2024年贵州省黔西南州兴义五中、兴义六中、晴隆三中高考数学第一次联考试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年贵州省黔西南州兴义五中、兴义六中、晴隆三中高考数学第一次联考试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在复平面内，(1+3i)(3−i)对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.设集合A={0,−a}，B={1,a−2,2a−2}，若A⊆B，则a=( )
A. 2B. 1C. 23D. −1
3.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有( )
A. C40045⋅C20015种B. C40020⋅C20040种C. C40030⋅C20030种D. C40040⋅C20020种
4.已知向量a=(1,1)，b=(1,−1).若(a+λb)⊥(a+μb)，则( )
A. λ+μ=1B. λ+μ=−1C. λμ=1D. λμ=−1
5.设函数f(x)=2x(x−a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是( )
A. (−∞,−2]B. [−2,0)C. (0,2]D. [2,+∞)
6.设椭圆C1：x2a2+y2=1(a>1)，C2：x24+y2=1的离心率分别为e1，e2，若e2= 3e1，则a=( )
A. 2 33B. 2C. 3D. 6
7.已知α为锐角，csα=1+ 54，则sinα2=( )
A. 3− 58B. −1+ 58C. 3− 54D. −1+ 54
8.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=−5，S6=21S2，则S8=( )
A. 120B. 85C. −85D. −120
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图像关于点(2π3,0)中心对称，则( )
A. f(x)在区间(0,5π12)单调递减
B. f(x)在区间(−π12,11π12)有两个极值点
C. 直线x=7π6是曲线y=f(x)的对称轴
D. 直线y= 32−x是曲线y=f(x)的切线
10.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120∘，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P−AC−O为45∘，则( )
A. 该圆锥的体积为πB. 该圆锥的侧面积为4 3π
C. AC=2 2D. △PAC的面积为 3
11.若x，y满足x2+y2−xy=1，则( )
A. x+y≤1B. x+y≥−2C. x2+y2≤2D. x2+y2≥1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有______种(用数字作答).
13.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______.
14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2A=−23F2B，则C的离心率为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为 3，D为BC的中点，且AD=1.
(1)若∠ADC=π3，求tanB；
(2)若b2+c2=8，求b，c.
16.(本小题15分)
在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001)
17.(本小题15分)
如图，三棱锥A−BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60∘，E为BC中点.
(1)证明BC⊥DA；
(2)点F满足EF=DA，求二面角D−AB−F的正弦值.
18.(本小题17分)
双曲线C中心为坐标原点，左焦点为(−2 5,0)，离心率为 5.
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(−4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=xeax−ex.
(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x>0时，f(x)<−1，求a的取值范围；
(3)设n∈N*，证明：1 12+1+1 22+2+…+1 n2+n>ln(n+1).
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：(1+3i)(3−i)=3−i+9i+3=6+8i，
则在复平面内，(1+3i)(3−i)对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限．
故选：A.
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：依题意，a−2=0或2a−2=0，
当a−2=0时，解得a=2，
此时A={0,−2}，B={1,0,2}，不符合题意；
当2a−2=0时，解得a=1，
此时A={0,−1}，B={1,−1,0}，符合题意．
故选：B.
根据题意可得a−2=0或2a−2=0，然后讨论求得a的值，再验证即可．
本题考查集合间的关系，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵初中部和高中部分别有400和200名学生，
∴人数比例为400：200=2：1，
则需要从初中部抽取40人，高中部取20人即可，
则有C40040⋅C20020 种．
故选：D.
根据分层抽样先进行计算，然后利用组合公式进行求解即可．
本题主要考查分层抽样以及简单的计数问题，利用组合公式进行计算是解决本题的关键，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：∵a=(1,1)，b=(1,−1)，
∴a+λb=(λ+1,1−λ)，a+μb=(μ+1,1−μ)，
由(a+λb)⊥(a+μb)，得(λ+1)(μ+1)+(1−λ)(1−μ)=0，
整理得：2λμ+2=0，即λμ=−1.
故选：D.
由已知求得a+λb与a+μb的坐标，再由两向量垂直与数量积的关系列式求解．
本题考查平面向量加法与数乘的坐标运算，考查两向量垂直与数量积的关系，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：设t=x(x−a)=x2−ax，对称轴为x=a2，抛物线开口向上，
∵y=2t是t的增函数，
∴要使f(x)在区间(0,1)单调递减，
则t=x2−ax在区间(0,1)单调递减，
即a2≥1，即a≥2，
故实数a的取值范围是[2,+∞).
故选：D.
