天津市第四十七中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷（含答案）

这是一份天津市第四十七中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题5分，共45分）
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知a、b、，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法中正确的个数为（ ）个
①对立事件一定是互斥事件；②在经验回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量减少0．1个单位；③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数绝对值越接近于1；④在回归分析棋型中，若相关指数越小，则残差平方和越大，棋型的拟合效果越好．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
6．若，则（ ）
A． B．1 C． D．
7．已知随机变量X服从正态分布，且，则等于（ ）
A．0．14 B．0．36 C．0．72 D．0．868．
8．已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．设定义在上的函数与，若，且为奇函数，设的导函数为，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．是奇函数 B．函数的图象关于点对称
C． D．点（其中）是函数的对称中心
二、填空题（每题5分，共30分）
10．在的展开式中，项的系数为__________．（用数字作答）
11．分别从0，2，4和1，3，5中各任取2个数字组成一个没有重复数字的四位数，这样的四位数有_____个．
12．公差大于零的等差数列中，成等比数列，若，则________．
13．已知，则的最小值为__________．
14．某学校有A，B两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择A餐厅和选择B餐的概率均为．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为，则某同学第2天去A餐厅用餐的概率为假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量X为该班3名同学中第2天选择B餐厅的人数，则随机变量X的均值_________．
15．设，函数，若函数恰有4个学点，则数a的取值范围为__________．
三、解答题（共75分，需写出必要的文字说明、推理过程或计算步臻，只有结果的不给分）
16．（本小题满分14分）如图，PD垂直于梯形ABCD所在平面，，F为线段PA上一点，，四边形PDCE为矩形．
（I）若F是PA的中点，求证：平面DEF；
（Ⅱ）求直线AE与平面BCP所成角的正弦值；
（Ⅲ）若点F到平面BCP的距离为，求PF的长．
17．（本小题满分15分）2024年世界羽联赛已经开始，同时，也是奥运年，4年一度最精彩赛事即将来临！为了激发同学们的奥运精神，某校组织同学们参加羽毛球比赛，若甲、乙两位同学相约打一场羽毛球比赛，采用五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立
（I）求甲以的比分获胜的概率；
（Ⅱ）设X表示比赛结束时进行的总局数，求X的分布列及数学期望．
18．今年是中国共产党建党103周年，为庆祝中国共产党成立103周年，某高中决定开展“学党史，知奋进”党史知识克赛活动，为了解学生的获奖情况与选修历史学科之间的关系，在全校随机选取了选修历史和不选修历史各50人作为样本，设事件“获奖”，“选修历史”，据统计．统计100名学生的获奖情况后得到如下列联表：
参考公式：
（I）完成上面列联表，并依据的独立性检验，能否有把握推断认为“党史知识竞赛获奖与选修历史学科有关”；（结果保留三位小数）
（Ⅱ）从选历史且获奖的学生中选取2名男生和4名女生组成“学党史、知奋进宣讲团”，在某次活动中，从这6名学生中随机选取3人为宣讲员，求男生宣讲员人数的分布列和数学期望．
19．（本小题满分15分）已知等差数列，满足，正项数列的前n项和为，且．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）求
（Ⅲ）在之间插入1个数，使成等差数列，在之间插入2个数，使成等差数列，……；在之间插入n个数，使成等差数列
①求；②求
20．（本小题满分16分）已知函数．
（I）讨论的单调区间；
（Ⅱ）当时，令．
①证明：当时，；
②若数列满足，证明：．
天津市第四十七中学2023-2024（二）高二年级
第二次月考数学试卷答案
一、选择题
1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．D 7．A 8．D9 ．D
二、填空题（本大题共6小题．每题5分共30分）
10．6 11．180 12．28 13．6 14．， 15．
三、解答题
16．（本小题满分14分）
（I）以D为坐标原点，正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面DEF的法向量为
，令
平面DEF，平面DEF．
（III）设平面BCP的法向量
，令，解得：；
设直线AE与平面BCP所成角为，．
则直线AE与平面BCP所成角正弦值为．
（III），设
由平面BCP的法向量，点F到平面BCP的距离．
解得，所以．
17．（本小题满分15分）
（I）以的比分获胜，则甲在前3局胜2局输1局，第4局胜利，概率为：
（Ⅱ）X可能的取值为3，4，5，
；；
18．（本小题满分15分）
（I）设获奖且没选修历史为x人
（人）
又（人）
（I）由题意可得列联表：
零假设为：党史知识竞赛获奖与选修历史学科无关
则
故依据的独立性检验，推断不成立，即有把握认为“党史知识竞赛获奖与选修历史学科”有关．
（Ⅱ）由题意的取值可能为0，1，2，
则，故的分布列为：
则．
19．（本小题满分15分）
（I）设数列的公差为d，由题意知，，解得，所以；
因为数列的前n项和为，且满足．所以当时，，
当时，．
验证，当时，，满足上式，故．
（Ⅱ）
．
（Ⅲ）成等差数列，，
①
②设，
则，
设，所以，
，
两式相减得，
，所以．
20．（本小题满分16分）
（I）函数定义域为R，求导得，
当时，恒成立，即在上单调递增，
当时，令，解得，令，解得，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（II）当时，，①当时，，
令恒成立，则在上单调递减，
，因此，成立，所以当时，．
②由①可知，当时，，由得，即，由，
可得，而，又，即，则，由于，只需证，又当时，，
令恒成立，则在上单调递增，
，则当时，恒有，而，即成立，
不等式成立，因此成立，即成立．
获奖
没有获奖
合计
选修历史
没有选修历史
合计
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
X
3
4
5
P
获奖
没有获奖
合计
选修历史
20
30
50
没有选修历史
10
40
50
合计
30
70
100
0
1
2
P