2024年青海省西宁市高考数学一模试卷（文科）(含详细答案解析)

这是一份2024年青海省西宁市高考数学一模试卷（文科）(含详细答案解析)，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=(−2,0)，集合B=[−1,2),则A∪B=( )
A. [−1,0]B. (−1,0)C. (−2,2)D. [−2,2]
2.已知复数z=2+i，其中i为虚数单位，则|z|=( )
A. 2B. 2C. 5D. 5
3.已知向量a=(m,−1)，b=(1,m−2)，若a//b，则m=( )
A. −1B. 1C. −1− 2D. −1+ 2
4.下列命题中，正确的是( )
A. 若ab≠0且a1bB. 若a>b，则a2>b2
C. 若a>b，c>d，则ac>bdD. 若a>b，则a+c>b+c
5.已知直线m，n和平面α，n⊂α，则“m//n”是“m//α”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知cs(π+θ)=−13，θ是第四象限角，则sin2θ=( )
A. −4 29B. 4 29C. −2 23D. 2 23
7.已知实数a=512，b=sin13，c=lg135，则a，b，c这三个数的大小关系是( )
A. c8.甲、乙两人玩一个传纸牌的游戏，每个回合，两人同时随机从自己的纸牌中选一张给对方.游戏开始时，甲手中的两张纸牌数字分别为1，3，乙手中的两张纸牌数字分别为2，4.则一个回合之后，甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和的概率为( )
A. 12B. 14C. 34D. 38
9.已知双曲线C:x23−y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若△OAB为直角三角形，则S△OAB=( )
A. 3B. 3 34C. 3 32D. 32
10.已知底面半径为2的圆锥的侧面积为4 5π，则该圆锥的外接球的表面积为( )
A. 20πB. 21πC. 24πD. 25π
11.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为AB→BO→OA)，则小明到O点的直线距离γ与他从A点出发后运动的时间t之间的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
12.北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第n层货物的个数为an，则使得an>2n+2成立的n的最小值是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)=ex的图象在x=0处的切线方程为______.
14.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A为抛物线C上一点，若|AF|=3，则点A的横坐标为__________.
15.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2n+1+λ，则实数λ=______.
16.若函数f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)在[0,π]上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是______.
三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
在△ABC中，AB=3 3，AC=5 3，BC=7 3.
(1)求A的大小；
(2)求△ABC内切圆的半径.
18.(本小题12分)
如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=π3，BD=DE=2BF=2，DE⊥AC，BF//DE.
(1)求证：平面ACF⊥平面BDEF；
(2)当BF⊥CD时，求三棱锥D−ACF的体积.
19.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且点(1,−32)在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，若一条斜率不为0的直线过点(−1,0)与椭圆交于M，N两点，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线BN的斜率为k1，直线AM的斜率为k2，求证：k12+k22k1⋅k2为定值.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=x(lnx−a)+lnx+a.
(1)若a=1，当x>1时，证明：f(x)>0.
(2)若a<2，证明：f(x)恰有一个零点.
21.(本小题12分)
某厂近几年陆续购买了几台A型机床，该型机床已投入生产的时间x(单位：年)与当年所需要支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料：
已知i=15xi2=90，i=15yi2=140.78，i=13xiyi=112.3， 78.9≈8.9， 2≈1.4
(1)计算y与x的样本相关系数r(精确到0.001)，并判断该型机床的使用年限与所支出的维修费用的相关性强弱(若0.75≤|r|≤1，则认为y与x相关性很强，否则不强).
(2)该厂购入一台新的A型机床，工人们分别使用这台机床(记为X)和一台已经使用多年的A型机床(记为Y)各制造50个零件，统计得出的数据如表：
请将上面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“零件合格情况是否与机床的使用情况有关”.
附参考公式及数据r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2i=1n(yi−y−)2=i=1nxiyi−nxy− (i=1nxi2−nx−2)(i=1nyi2−ny−2)；
K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
22.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x−a)2+(y−1)2=a2+1，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆心M(a,1)在直线l：ρsinθ+ρcsθ=2上.
(1)求圆M的极坐标方程；
(2)过O作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1与圆M交于O，A两点，l2与圆M交于O，B两点，求△OAB面积的最大值.
23.(本小题12分)
已知f(x)=|x−2m|+|x+1|.
(1)当m=1时，求不等式f(x)≤5的解集；
(2)若∀x∈R，f(x)≥4恒成立，求实数m的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合A=(−2,0)，集合B=[−1,2),
则A∪B=(−2,2).
故选：C.
利用并集定义、不等式性质求解．
本题考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵复数z=2+i，
∴|z|= 12+22= 5.