利用换元法转化为指数函数和二次函数单调性进行求解即可．
本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合指数函数，二次函数的单调性进行求解是解决本题的关键，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由椭圆C2：x24+y2=1可得a2=2，b2=1，
∴c2= 4−1= 3，
∴椭圆C2的离心率为e2= 32，
∵e2= 3e1，
∴e1=12，
∴ a2−1a=12，
∴a=2 33，(−2 33舍去).
故选：A.
利用椭圆C2：x24+y2=1的方程可求其离心率e2，进而可求e1，可求a.
本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属基础题．
7.【答案】D
【解析】解：csα=1+ 54，
则csα=1−2sin2α2，
故2sin2α2=1−csα=3− 54，即sin2α2=3− 58=( 5)2+12−2 516=( 5−1)216，
∵α为锐角，
∴sinα2>0，
∴sinα2=−1+ 54.
故选：D.
根据已知条件，结合二倍角公式，以及角α的取值范围，即可求解．
本题主要考查半角的三角函数，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：等比数列{an}中，S4=5，S6=21S2，显然公比q≠1，
设首项为a1，则a1(1−q4)1−q=−5①，a1(1−q6)1−q=21a1(1−q2)1−q②，
化简②得q4+q2−20=0，解得q2=4或q2=−5(不合题意，舍去)，
代入①得a11−q=13，
所以S8=a1(1−q8)1−q=a11−q(1−q4)(1+q4)=13×(−15)×(1+16)=−85.
故选：C.
由题意知公比q≠1，设首项为a1，由S6=21S2求出q2，再代入S4求出a11−q，由此求得S8.
本题考查了等比数列的前n项和公式计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：因为f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点(2π3,0)对称，
所以2×2π3+φ=kπ，k∈Z，
所以φ=kπ−4π3，
因为0<φ<π，
所以φ=2π3，
故f(x)=sin(2x+2π3)，
令π2<2x+2π3<3π2，解得−π12故f(x)在(0,5π12)单调递减，A正确；
x∈(−π12,11π12)，2x+2π3∈(π2,5π2)，
根据函数的单调性，故函数f(x)在区间(−π12,11π12)只有一个极值点，故B错误；
令2x+2π3=kπ+π2，k∈Z，得x=kπ2−π12，k∈Z，C显然错误；
结合正弦函数的图象可知，
直线y= 32−x显然与y=sin(2x+2π3)相切，故直线y= 32−x显然是曲线的切线，故D正确．
故选：AD.
直接利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的判断A、B、C、D的真假．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的求法，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：取AC中点D，则OD⊥AC，PD⊥AC，
由二面角的定义可知，二面角P−AC−O的平面角即为∠PDO=45∘，
对于A，△PAB中，由于PA=PB=2，∠APB=120∘，
则PO=1，AO= 3，
则OD=1，V=13⋅3π⋅1=π，选项A正确．
对于B，S侧=π× 3×2=2 3π，选项B错误．
对于C，AC=2 3−1=2 2，选项C正确．
对于D，PD= 2，S△PAC=12× 2×2 2=2，选项D错误．
故选：AC.
作图，取AC中点D，易知∠PDO=45∘，然后再逐项分析判断即可．
本题考查二面角的定义，考查立体几何中的距离求解，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：由x2+y2−xy=1可得，(x−y2)2+( 32y)2=1，
令x−y2=csθ 32y=sinθ，则x= 33sinθ+csθy=2 33sinθ，
∴x+y= 3sinθ+csθ=2sin(θ+π6)∈[−2,2]，故A错，B对，
∵x2+y2=( 33sinθ+csθ)2+(2 33sinθ)2= 33sin2θ−13cs2θ+43=23sin(2θ−π6)+43∈[23,2]，
故C对，D错，
故选：BC.
原等式可化为，(x−y2)2+( 32y)2=1，进行三角代换，令x−y2=csθ 32y=sinθ，则x= 33sinθ+csθy=2 33sinθ，结合三角函数的性质分别求出x+y与x2+y2的取值范围即可．
本题主要考查了三角代换求最值，考查了三角函数的性质，同时考查了学生分析问题，转化问题的能力，属于中档题．
12.【答案】64
【解析】解：若选2门，则只能各选1门，有C41C41=16种，
如选3门，则分体育类选修课选2，艺术类选修课选1，或体育类选修课选1，艺术类选修课选2，
则有C41C42+C42C41=24+24=48，
综上共有16+48=64种不同的方案．
故答案为：64.
利用分类计数原理进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用分类计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题．
13.【答案】28
【解析】解：如图所示，根据题意易知△SO1A1∽△SOA，
∴SO1SO=O1A1OA= 22 2=12，又SO1=3，
∴SO=6，∴OO1=3，又上下底面正方形边长分别为2，4，
∴所得棱台的体积为13×(4+16+ 4×16)×3=28.
故答案为：28.
