型回答100个问题，有90个正确；B人工智能大模型回答剩下的80个问题，有65个正确.
(1)完成下列2×2列联表，并根据小概率值α=0.10的χ2独立性检验，能否判断人工智能大模型的选择和回答正确有关？
(2)将频率视为概率，用A人工智能大模型回答该知识领域的3道题目，且各题回答正确与否，相互之间没有影响，设回答题目正确的个数为X，求X的分布列和数学期望.
参考公式及参考数据：x2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d.
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx−a(x−1)x+1在x=1处的切线为x轴.
(1)求实数a的值；
(2)若x1>x2>0，证明：x1−x2lnx1−lnx217.(本小题15分)
如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，O为AC的中点，AA1=A1C1=C1C=12AC=2.
(1)证明：OC1//平面AA1D1D；
(2)若平面ABCD⊥平面ACC1A1，AB⊥BC，当四棱锥B−AA1C1C的体积最大时，求CC1与平面AA1B1B夹角的正弦值.
18.(本小题17分)
已知抛物线E：y2=2x的焦点为F，A，B，C为E上不重合的三点.
(1)若FA+FB+FC=0，求|FA|+|FB|+|FC|的值；
(2)过A，B两点分别作E的切线l1，l2，l1与l2相交于点D，过A，B两点分别作l1，l2的垂线l3，l4，l3与l4相交于点M.
(i)若|AB|=4，求△ABD面积的最大值；
(ii)若直线AB过点(1,0)，求点M的轨迹方程.
19.(本小题17分)
一般地，n个有序实数a1，a2，⋯，an组成的数组，称为n维向量，记为a=(a1,a2,⋯,an).类似二维向量，对于n维向量，也可以定义向量的加法运算、减法运算、数乘运算、数量积运算、向量的长度(模)、两点间的距离等，如a=(a1,a2,⋯,an)，则|a|= a12+a22+⋯+an2；若存在不全为零的r个实数k1，k2，⋯，kr使得k1a1+k2a2+⋯+krar=0，则向量组a1，a2，⋯，ar是线性相关的向量组，否则，说向量组a1，a2，⋯，ar是线性无关的.
(1)判断向量组a1=(1,3,1)，a2=(−1,1,3)，a3=(−5,−7,3)是否线性相关？
(2)若a=(a1,a2,⋯,an)，ak=ln(1+1k)，k=1，2，3，⋯，n，当n≥2且n∈N*时，证明： n2n+4<|a|< 153.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：对于选项A：因为3∈{1,3}，但13∉{1,3}，不符合题意，故A错误；
对于选项B：因为0∈{−1,0,1}，但10无意义，不符合题意，故B错误；
对于选项C：例如2∈{x|x>1}，但12∉{x|x>1}，不符合题意，故C错误，
对于选项D：对任意x∈{x|x>0}，均有1x∈{x|x>0}，符合题意，故D正确．
故选：D.
对于ABC：举反例说明即可；对于D：由题意分析即可．
本题以新定义为载体，主要考查了元素与集合关系的判断，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由向量a=(1,0)，b=(m,2 3)，可得a⋅b=m且|a|=1，
因为向量b在a方向上的投影向量为2a，可得a⋅b|a|⋅a|a|=ma=2a，所以m=2.
故选：B.
根据题意，结合向量的数量积的运算，以及投影向量的计算方法，列出方程，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：圆C：x2+y2−4x+6y+12=0，
则圆C的标准方程为(x−2)2+(y+3)2=1，所以圆心C(2,−3)，半径r=1，
∴|AB|=2=2r，故直线l过圆心C(2,−3)，所以2×2+(−3)+k=0，解得k=−1.
故选：C.
首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，由弦长可知直线l过圆心C(2,−3)，代入方程求出k.
