【新结构】贵州省凯里市第一中学2024届高三模拟考试（二模）数学试题（含详细答案解析）

这是一份【新结构】贵州省凯里市第一中学2024届高三模拟考试（二模）数学试题（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若对任意x∈A，1x∈A，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是( )
A. 1,3B. −1,0,1C. x|x>1D. x|x>0
2.已知向量a=1,0，b=m,2 3，b在a方向上的投影向量为2a，则m=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.直线l:2x+y+k=0与圆C:x2+y2−4x+6y+12=0交于A，B两点，若AB=2，则k=( )
A. 2B. 1C. −1D. −2
4.已知等比数列an的前n项和为Sn，若a1=1，a5=81，则S5=( )
A. 201B. 121C. 61D. 61或121
5.平面α过直三棱柱ABC−A1B1C1的顶点B1，平面α//平面ABC1，平面α∩平面BB1C1C=l，且AA1=AB=BC，AB⊥BC，则A1B与l所成角的正弦值为( )
A. 32B. 22C. 12D. 33
6.贵州有很多旅游景点，值得推荐的景区是“黄小西吃晚饭”.“黄小西”分别指黄果树、荔波小七孔和西江千户苗寨，“吃晚饭”分别代表其谐音对应的三个景区：赤水国家级风景名胜区、万峰林和梵净山.现有甲、乙两位游客慕名来到贵州，都准备从上面6个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件A为“甲和乙至少一人选择黄果树”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，则PB∣A=( )
A. 1136B. 518C. 711D. 1011
7.已知0<α<β<π，且sinα+β=2csα+β，sinαsinβ−3csαcsβ=0，则tanα−β=( )
A. −1B. − 32C. −12D. 12
8.已知正实数a，b满足e2a−2+eb=e2−2a+e−b，则a−12b的最大值为( )
A. 0B. 12C. 1D. 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsB+bcsA=2a，且sin2B=sinAsinC，则( )
A. a，b，c成等比数列B. sinA:sinB:sinC=1:2: 2
C. A，B，C成等差数列D. 若a=2，则S△ABC= 7
10.某学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生(该校男女生人数之比为3:2)中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为160，方差为179.则下列说法正确的是参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：n1，x，s12，n2，y，s22.记总的样本平均数为ω，样本方差为s2，则( )参考公式：s2=1n1+n2n1s12+x−ω2+n2s22+y−ω2
A. 抽取的样本里男生有60人B. 每一位学生被抽中的可能性为140
C. 估计该学校学生身高的平均值为170D. 估计该学校学生身高的方差为236
11.定义在R上的函数fx满足f2+x−f2−x=2x，且函数f2x+1关于点0,3对称，则下列说法正确的是( )
A. 函数fx的图象关于点1,3对称B. 4是函数fx的一个周期
C. f2023=2025D. i=099fi=5150
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z=11+2i，则|z|=__________.
13.已知一个圆锥的底面半径为4，用一个平行于该圆锥底面的平面截圆锥，若截得的小圆锥的底面半径为2，则截得的小圆锥的侧面积与截得的圆台的侧面积之比为__________.
14.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，双曲线的离心率为2，过F2作直线l:y= 3x的垂线，垂足为M，与双曲线右支和y轴的交点分别为A，B，则tan∠OMF1=__________；△ABF1的内切圆在AF1边上的切点为N，若双曲线的虚轴长为2 6，则AN=__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在科技飞速发展的今天，人工智能领域迎来革命性的突破.类似于OpenAI的人工智能大模型不仅具有高度智能化、自主化和自适应的特点，它们的学习能力和信息储存能力也远远超越人类，更是拥有强大的语音识别和语言理解能力.某机构分别用A，B两种人工智能大模型进行对比研究，检验这两种大模型在答题时哪种更可靠，从某知识领域随机选取180个问题进行分组回答，其中A人工智能大模型回答100个问题，有90个正确；B人工智能大模型回答剩下的80个问题，有65个正确.
(1)完成下列2×2列联表，并根据小概率值α=0.10的χ2独立性检验，能否判断人工智能大模型的选择和回答正确有关？
(2)将频率视为概率，用A人工智能大模型回答该知识领域的3道题目，且各题回答正确与否，相互之间没有影响，设回答题目正确的个数为X，求X的分布列和数学期望.
参考公式及参考数据：x2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d.