根据题意易知△SO1A1∽△SOA，从而可求出台体的高，再根据台体的体积公式，计算即可得解．
本题考查台体的体积的求解，化归转化思想，方程思想，属基础题．
14.【答案】3 55
【解析】解：(法一)如图，设F1(−c,0)，F2(c,0)，B(0,n)，
设A(x,y)，则F2A=(x−c,y),F2B=(−c,n)，
又F2A=−23F2B，则x−c=23cy=−23n，可得A53c,−23n，
又F1A⊥F1B，且F1A=83c,−23n,F1B=(c,n)，
则F1A⋅F1B=83c2−23n2=0，化简得：n2=4c2，
又点A在C上，
则259c2a2−49n2b2=1，整理可得：25c29a2−4n29b2=1，
代入n2=4c2，可得25c2a2−16c2b2=9，即25e2−16e2e2−1=9，
解得：e2=95或15(舍去)，
故e=3 55.
(法二)由FA=−23FB，得|F2A||F2B|=23，
设|F2A|=2t,|F2B|=3t，由对称性可得|F1B|=3t，
则|AF1|=2t+2a,AB|=5t，
设∠F1AF2=θ，则sinθ=3t5t=35，
所以csθ=45=2t+2a5t，解得：t=a，
所以|AF1|=2t+2a=4a,AF2|=2a，
在△AF1F2中，由余弦定理可得：csθ=16a2+4a2−4c216a2=45，
即5c2=9a2，则e=3 55.
故答案为：3 55.
(法一)设F1(−c,0)，F2(c,0)，B(0,n)，根据题意可得点A的坐标，进一步得到F1A=83c,−23n,F1B=(c,n)，再由F1A⊥F1B，可得n2=4c2；结合点A在双曲线上，可得解；
(法二)易知|F2A||F2B|=23，设|F2A|=2t,F2B|=3t，∠F1AF2=θ，解三角形可知5c2=9a2，进而得解．
本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1))D为BC中点，SΔABC= 3，
则SΔACD= 32，
过A作AE⊥BC，垂足为E，如图所示：
△ADE中，DE=12，AE= 32，SΔACD=12⋅ 32CD= 32，解得CD=2，
∴BD=2，BE=52，
故tanB=AEBE= 3252= 35；
(2)AD=12(AB+AC)，
AD2=14(c2+b2+2bccsA)，
AD=1，b2+c2=8，
则1=14(8+2bccsA)，
∴bccsA=−2①，
SΔABC=12bcsinA= 3，即bcsinA=2 3②，
由①②解得tanA=− 3，
∴A=2π3，
∴bc=4，又b2+c2=8，
∴b=c=2.
【解析】(1)根据已知条件，推得SΔACD= 32，过A作AE⊥BC，垂足为E，依次求出AE，BE，即可求解；
(2)根据已知条件，求得AD=12(AB+AC)，两边同时平方，再结合三角形的面积公式，即可求解．
本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄为5×0.001×10+15×0.002×10+25×0.012×10+35×0.017×10+45×0.023×10+55×0.020×10+65×0.017×10+75×0.006×10+85×0.002×10=47.9；
(2)这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率为0.012×10+0.017×10+0.023×10+0.020×10+0.017×10=0.12+0.17+0.23+0.2+0.17=0.89；
(3)设此人患这种疾病为事件A，此人年龄位于区间[40,50)为事件B，
由题意知P(AB)=0.1%×0.023×10=0.00023，
所以此人年龄在区间[40,50)条件下，此人患这种疾病的概率P(A|B)=P(AB)P(B)=0.0002316%≈0.0014，
故所求概率约为0.0014.
【解析】(1)根据平均数的定义求解；
(2)根据频率分布直方图求解即可；
(3)利用条件概率的概率公式求解．
本题考查频率分布直方图的应用，考查了条件概率的概率公式，属于中档题．
17.【答案】证明：(1)连接AE，DE，
∵DB=DC，E为BC中点．
∴DE⊥BC，
又∵DA=DB=DC，∠ADB=∠ADC=60∘，
∴△ACD与△ABD均为等边三角形，
∴AC=AB，
∴AE⊥BC，AE∩DE=E，
∴BC⊥平面ADE，
∵AD⊂平面ADE，
∴BC⊥DA.