故选：C.
直接利用复数的模长公式求解．
本题主要考查了复数的模长公式，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：向量a=(m,−1)，b=(1,m−2)，a//b，
则m(m−2)=−1，解得m=1.
故选：B.
根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：当a<0，b>0时，A显然错误；
当a=1，b=−1时，B显然错误；
当a=1，b=−1，c=−1，d=−2时，C显然错误；
若a>b，则a+c>b+c，D正确．
故选：D.
举出反例检验选项A，B，C，结合不等式性质检验选项D.
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：直线m，n和平面α，n⊂α，则“m//n”与“m//α”相互推不出．
∴“m//n”是“m//α”的既不充分也不必要条件．
故选：D.
根据线面平行的判定与性质定理可得：直线m，n和平面α，n⊂α，则“m//n”与“m//α”相互推不出．即可判断出关系．
本题考查了线面平行的判定与性质定理、简易逻辑判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：因为cs(π+θ)=−13=−csθ，
所以csθ=13，
又θ是第四象限角，sinθ=− 1−cs2θ=−2 23，
则sin2θ=2sinθcsθ=2×(−2 23)×13=−4 29.
故选：A.
由已知利用诱导公式可求csθ=13，利用同角三角函数基本关系式可求sinθ的值，进而利用二倍角的正弦公式即可求解sin2θ的值．
本题考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由指数函数和对数函数的单调性知，a=512>50=1，c=lg155因为y=sinx(0,π2)在单调递增，且0<13<π3，所以0=sin0所以a>b>c.
故选：C.
由指数函数、对数函数、三角函数的单调性求出a，b，c的取值范围即可求得．
本题考查指、对数值和三角函数值的大小比较，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意，一个回合之后，甲乙手中的指牌为{(1,2),(3,4)}，{(2,3),(1,4)}，{(1,4),(3,2)}，{(3,4),(1,2)}，共4种情况，
则甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和有{(3,4),(1,2)}，共一种情况，
则一个回合之后，甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和的概率为14.
故选：B.
根据题意可罗列出一个回合之后的所有情况，再根据古典概型可解．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】解：该双曲线的渐近线方程为y=± 33x，则∠AOB=60∘，
若△OAB为直角三角形，则只可能∠OAB=90∘或者∠OBA=90∘，
这两种情况对称，面积相同，只研究一种情况即可，
如图所示，∠OAB=90∘，
在Rt△OAF1中，有|OF1|=2,|AF1|=|OF1|sin30∘=1,|AO|=|OF1|cs30∘= 3，
在Rt△OAB中，∠AOB=60∘,|OB|=2 3，|AB|=3，所以S△OAB=3 32.
故选：C.
由题意求出渐近线方程，△OAB为直角三角形，则只可能∠OAB=90∘或者∠OBA=90∘，不妨取∠OAB=90∘，在Rt△OAF1中，求出|OA|，在Rt△OAB中，求出|AB|，即可得解．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】D
【解析】解：如图，设圆锥的母线长为SA=l，
由圆锥的侧面积公式，得12×2π×2×l=4 5π，
解得l=2 5，所以圆锥的高为SH= (2 5)2−22=4，
设圆锥的外接球半径为R，则在Rt△OHA中，由勾股定理，R2=22+(4−R)2，解得R=52，
所以该圆锥的外接球的表面积为4πR2=25π.
故选：D.
设圆锥的母线长为SA=l，由圆锥的侧面积公式，得l=2 5和圆锥的高SH=4，设圆锥的外接球半径为R，在Rt△OHA中，利用勾股定理求得R，即可求解．
本题考查了圆锥外接球的表面积计算，属于中档题．
11.【答案】D
【解析】解：小明沿AB走时，与O点的直线距离保持不变，沿BO走时，随时间增加与点O的距离越来越小，沿OA走时，随时间增加与点O的距离越来越大，故选：D.
根据扇形的特点结合路程关系进行判断即可．
本题主要考查函数图象的应用，结合小明的运动路线进行判断是解决本题的关键，是基础题．
12.【答案】C
【解析】解：由题意a2−a1=2a3−a2=3⋯,an−an−1=n，n≥2，n∈N*且a1=1，
累加可得an−a1=2+3+⋯+n，所以an=1+2+⋯+n=n(n+1)2，
∴n(n+1)2>2n+2，得n>4，即nmin=5.
故选：C.
由题设及累加可得an−a1=2+3+⋯+n，应用等差数列前n项和公式及已知不等关系求n范围，即可得结果．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于中档题．
13.【答案】x−y+1=0.