本题主要考查了直线与圆相交弦长公式的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：设{an}的公比为q，则q4=a5a1=81=34，故q=±3；
当q=3时，S5=a1(1−q5)1−q=1⋅(1−35)1−3=121；
当q=−3时，S5=a1(1−q5)1−q=1⋅[1−(−3)5]1−(−3)=61，故排除A，B，C排除．
故选：D.
根据等比数列的基本量求解公比q，再根据等比数列的前n项和公式确定S5的取值．
本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：如图所示，将直三棱柱ABC−A1B1C1向上补一个全等的直三棱柱A1B1C1−A2B2C2，
则B1C2//BC1，A1B1//AB，
因为B1C2⊄平面ABC1，BC1⊂平面ABC1，且A1B1⊄平面ABC1，AB⊂平面ABC1，
所以B1C2//平面ABC1，且A1B1//平面ABC1，
又因为B1C2∩A1B1=B1，且B1C2，A1B1⊂平面A1B1C2，
所以平面A1B1C2//平面ABC1，且B1∈平面A1B1C2，故平面A1B1C2即为平面α，
所以交线l即为直线B1C2，
因为B1C2//BC1，则A1B与l所成角为∠A1BC1，
设AA1=AB=BC=1，则AC=A1C1= 2，BC1=BA1= 2，可得A1C1=BC1+BA1，
所以△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1=60∘，所以sin∠A1BC1= 32
即A1B与l所成角的正弦值为 32.
故选：A.
根据题意，将直三棱柱ABC−A1B1C1向上补一个直三棱柱A1B1C1−A2B2C2，可证得平面A1B1C2//平面ABC1，所以平面A1B1C2与平面α重合，可得交线l即为直线B1C2，结合△A1BC1为等边三角形算出答案．
本题主要考查了直棱柱的结构特征、异面直线所成角的定义与求法等知识，考查了计算能力、空间想象能力，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：由题意，两位游客从6个著名旅游景点中随机选择一个游玩，共有6×6=36种，
其中事件A的情况有6×6−5×5=11种，事件A和事件B共同发生的情况有2×5=10种，
所以P(A)=1136，P(AB)=1036，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=10361136=1011.
故选：D.
根据条件概率公式结合古典概型运算公式求解即可得结论．
本题主要考查了条件概率公式的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：∵sinαsinβ−3csαcsβ=0，
∴sinαsinβ=3csαcsβ，
∴tanαtanβ=3①，
∵sin(α+β)=2cs(α+β)，
∴tan(α+β)=2⇒tanα+tanβ1−tanαtanβ=2⇒tanα+tanβ1−3=2，
∴tanα+tanβ=−4②，由①②解得tanα=−1tanβ=−3或tanα=−3tanβ=−1，
∵0<α<β<π，∴tanα∴tanα=−3，tanβ=−1，
∴tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=−12.
故选：C.
找出tanα和tanβ的关系，求出tanα和tanβ即可求解．
本题主要考查了和差角公式及同角基本关系的应用，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：由题e2a−2−e2−2a=e−b−eb，构造函数f(x)=ex−e−x，则f(2a−2)=f(−b)，
显然f(x)在R上单调递增，所以2a−2=−b，即a=2−b2，
所以a−12b=2−b2−12b=1−12⋅(b+1b)≤1−12×2 b⋅1b=0，当且仅当a=12，b=1时等号成立．
所以a−12b的最大值为0.
故选：A.