16.(本小题15分)
已知函数fx=lnx−ax−1x+1在x=1处的切线为x轴.
(1)求实数a的值；
(2)若x1>x2>0，证明：x1−x2lnx1−lnx217.(本小题15分)
如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，O为AC的中点，AA1=A1C1=C1C=12AC=2.
(1)证明：OC1//平面AA1D1D；
(2)若平面ABCD⊥平面ACC1A1，AB⊥BC，当四棱锥B−AA1C1C的体积最大时，求CC1与平面AA1B1B夹角的正弦值.
18.(本小题17分)
已知抛物线E:y2=2x的焦点为F，A，B，C为E上不重合的三点.
(1)若FA+FB+FC=0，求FA+FB+FC的值；
(2)过A，B两点分别作E的切线l1，l2，l1与l2相交于点D，过A，B两点分别作l1，l2的垂线l3，l4，l3与l4相交于点M.
(i)若AB=4，求△ABD面积的最大值；
(ii)若直线AB过点1,0，求点M的轨迹方程.
19.(本小题17分)
一般地，n个有序实数a1，a2，⋯，an组成的数组，称为n维向量，记为a=a1,a2,⋯,an.类似二维向量，对于n维向量，也可以定义向量的加法运算、减法运算、数乘运算、数量积运算、向量的长度(模)、两点间的距离等，如a=a1,a2,⋯,an，则a= a12+a22+⋯+an2；若存在不全为零的r个实数k1，k2，⋯，kr使得k1a1+k2a2+⋯+krar=0，则向量组a1，a2，⋯，ar是线性相关的向量组，否则，说向量组a1，a2，⋯，ar是线性无关的.
(1)判断向量组a1=1,3,1，a2=−1,1,3，a3=−5,−7,3是否线性相关？
(2)若a=a1,a2,⋯,an，ak=ln1+1k，k=1,2,3,⋯,n，当n≥2且n∈N*时，证明： n2n+4答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
对于ABC：举反例说明即可；对于D：分局题意分析即可.
【解答】
解：对于选项A：因为3∈1,3，但13∉1,3，不符合题意，故A错误；
对于选项B：因为0∈−1,0,1，但10无意义，不符合题意，故B错误；
对于选项C：例如2∈xx1，但12∉xx1，不符合题意，故C错误，
对于选项D：对任意x∈xx0，均有1x∈xx0，符合题意，故D正确；
故选：D.
2.【答案】B
【解析】【分析】
根据题意，结合向量的数量积的运算，以及投影向量的计算方法，列出方程，即可求解.
【解答】
解：由向量a=1,0，b=m,2 3，可得a⋅b=m且a=1，
因为向量b在a方向上的投影向量为2a，可得a⋅ba⋅aa=ma=2a，所以m=2.
故选：B.
3.【答案】C
【解析】【分析】
首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，由弦长可知直线l过圆心C2,−3，代入方程求出k.
【解答】
解：圆C:x2+y2−4x+6y+12=0，
则圆C的标准方程为x−22+y+32=1，所以圆心C2,−3，半径r=1，
∴AB=2=2r，故直线l过圆心C2,−3，所以2×2+−3+k=0，解得k=−1.
故选：C.
4.【答案】D
【解析】【分析】
根据等比数列的基本量求解公比q，再根据等比数列的前n项和公式确定S5的取值.
【解答】
解：设an的公比为q，则q4=a5a1=81=34，故q=±3；
当q=3时，S5=a11−q51−q=1⋅1−351−3=121；
当q=−3时，S5=a11−q51−q=1⋅1−−351−−3=61，故排除A，B，C排除.
故选：D.
5.【答案】A
【解析】【分析】
将直三棱柱ABC−A1B1C1向上补一个直三棱柱A1B1C1−A2B2C2，证得平面A1B1C2//平面ABC1，得到平面A1B1C2即为平面α，得出交线l即为直线B1C2，结合△A1BC1为等边三角形，即可求解.