【解析】解：因为f(x)=ex，所以f′(x)=ex，
则所求切线的斜率k=f′(0)=1，
又f(0)=1，即切点为(0,1)，
所以函数f(x)=ex的图象在x=0处的切线方程为：x−y+1=0.
故答案为：x−y+1=0.
求导数得到斜率，根据f(0)=1，即切点为(0,1)，可求出结果．
本题主要考查利用导数求切线方程，属于中档题．
14.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的方程以及定义，属于基础题．
设出点A的坐标，利用抛物线的方程以及定义即可求解．
【解答】
解：设A(m,n)，由抛物线的方程可知：p=2，
则由抛物线的定义可得：|AF|=m+p2=m+1=3，
所以m=2，
故答案为：2.
15.【答案】−2
【解析】解：等比数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2n+1+λ，
则a1=S1=4+λ，
a2=S2−S1=(8+λ)−(4+λ)=4，
a3=S3−S2=(16+λ)−(8+λ)=8，
∵a1，a2，a3成等比数列，∴a22=a1a3，
∴42=(4+λ)×8，
解得实数λ=−2.
故答案为：−2.
求出a1=S1=4+λ，a2=S2−S1=4，a3=S3−S2=8，由a1，a2，a3成等比数列，能求出实数λ.
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】[176,236)
【解析】解：由于0≤x≤π，故π6≤ωx+π6≤πω+π6，
由于函数f(x)在[0,π]上有且仅有三个零点，
故3π≤ωπ+π6<4π，整理得176≤ω<236，
故ω的取值范围是[176,236).
故答案为：[176,236).
直接利用正弦型函数的性质求出ω的取值范围．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)ABC中，AB=3 3，AC=5 3，BC=7 3，
由余弦定理可得csA=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=27+75−1472×3 3×5 3=−12，
而A∈(0,π)，所以A=2π3；
(2)设内切圆的半径为r，
根据面积相等有12×(3 3+5 3+7 3)⋅r=12⋅3 3⋅5 3sin120∘，
则r=32.
【解析】(1)直接代入余弦定理即可得；
(2)利用面积相等可得△ABC内切圆的半径．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)证明：∵底面四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，又DE⊥AC，BD∩DE=D，且BD，DE⊂平面BDEF，
∴AC⊥平面BDEF，又AC⊂平面ACF，
∴平面ACF⊥平面BDEF；
(2)由(1)可知AC⊥平面BDEF，又BF⊂平面BDEF，
∴BF⊥AC，又BF⊥CD，AC∩CD=C，且AC，CD⊂平面ABCD，
∴BF⊥平面ABCD，
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=π3，BD=DE=2BF=2，
∴BF=1，AC=2 3，BD=2，
∴三棱锥D−ACF的体积为VD−ACF=VF−ACD
=13×S△ACD×BF=13×12×2 3×1×1= 33.
【解析】(1)根据线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理，即可证明；
(2)先证明BF⊥平面ABCD，再转化三棱锥的顶点，最后根据三棱锥的体积公式，即可求解．
本题考查面面垂直的证明，三棱锥的体积的求解，化归转化思想，属中档题．
19.【答案】解：(1)由椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且点(1,−32)在椭圆上，
可得ca=12，所以b2a2=1−c2a2=1−(12)2=34，
又点(1,−32)在该椭圆上，所以1a2+94b2=1，所以a2=4，b2=3，
所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.
(2)证明：设M(x1,y1)，N(x2,y2)，由于该直线斜率不为0，可设LMN：x=my−1，
联立方程x=my−1和x24+y23=1，得(3m2+4)y2−6my−9=0，
Δ>0恒成立，根据韦达定理可知，
y1+y2=6m3m2+4,y1⋅y2=−93m2+4,my1⋅y2=−32(y1+y2)，
k1=y2x2−2,k2=y1x1+2，
k2k1=y1(x2−2)(x1+2)y2=y1(my2−3)(my1+1)y2=my1y2−3y1my1y2+y2，
∴k2k1=−32(y1+y2)−3y1−32(y1+y2)+y2=3，∴k12+k22k1⋅k2=k1k2+k2k1=103.
【解析】(1)将点代入椭圆方程，结合离心率公式，即可利用待定系数法求椭圆方程；
(2)联立直线与椭圆方程，利用韦达定理表示k2k1，即可求解k12+k22k1⋅k2的值．
本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用，属中档题．
20.【答案】证明：(1)因为a=1，所以f(x)=xlnx−x+lnx+1,f′(x)=lnx+1x.