根据等式关系构造函数f(x)=ex−e−x，由其单调性可得2a−2=−b，于是结合基本不等式可得a−12b的最大值．
本题主要考查了函数单调性的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：A中，因为sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得b2=ac，
且a，b，c>0，则a，b，c成等比数列，故A正确；
B中，将acsB+bcsA=2a，由正弦定理化简得：sinAcsB+sinBcsA=2sinA，
即sin(A+B)=2sinA，
在三角形中，sin(a+b)=sinC，所以sinC=2sinA，
由正弦定理可得：c=2a，所以b2=ac=2a2，
即b= 2a，
由正弦定理可得：sinA:sinB:sinC=a:b:c=a: 2a:2a=1: 2:2，故B错误；
C中，若A，B，C成等差数列，则2B=A+C，且A+B+C=π，可得B=π3，
由余弦定理可得csB=a2+c2−b22ac=a2+4a2−2a22a×2a=34≠12，故C错误；
D中，a=2，可得b=2 2，c=4，则b由余弦定理可得csB=a2+c2−b22ac=4+16−82×2×4=34，
在三角形中，可得sinB= 74，所以S△ABC=12acsinB= 7，故D正确．
故选：AD.
根据正弦定理角化边化简已知，并结合等比数列的定义可判断出A的真假；由正弦定理的边角转化与三角形角度关系即可判断出B的真假；假设A，B，C成等差数列，得B=π3，结合余弦定理可判断出C的真假；由边之间的关系确定三边长度，再利用平方关系求sinB，利用面积公式可得三角形面积，即可判断出D的真假．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A项，抽取的样本里男生有100×35=60人，所以A项正确；
对于B项，由题可知，每一位学生被抽中的可能性为1004000=140，所以B项正确；
对于C项，估计该学校学生身高的平均值为x−=175×35+160×25=169，所以C项错误；
对于D，估计该学校学生身高的方差为s2=35[184+(175−169)2]+25[179+(160−169)2]=236，所以D项正确．
故选：ABD.
根据分层抽样的公式，以及利用每层样本的平均数和方差公式，代入总体的均值和方差公式，即可判断选项．
本题考查分层抽样、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：∵函数f(2x+1)关于点(0,3)对称，
∴f(2x+1)+f(−2x+1)=6，即f(1+x)+f(1−x)=6，
∴函数f(x)的图象关于点(1,3)对称，A正确：
∵f(2+x)−f(2−x)=2x，令x=2，则f(4)−f(0)=4≠0，
∴f(4)≠f(0)，故T≠4，B错误：
设g(x)=f(x)−x，则g(1+x)+g(1−x)=[f(1+x)−(1+x)]+[f(1−x)−(1−x)]=f(1+x)+f(1−x)−2=4，
∴g(x)的图象关于点(1,2)对称，
∴g(x)=−g(2−x)+4①，
∵[f(2+x)−(2+x)]−[f(2−x)−(2−x)]=f(2+x)−f(2−x)−2x=0，
∴g(x)的图象关于直线x=2对称，
∴g(x)=g(4−x)②，
由①②可得：g(4−x)=−g(2−x)+4，则g(2−x)=−g(−x)+4，∴g(4−x)=g(−x)，
∴g(x)的一个周期为4，
又可得g(3)=g(1)=2，g(4)=−g(2)+4，即g(4)+g(2)=4，
∴f(2023)=g(2023)+2023=g(3)+2023=g(1)+2023=2025，C正确；
∵i=03g(i)=g(0)+g(1)+g(2)+g(3)=g(4)+g(1)+g(2)+g(3)=2+2+4=8，
∴i=099f(i)=i=099g(i)+i=099i=25×8+0+992×100=5150，则D正确．
故选：ACD.
根据函数的对称性、周期性逐项判断即可得结论．
本题考查抽象函数及其应用，掌握函数的周期性与对称性是解决问题的关键，属于中档题．
12.【答案】 55
【解析】解：由z=11+2i，则z=1−2i(1−2i)(1+2i)=1−2i5=15−25i，则z−=15+25i，
所以|z−|= 125+425= 55.
故答案为： 55.
根据复数的除法运算化简复数z，可得共轭复数，从而求得其模长．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
13.【答案】1：3
【解析】解：如图所示，OA=4，O1B=2，设PB=l，
由Rt△PO1B∽Rt△POA，得PA=2l，
所以截得的小圆锥的侧面积为S1=12×2π×2×l=2πl，
截得的圆台的侧面积为S2=12×2π×4×2l−12×2π×2l=6πl，
所以S1：S2=1：3，
即截得小圆锥的侧面积与截得圆台的侧面积之比为1：3.