(2)解：设DA=DB=DC=2，
∴BC=2 2，
∵DE=AE= 2，AD=2，
∴AE2+DE2=4=AD2，
∴AE⊥DE，
又∵AE⊥BC，DE∩BC=E，
∴AE⊥平面BCD，
以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
D( 2,0,0)，A(0,0, 2)，B(0, 2,0)，E(0,0,0)，
∵EF=DA，
∴F(− 2,0, 2)，
∴DA=(− 2,0, 2)，AB=(0, 2,− 2)，AF=(− 2,0,0)，
设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为n1=(x1,y1,z1)，n2=(x2,y2,z2)，
则− 2x1+ 2z1=0 2y1− 2z1=0，令x1=1，解得y1=z1=1，
2y2− 2z2=0− 2x2=0，令y2=1，解得x2=0，z2=1，
故n1=(1,1,1)，n2=(0,1,1)，
设二面角D−AB−F的平面角为θ，
则|csθ|=|n1⋅n2||n1||n2|=2 3× 2= 63，
故sinθ= 33，
所以二面角D−AB−F的正弦值为 33.
【解析】(1)根据已知条件，推得DE⊥BC，AE⊥BC，再结合线面垂直的判定定理，即可求证．
(2)根据已知条件，推得AE⊥平面BCD，依次求出两个平面的法向量，再结合向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查二面角的平面角及其求法，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)双曲线C中心为原点，左焦点为(−2 5,0)，离心率为 5，
则c2=a2+b2c=2 5c2=a2+b2，解得a=2b=4，
故双曲线C的方程为x24−y216=1；
(2)证明：过点(−4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，
则可设直线MN的方程为x=my−4，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
记C的左，右顶点分别为A1，A2，
则A1(−2,0)，A2(2,0)，
联立x=my−44x2−y2=16，化简整理可得，(4m2−1)y2−32my+48=0，
故Δ=(−32m)2−4×48×(4m2−1)=264m2+192>0且4m2−1≠0，
y1+y2=32m4m2−1，y1y2=484m2−1，
直线MA1的方程为y=y1x1+2(x+2)，直线NA2方程y=y2x2−2(x−2)，
故x+2x−2=y2(x1+2)y1(x2−2)=y2(my1−2)y1(my2−6)
=my1y2−2(y1+y2)+2y1my1y2−6y1
=m⋅484m2−1−2⋅32m4m2−1+2y1m⋅484m2−1−6y1
=−16m4m2−1+2y148m4m2−1−6y1=−13，
故x+2x−2=−13，解得x=−1，
所以xP=−1，
故点P在定直线x=−1上运动．
【解析】(1)根据已知条件，结合双曲线的性质，即可求解；
(2)设出直线MN的方程，并与双曲线C联立，再结合韦达定理，推得x1+x2=32m4m2−1，x1x2=484m2−1，设出MA1，NA2直线方程，再联立方程，即可求解．
本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
19.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=xex−ex=ex(x−1)，
f′(x)=ex(x−1)+ex=xex，
∵ex>0，
∴当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
(2)令g(x)=f(x)+1=xeax−ex+1(x>0)，
∵f(x)<−1，f(x)+1<0，
∴g(x)0上恒成立，
又g′(x)=eax+xaeax−ex，
令h(x)=g′(x)，则h′(x)=aeax+a(eax+axeax)−ex=a(2eax+axeax)−ex，
∴h′(0)=2a−1，
①当2a−1>0，即a>12，h′(0)=n→0+limg′(x)−g′(0)x−0=n→0+limg′(x)x>0，
∴∃x0>0，使得当x∈(0,x0)，有g′(x)x>0，∴g′(x)>0，
所以g(x)单调递增，g(x0)>g(0)=0，矛盾；
①当2a−1≤0，即a≤12，
g′(x)=xeax+xaeax−ex=eax+ln(1+ax)−ex≤e12x+ln(1+12x)−ex≤e12x+12x−ex=0，
所以g(x)在[0,+∞)上单调递减，g(x)≤g(0)=0，符合题意．
综上所述，实数a的取值范围是a≤12.
(3)求导易得t−1t>2lnt(t>1)，
令t= 1+1n，
1+1n−1 1+1n>2ln 1+1n，可得1n 1+1n>ln(1+1n)，
1 n2+n>ln(n+1n)，k=1n1 k2+k>k=1nln(k+1k)=ln(21×32×...×n+1n)=ln(n+1)，
即1 12+1+1 22+2+...+1 n2+n>ln(n+1).
【解析】(1)先求出导函数f′(x)，再根据导函数f′(x)的正负即可得到函数f(x)的单调性．
(2)构造函数g(x)=f(x)+1=xeax−ex+1(x>0)，则g(x)0上恒成立，又g′(x)=eax+xaeax−ex，令h(x)=g′(x)，则h′(x)=a(2eax+axeax)−ex，根据h′(0)的正负分情况讨论，得到g(x)的单调性以及最值，判断是否满足题意，即可求出a的取值范围．
(3)求导易得t−1t>2lnt(t>1)，令t= 1+1n，利用上述不等式，结合对数的运算性质即可证得结论．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了学生分析问题和转化问题的能力，属于难题．