当x>1时，f′(x)>0，则f(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以当x>1时，f(x)>f(1)=0.
(2)f(x)=x(lnx−a)+lnx+a=x(lnx−a+lnxx+ax).
令g(x)=lnx−a+lnxx+ax，则g′(x)=1x+1−lnxx2−ax2=x+1−lnx−ax2.
令h(x)=x+1−lnx−a，则h′(x)=1−1x=x−1x.
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)在(0,1)上单调递减，
当x∈(1,+∞)时，h′(x)>0，h(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以h(x)≥h(1)=2−a>0，所以g′(x)=x+1−lnx−ax2>0，
则g(x)在(0,+∞)上单调递增．
因为g(1)=0，所以g(x)恰有一个零点，则f(x)恰有一个零点．
【解析】(1)根据题意，求导可得f′(x)>0，即可得到f(x)在(1,+∞)上单调递增，再由f(x)>f(1)=0，即可证明；
(2)根据题意，构造函数g(x)=lnx−a+lnxx+ax，求导可得g′(x)>0，即g(x)在(0,+∞)上单调递增，再结合g(1)=0，即可证明．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的零点和利用综合法证明不等式，考查了函数思想，属中档题．
21.【答案】解：(1)x−=2+3+4+5+65=4,y−=2.2+3.8+5.5+6.5+7.05=5，
i=15xiyi−5x−y−=12.3,i=15xi2−5x−2=10,i=15yi2−5y−2≈15.8，
所以r=i=15xiyi−5x−y− (i=15xi2−5x−2)(i=15yi2−5y−2)≈12.3 10×15.8=12.3 2× 79≈12.31.4×8.9≈0.987，
r接近1，说明A型机床的使用年限与当年所支出的维修费用之间具有很强的相关性．
(2)补充2×2列联表如下：
零假设为H0：零件合格情况与机床的使用情况无关．
根据列联表中的数据，经计算得到K2=100×(46×10−4×40)250×50×86×14≈2.990>2.706，
所以根据临界值表，我们推断H0不成立，
即有99%的把握认为“零件合格情况是否与机床的使用情况有关”．
【解析】(1)计算相关系数r，即可得到答案；
(2)根据题意完成表格，计算得到K2≈2.990，进而可判断结果．
本题主要考查独立性检验和线性回归方程，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由直线l：ρsinθ+ρcsθ=2，
可得直线l的直角坐标方程为x+y−2=0，
因为圆心M(a,1)在直线l上，
所以a+1−2=0，解得a=1，
所以圆M的方程为(x−1)2+(y−1)2=2，即x2+y2=2x+2y，
则圆M的极坐标方程为ρ=2sinθ+2csθ.
(2)设直线l1：θ=α，l2:θ=π2+α,|OA|=ρ1,|OB|=ρ2，
则ρ1=2sinα+2csα,ρ2=2sin(π2+α)+2cs(π2+α)=2csα−2sinα，
因为l1⊥l2，可得S△OAB=12|OA|⋅|OB|=2(cs2α−sin2α)=2cs2α≤2，
故△OAB面积的最大值为2.
【解析】(1)根据题意得到直线l直角坐标方程，进而求得圆M的方程，结合极坐标与直角的互化，即可求解；
(2)设直线l1：θ=α，l2:θ=π2+α，得到ρ1=2sinα+2csα，ρ2=2csα−2sinα，结合l1⊥l2，得到S△OAB=2cs2α，进而求得△OAB面积的最大值．
本题考查简单曲线的极坐标方程与普通方程，考查三角形的面积以及三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
23.【答案】解：(1)当m=1时，不等式f(x)≤5可化为|x−2|+|x+1|≤5，
即x≥2x−2+x+1≤5，或x≤−1−x+2−x−1≤5，或−1解得2≤x≤3，或−2≤x≤−1，或−1综上可得，−2≤x≤3，
所以不等式f(x)≤5的解集为[−2,3].
(2)不等式f(x)≥4恒成立，即|x−2m|+|x+1|≥4恒成立，
因为|x−2m|+|x+1|≥|2m+1|(当且仅当(x−2m)(x+1)≤0时等号成立)，
所以|2m+1|≥4，即2m+1≤−4或2m+1≥4，解得m≤−52或m≥32，
所以m的取值范围是(−∞,−52]∪[32,+∞).
【解析】(1)分类讨论即可求解；
(2)根据三角绝对值不等式可得|2m+1|≥4，即可求解．
本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
机床
零件
合计
合格
不合格
X
4
Y
40
合计
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
机床
零件
合计
合格
不合格
X
46
4
50
Y
40
10
50
合计
86
14
100