【解答】
解：如图所示，将直三棱柱ABC−A1B1C1向上补一个全等的直三棱柱A1B1C1−A2B2C2，
则B1C2//BC1，A1B1//AB，
因为B1C2⊄平面ABC1，BC1⊂平面ABC1，且A1B1⊄平面ABC1，AB⊂平面ABC1，
所以B1C2//平面ABC1，且A1B1//平面ABC1，
又因为B1C2∩A1B1=B1，且B1C2,A1B1⊂平面A1B1C2，
所以平面A1B1C2//平面ABC1，且B1∈平面A1B1C2，故平面A1B1C2即为平面α，
所以交线l即为直线B1C2，
因为B1C2//BC1，则A1B与l所成角为∠A1BC1，
设AA1=AB=BC=1，则AC=A1C1= 2，BC1=BA1= 2，可得A1C1=BC1+BA1，
所以△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1=60∘，所以sin∠A1BC1= 32
即A1B与l所成角的正弦值为 32.
故选：A.

6.【答案】D
【解析】【分析】
根据条件概率公式结合古典概型运算公式求解即可得结论.
【解答】
解：由题意，两位游客从6个著名旅游景点中随机选择一个游玩，共有6×6=36种，
其中事件A的情况有6×6−5×5=11种，事件A和事件B共同发生的情况有2×5=10种，
所以PA=1136，PAB=1036，
所以PB∣A=PABPA=10361136=1011.
故选：D.
7.【答案】C
【解析】【分析】
找出tanα和tanβ的关系，求出tanα和tanβ即可求解.
【解答】
解：∵sinαsinβ−3csαcsβ=0，
∴sinαsinβ=3csαcsβ，
∴tanαtanβ=3①，∵sinα+β=2csα+β，∴tanα+β=2⇒tanα+tanβ1−tanαtanβ=2⇒tanα+tanβ1−3=2，
∴tanα+tanβ=−4②，由①②解得tanα=−1tanβ=−3或tanα=−3tanβ=−1，
∵0<α<β<π，∴tanα∴tanα=−3tanβ=−1，∴tanα−β=tanα−tanβ1+tanαtanβ=−12.
故选：C.
8.【答案】A
【解析】【分析】
根据等式关系构造函数fx=ex−e−x，由其单调性可得2a−2=−b，于是结合基本不等式可得a−12b的最大值.
【解答】
解：由题e2a−2−e2−2a=e−b−eb，构造函数fx=ex−e−x，则f2a−2=f−b，
显然fx在R上单调递增，所以2a−2=−b，即a=2−b2，
所以a−12b=2−b2−12b=1−12⋅b+1b≤1−12×2 b⋅1b=0，当且仅当a=12，b=1时等号成立.
所以a−12b的最大值为0.
故选：A.
关键点点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
9.【答案】AD
【解析】【分析】
根据正弦定理角化边化简已知，并结合等比数列的定义可判断A；由正弦定理的边角转化与三角形角度关系即可判断B；假设A，B，C成等差数列，得B=π3，结合余弦定理可判断C；由边之间的关系确定三边长度，再利用平方关系求sinB，利用面积公式可得三角形面积，即可判断D.
【解答】
解：∵sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得b2=ac，且a,b,c>0，则a，b，c成等比数列，故A正确；
将acsB+bcsA=2a，利用正弦定理化简得：sinAcsB+sinBcsA=2sinA，即sinA+B=2sinA，
∴sinC=2sinA，利用正弦定理化简得：c=2a，∴b2=ac=2a2，∴b= 2a，
∴sinA:sinB:sinC=a:b:c=a: 2a:2a=1: 2:2，故B错误；
若A，B，C成等差数列，则2B=A+C，且A+B+C=π，可得B=π3，
则由余弦定理可得csB=a2+c2−b22ac=a2+4a2−2a22a×2a=34≠12，故C错误；
若a=2，可得b=2 2，c=4，则b故选：AD.
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
根据分层抽样的公式，以及利用每层样本的平均数和方差公式，代入总体的均值和方差公式，即可判断选项.
【解答】
解：对于A项，抽取的样本里男生有100×35=60人，所以A项正确；
对于B项，由题可知，每一位学生被抽中的可能性为1004000=140，所以B项正确；
对于C项，估计该学校学生身高的平均值为x=175×35+160×25=169，所以C项错误；
对于D，估计该学校学生身高的方差为s2=35184+175−1692+25179+160−1692=236，所以D项正确.
故选：ABD
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
根据函数的对称性、周期性逐项判断即可得结论.