故答案为：1：3.
设出小圆锥的母线长，利用三角形的相似确定大圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式，即可求得答案．
本题考查了圆锥与圆台的侧面积公式计算问题，是基础题．
14.【答案】 32 2
【解析】解：由e= 1+b2a2=2，得ba= 3，则直线y= 3x是双曲线的一条渐近线，
过F1作直线l的垂线，垂足为M1，点F1(−c,0)，显然直线l方程为bx−ay=0，
则|F1M1|=|−bc| b2+(−a)2=b，|OM1|= c2−b2=a，而F2M⊥l，则|MM1|=2a，
在Rt△M1F1M中，tan∠OMF1=b2a= 32；
设△ABF1在边BF1，BF2的切点分别为P，Q，而2b=2 6，即b= 6，a= 2，
如图，则|F1N|=|F1P|，|AN|=|AQ|，|BP|=|BQ|，由双曲线的对称性知|BF1|=|BF2|，
则|F1N|=|F1P|=|BF1|−|BP|=|BF2|−|BQ|=|F2Q|=|F2A|+|AQ|=|F2A|+|AN|，
由双曲线的定义知：|AF1|−|AF2|=|F1N|+|AN|−|AF2|=(|AF2|+|AN|)+|AN|−|AF2|=2|AN|=2a，
所以|AN|=a= 2.
故答案为： 32； 2.
由离心率可得直线l为双曲线的一条渐近线，作F1M1⊥l于M1，利用点到直线的距离结合对称性求出tan∠OMF1；利用圆的切线性质，结合双曲线定义推理计算得解．
本题考查双曲线和圆的方程、性质，以及切线的性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)根据题意可得2×2列联表如下表所示：
零假设H0：人工智能大模型的选择和回答正确无关，
故可得：χ2=180×(90×15−65×10)2100×80×25×155=441155≈2.845>2.706，
故根据小概率值α=0.10的χ2独立性检验，推断H0不成立，
故可以判断人工智能大模型的选择和回答正确有关；
(2)解：由题意知，用A人工智能大模型回答题目正确的概率为90100=910，
所以随机变量X∼B(3,910)，
所以P(X=0)=C30(910)0(110)3=11000，P(X=1)=C31(910)1(110)2=271000，
P(X=2)=C32(910)2(110)1=2431000，P(X=3)=C33(910)3(110)0=7291000，
故X的分布列如下所示：
所以期望为E(X)=np=3×910=2710.
【解析】(1)根据题意，得到2×2的列联表，利用公式求得χ2=441155≈2.845，结合附表，即可得到结论；
(2)根据题意，得到随机变量X∼B(3,910)，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解．
本题考查了离散型随机变量的分布列和期望及独立性检验，属于中档题．
16.【答案】解：(1)由题可得f′(x)=1x−2a(x+1)2，x>0，
所以f′(1)=1−a2=0，
解得a=2；
(2)证明：由(1)可知：f′(x)=1x−4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2≥0，
∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，
∴当x>1时，f(x)>f(1)=0，
∵x1>x2>0，
∴x1x2>1，lnx1−lnx2>0，
∴f(x1x2)>0，即lnx1x2−2(x1x2−1)x1x2+1>0，
∴lnx1x2>2(x1x2−1)x1x2+1=2⋅x1−x2x1+x2，
∴x1−x2lnx1−lnx2【解析】(1)求导，根据导函数的几何意义即可列方程求得a的值；
(2)利用导函数确定函数的单调性，由x1>x2>0可得x1x2>1，结合函数单调性即可证得结论．
本题主要考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
17.【答案】(1)证明：由棱台定义，可得AA1，BB1，CC1，DD1的延长线必定交于一点Q，
在△AQC中，因为A1C1=12AC，所以A1C1为△AQC的中位线，所以A1C1//AC，
又因为AA1=A1C1=C1C=12AC=2，则A1C1//AO，且A1C1=AO，