【解答】
解：∵函数f2x+1关于点0,3对称，
∴f2x+1+f−2x+1=6，即f1+x+f1−x=6，
∴函数fx的图象关于点1,3对称，A正确：
∵f2+x−f2−x=2x，令x=2，则f4−f0=4≠0，
∴f4≠f0，故T≠4，B错误：
设gx=fx−x，则g1+x+g1−x=f1+x−1+x+f1−x−1−x=f1+x+f1−x−2=4，
∴gx的图象关于点1,2对称，
∴gx=−g2−x+4①，
∵f2+x−2+x−f2−x−2−x=f2+x−f2−x−2x=0，
∴gx的图象关于直线x=2对称，
∴gx=g4−x②，
由①②可得：g4−x=−g2−x+4，则g2−x=−g−x+4，∴g4−x=g−x，
∴gx的一个周期为4，
又可得g3=g1=2，g4=−g2+4，即g4+g2=4，
∴f2023=g2023+2023=g3+2023=g1+2023=2025，C正确；
∵∑3i=0gi=g0+g1+g2+g3=g4+g1+g2+g3=2+2+4=8，
∴∑99i=0fi=∑99i=0gi+∑99i=0i=25×8+0+992×100=5150，则D正确.
故选：ACD.
结论点睛：本题考查抽象函数的对称性与周期性，一般可根据如下规则判断：
(1)若对任意的实数x，满足fx=fx+a，则函数fx的周期为a；
(2)若对任意的实数x，满足fx+b=f−x+a，则函数fx关于直线x=a+b2对称；
(3)若对任意的实数x，满足fx+b=−f−x+a，则函数fx关于点a+b2,0对称．
12.【答案】 55
【解析】【分析】
根据复数的除法运算化简复数z，可得共轭复数，从而求得其模长.
【解答】
解：由z=11+2i，则z=1−2i1−2i1+2i=1−2i5=15−25i，则z=15+25i，
所以|z|= 125+425= 55.
故答案为： 55.
13.【答案】1:3或13
【解析】【分析】
设出小圆锥的母线长，利用三角形的相似确定大圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式，即可求得答案.
【解答】
解：如图所示，OA=4，O1B=2，设PB=l，
由Rt△PO1B∽Rt△POA，得PA=2l，
故截得的小圆锥的侧面积为S1=12×2π×2×l=2πl，
截得的圆台的侧面积为S2=12×2π×4×2l−12×2π×2l=6πl，
∴S1:S2=1:3，故截得小圆锥的侧面积与截得的圆台的侧面积之比为1:3.
故答案为：1:3
14.【答案】 32 ； 2
【解析】【分析】由离心率可得直线l为双曲线的一条渐近线，作F1M1⊥l于M1，利用点到直线距离结合对称性求出tan∠OMF1；利用圆的切线性质，结合双曲线定义推理计算得解.
【详解】由e= 1+b2a2=2，得ba= 3，则直线y= 3x是双曲线的一条渐近线，
过F1作直线l的垂线，垂足为M1，点F1(−c,0)，显然直线l方程为bx−ay=0，
则F1M1=−bc b2+(−b)2=b，OM1= c2−b2=a，而F2M⊥l，则MM1=2a，
在Rt△M1F1M中，tan∠OMF1=b2a= 32；

设△ABF1在边BF1，BF2的切点分别为P，Q，而2b=2 6，即b= 6，a= 2，
如图，则F1N=F1P，AN=AQ，BP=BQ，由双曲线的对称性知BF1=BF2，
则F1N=F1P=BF1−BP=BF2−BQ=F2Q=F2A+AQ=F2A+AN，
由双曲线的定义知：AF1−AF2=F1N+AN−AF2=AF2+AN+AN−AF2=2AN=2a，
所以AN=a= 2.

故答案为： 32； 2
易错点睛：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，而双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±abx(即x=±bay)，应注意其区别与联系.
15.【答案】解：(1)根据题意可得2×2列联表如下表所示：
零假设H0：人工智能大模型的选择和回答正确无关.
故可得：χ2=180×90×15−65×102100×80×25×155=441155≈2.845>2.706，
故根据小概率值α=0.10的χ2独立性检验，推断H0不成立，
故可以判断人工智能大模型的选择和回答正确有关.
(2)由题意知，A人工智能大模型回答题目正确的概率为90100=910，
所以随机变量X∼B3,910，
所以PX=0=C3091001103=11000，PX=1=C3191011102=271000，
PX=2=C3291021101=2431000，PX=3=C3391031100=7291000.
故X的分布列如下所示：
所以期望为EX=np=3×910=2710.

【解析】(1)根据题意，得到2×2的列联表，利用公式求得χ2=441155≈2.845，结合附表，即可得到结论；
(2)根据题意，得到随机变量X∼B3,910，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解.
16.【答案】解：(1)由题可得f′x=1x−2ax+12，x>0，
f′1=1−a2=0，
∴a=2.
(2)证明：由(1)可知：f′x=1x−4x+12=x−12xx+12≥0，
∴函数fx在0,+∞上单调递增，
∴当x>1时，fx>f1=0，
∵x1>x2>0，∴x1x2>1，lnx1−lnx2>0，
∴fx1x2>0，即lnx1x2−2x1x2−1x1x2+1>0，
∴lnx1x2>2x1x2−1x1x2+1=2⋅x1−x2x1+x2，
∴x1−x2lnx1−lnx2
【解析】(1)求导，根据导函数的几何意义即可列方程求得a的值；
(2)利用导函数确定函数的单调性，由x1>x2>0可得x1x2>1，结合函数单调性即可证得结论.
17.【答案】解：(1)由棱台定义，可得AA1,BB1,CC1,DD1的延长线必定交于一点Q，
在△AQC中，因为A1C1=12AC，所以A1C1为△AQC的中位线，所以A1C1//AC.
又因为AA1=A1C1=C1C=12AC=2，则A1C1//AO，且A1C1=AO，
所以四边形AOC1A1为平行四边形，可得OC1//AA1，
因为OC1⊄平面AA1D1D，且AA1⊂平面AA1D1D，所以OC1//平面AA1D1D.
(2)由平面ABCD⊥平面AA1C1C，过点B作BO′⊥AC，
因为平面ABCD∩平面AA1C1C=AC，BO′⊂平面ABCD，
所以BO′⊥平面AA1C1C，即BO′为四棱锥B−AA1C1C的高，
由AB⊥BC，则在直角△ABC中，BO′=BA⋅BCAC≤BA2+BC22AC=AC22AC=2，
当且仅当BA=BC=2 2时成立，
此时点O′与O重合，此时BO=2，四棱锥VB−AA1C1C=13SAA1C1C⋅OB取最大值.
如图所示，以O为原点，以OB,OC,OQ所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
可得A2,0,0，B0,2,0，C−2,0,0，C1−1,0, 3，A11,0, 3，
则CC1=1,0, 3，AB=−2,2,0，AA1=−1,0, 3，
设平面AA1B1B的一个法向量为n=x,y,z，则n⋅AB=−2x+2y=0n⋅AA1=−x+ 3z=0，
取z= 3，可得x=y=3，所以n=3,3, 3，
设直线CC1与平面AA1B1B所成的角为α，
则sinα=csn,CC1=n⋅CC1n⋅CC1=62× 21= 217，
所以CC1与平面AA1B1B夹角的正弦值为 217.
.

【解析】(1)根据由棱台定义和几何结构特征，证得四边形AOC1A1为平行四边形，得到OC1//AA1，结合线面平行的判定定理，即可证得OC1//平面AA1D1D；
(2)根据题意，证得BO′⊥平面AA1C1C，得到BO′为四棱锥B−AA1C1C的高，此时点O′与O重合，四棱锥VB−AA1C1C取最大值，建立空间直角坐标系，求得CC1=1,0, 3，以及平面AA1B1B的法向量n=3,3, 3，结合向量的夹角公式，即可求解.
18.【答案】解：(1)依题意，F12,0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3，
由FA+FB+FC=0得，x1−12+x2−12+x3−12=0，
即x1+x2+x3=32，
由抛物线定义得，FA+FB+FC=x1+12+x2+12+x3+12=3.
(2)(i)显然，直线AB的斜率不为0，
可设直线AB的方程为x=my+n，Ax1,y1，Bx2,y2，
由y2=2x,x=my+n得：y2−2my−2n=0，
Δ=4m2+8n>0，∴y1+y2=2m，y1y2=−2n.
∵y2=2x，则y=± 2x，∴y′=±1 2x=1y，
∴切线l1的方程为y=1y1x−x1+y1=1y1x+y12，
同理，切线l2的方程为y=1y2x+y22，
联立两直线方程y=1y1x+y12y=1y2x+y22，解得x=y1y22=−ny=y1+y22=m，即D−n,m，
则点D到直线AB的距离为d=m2+2n 1+m2，
由AB= 1+m2 y1+y22−4y1y2= 1+m2 4m2+8n=4，
化简得：m2+2n=41+m2，
∴S△ABD=12ABd=12×4×m2+2n 1+m2=81+m2 1+m2≤8，当且仅当m=0时取等号，
∴△ABD面积的最大值为8.