所以四边形AOC1A1为平行四边形，可得OC1//AA1，
因为OC1⊄平面AA1D1D，且AA1⊂平面AA1D1D，
所以OC1//平面AA1D1D；
(2)解：由平面ABCD⊥平面AA1C1C，过点B作BO′⊥AC，
因为平面ABCD∩平面AA1C1C=AC，BO′⊂平面ABCD，
所以BO′⊥平面AA1C1C，即BO′为四棱锥B−AA1C1C的高，
由AB⊥BC，则在直角△ABC中，BO′=BA⋅BCAC≤BA2+BC22AC=AC22AC=2，
当且仅当BA=BC=2 2时成立，
此时点O′与O重合，此时BO=2，四棱锥VB−AA1C1C=13SAA1C1C⋅OB取最大值，
如图所示，以O为原点，以OB，OC，OQ所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
可得A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(−2,0,0)，C1(−1,0, 3)，A1(1,0, 3)，
则CC1=(1,0, 3)，AB=(−2,2,0)，AA1=(−1,0, 3)，
设平面AA1B1B的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AB=0n⋅AA1=0，即−2x+2y=0−x+ 3z=0，
取z= 3，可得x=y=3，所以n=(3,3, 3)，
则n⋅CC1=3×1+3×0+ 3× 3=6，|n|= 9+9+3= 21，|CC1|= 1+0+3=2，
所以cs=n⋅CC1|n|⋅|CC1|=6 21×2= 217，
设直线CC1与平面AA1B1B所成的角为α，α∈[0,π2]，
则sinα=|cs|= 217，
所以CC1与平面AA1B1B夹角的正弦值为 217.
【解析】(1)根据棱台定义和几何结构特征，证得四边形AOC1A1为平行四边形，得到OC1//AA1，结合线面平行的判定定理，即可证得结论；
(2)根据题意，证得BO′⊥平面AA1C1C，得到BO′为四棱锥B−AA1C1C的高，此时点O′与O重合，四棱锥VB−AA1C1C取最大值，建立空间直角坐标系，求得CC1−=(1,0, 3)，以及平面AA1B1B的法向量n=(3,3, 3)，结合向量的夹角公式，即可求解．
本题考查直线与平面平行的证法及用空间向量的方法求线面角所成的角的求法，属于中档题．
18.【答案】解：(1)易知抛物线E的焦点F(12,0)，
不妨设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，
因为FA+FB+FC=0，
所以(x1−12)+(x2−12)+(x3−12)=0，
整理得x1+x2+x3=32，
由抛物线定义得|FA|+|FB|+|FC|=(x1+12)+(x2+12)+(x3+12)=3；
(2)(i)易知直线AB的斜率不为0，
不妨设直线AB的方程为x=my+n，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x=my+ny2=2x，消去x并整理得y2−2my−2n=0，
此时Δ=4m2+8n>0，
由韦达定理得y1+y2=2m，y1y2=−2n，
因为y2=2x，
所以y=± 2x，
可得y′=±1 2x=1y，
则切线l1的方程为y=1y1(x−x1)+y1=1y1x+y12，
同理得切线l2的方程为y=1y2x+y22，
联立y=1y1x+y12y=1y2x+y22，
解得x=y1y22=−ny=y1+y22=m，
即D(−n,m)，
又点D到直线AB的距离为d=|m2+2n| 1+m2，
而|AB|= 1+m2 (y1+y2)2−4y1y2= 1+m2 4m2+8n=4，
整理得m2+2n=41+m2，
则S△ABD=12|AB|d=12×4×|m2+2n| 1+m2=8(1+m2) 1+m2≤8，
当且仅当m=0时，等号成立，
故△ABD面积的最大值为8；
(ii)若直线AB过点(1,0)，
不妨设设直线AB的方程为x=my+1，
联立x=my+1y2=2x，消去x并整理得y2−2my−2=0，
由韦达定理得y1+y2=2m，y1y2=−2，
所以直线l3的方程为y=−y1x+x1y1+y1=−y1x+y132+y1，
同理得直线l4的方程为y=−y2x+y232+y2.
联立y=−y1x+y132+y1y=−y2x+y232+y2，
解得x=y12+y22+y1y22+1y=−y1y2(y1+y2)2，
因为y1+y2=2m，y1y2=−2，
所以x=2m2+2y=2m，整理得y2=2x−4.
故点M的轨迹方程为y2=2x−4.
【解析】(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，根据向量的坐标运算即可得x1+x2+x3=32，再根据抛物线的定义即可得结论；
(2)(i)设直线AB的方程为x=my+n，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线与抛物线得交点坐标关系，再求导，根据导数的几何意义求解切线斜率，即可得切线方程，从而可得切线的交点坐标，根据三角形面积公式列关系求解即可；
(ii)利用直线相交、直线过定点即可得点M的轨迹方程．
本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)设存在不全为零的3个实数k1，k2，k3使得k1a1+k2a2+k3a3=0，
则k1(1,3,1)+k2(−1,1,3)+k3(−5,−7,3)=0，即{k1−k2−5k3=0①3k1+k2−7k3=0②k1+3k2+3k3=0③，
由①+②消去k2得：k1=3k3，由①-③消去k1得：k2=−2k3，
则该方程有无数组解，所以不妨取k3=1，则k1=3，k2=−2，
∴3a1−2a2+a3=0，即向量组a1，a2，a3是线性相关的．
(2)证明：∵a=(a1,a2,⋯,an)，ak=ln(1+1k)，k=1，2，3，⋯，n，
∴|a|= ln2(1+11)+ln2(1+12)+⋯+ln2(1+1n)，
先证：ln(1+1n)>1n+1，n∈N*，
设f(x)=ln(x+1)−xx+1，x>0，则f′(x)=1x+1−1(x+1)2=x(x+1)2>0，
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增，∴当n∈N*时，f(1n)>f(0)=0，
即ln(1+1n)−1n1+1n=ln(1+1n)−1n+1>0，
∴ln(1+1n)>1n+1，n∈N*.
同理可证：ln(1+1n)<1n，n∈N*.
∵1(n+1)2>1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，
∴ln2(1+11)+ln2(1+12)+⋯+ln2(1+1n)>122+132+⋯+1(n+1)2
>(12−13)+(13−14)+⋯+(1n+1−1n+2)=12−1n+2=n2n+4，
∴|a|> n2n+4.
∵1n2<1(n−12)(n+12)=2(12n−1−12n+1)，
∴当n≥2且n∈N*时，
ln2(1+11)+ln2(1+12)+⋯+ln2(1+1n)<112+122+⋯+1n2
<1+2(13−15)+⋯+2(12n−1−12n+1)=1+2(13−12n+1)=53−22n+1<53，
∴|a|< 153.
综上可得，当n≥2且n∈N*时， n2n+4<|a|< 153.
【解析】(1)利用n维向量的线性相关的判定方法，结合向量加法和向量相等的坐标运算法则就可作出判断；
(2)利用n维向量的模的计算公式，结合常用的对数函数不等式xx+1本题主要考查类比推理，属于中档题．回答正确
回答错误
合计
A人工智能大模型
B人工智能大模型
合计
α
0.15
0.10
0.05
0.010
x0
2.072
2.706
3.841
6.635
回答正确
回答错误
合计
A人工智能大模型
90
10
100
B人工智能大模型
65
15
80
合计
155
25
180
x
0
1
2
3
P
11000
271000
2431000
7291000