(ii)若直线AB过点1,0，由(i)，可以设直线AB的方程为x=my+1，
∴y1+y2=2m，y1y2=−2.
∴直线l3的方程为y=−y1x+x1y1+y1=−y1x+y132+y1，
同理，直线l4的方程为y=−y2x+y232+y2.
联立两直线方程y=−y1x+y132+y1y=−y2x+y232+y2，解得x=y12+y22+y1y22+1y=−y1y2y1+y22，
整理后可得x=2m2+2,y=2m,消去m得：y2=2x−4，
∴点M的轨迹方程为y2=2x−4.

【解析】(1)设Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3，根据向量的坐标运算即可得x1+x2+x3=32，再根据抛物线的定义即可得结论；
(2)(i)设直线AB的方程为x=my+n，Ax1,y1，Bx2,y2，联立直线与抛物线得交点坐标关系，再求导，根据导数的几何意义求解切线斜率，即可得切线方程，从而可得切线的交点坐标，根据三角形面积公式列关系求解即可；(ii)利用直线相交、直线过定点即可得点M的轨迹方程.
关键点点睛：本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、三角形面积问题最值问题.解决问题的关键是确定直线与抛物线交点坐标关系，并将题中几何性质转化为交点坐标关系，另外在求抛物线的切线可以考虑利用导数来求解切线斜率.
19.【答案】解：(1)设存在不全为零的3个实数k1，k2，k3使得k1a1+k2a2+k3a3=0
则k1(1,3,1)+k2(−1,1,3)+k3(−5,−7,3)=0，即{k1−k2−5k3=0①3k1+k2−7k3=0②k1+3k2+3k3=0③，
由①+②消去k2得：k1=3k3，由①-③消去k1得：k2=−2k3，
则该方程有无数组解，所以不妨取k3=1，则k1=3，k2=−2，
∴3a1−2a2+a3=0，即向量组a1，a2，a3是线性相关的.
(2)证明：∵a=a1,a2,⋯,an，ak=ln1+1k，k=1,2,3,⋯,n，
∴a= ln21+11+ln21+12+⋯+ln21+1n，
先证：ln1+1n>1n+1，n∈N*，
设fx=lnx+1−xx+1，x>0，则f′x=1x+1−1x+12=xx+12>0，
∴fx在0,+∞上单调递增，∴当n∈N*时，f1n>f0=0，
即ln1+1n−1n1+1n=ln1+1n−1n+1>0，
∴ln1+1n>1n+1，n∈N*.
同理可证：ln1+1n<1n，n∈N*.
∵1n+12>1n+1n+2=1n+1−1n+2，
∴ln21+11+ln21+12+⋯+ln21+1n>122+132+⋯+1n+12
>12−13+13−14+⋯+1n+1−1n+2=12−1n+2=n2n+4，
∴a> n2n+4.
∵1n2<1n−12n+12=212n−1−12n+1,
∴当n≥2且n∈N*时，
ln21+11+ln21+12+⋯+ln21+1n<112+122+⋯+1n2
<1+213−15+⋯+212n−1−12n+1=1+213−12n+1=53−22n+1<53,
∴a< 153.
综上可得，当n≥2且n∈N*时， n2n+4
【解析】(1)利用n维向量的线性相关的判定方法，结合向量加法和向量相等的坐标运算法则就可作出判断；
(2)利用n维向量的模的计算公式，结合常用的对数函数不等式xx+1关键点点睛：
(1)第一问解决的关键是利用类比法，类比平面向量的坐标运算法则，运用到n维向量的加法、数乘和模的运算；
(2)第二问解决的关键就是要熟悉运用对数函数不等式xx+1回答正确
回答错误
合计
A人工智能大模型
B人工智能大模型
合计
α
0.15
0.10
0.05
0.010
x0
2.072
2.706
3.841
6.635
回答正确
回答错误
合计
A人工智能大模型
90
10
100
B人工智能大模型
65
15
80
合计
155
25
180
x
0
1
2
3
P
11000
271000
2431000
7291000