辽宁省七校协作体2023-2024学年高二下学期6月联考数学试题（含答案）

这是一份辽宁省七校协作体2023-2024学年高二下学期6月联考数学试题（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在正项等比数列中，已知，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
2．如图，由观测数据的散点图可知，与的关系可以用模型拟合，设，利用最小二乘法求得关于的回归方程．已知，
，则（ ）
A．B．C．1D．．
3．图1是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，则第个三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．下列说法中正确的有（ ）
A．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据的分位数可能等于原样本数据的分位数；
B．若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的线性相关性强；
C．设随机变量，则；
D．某人参加一次游戏，游戏有三个题目，每个题目答对的概率都为0.5，答对题数多于答错题数可得4分，否则得2分，则某人参加游戏得分的期望为3
5．已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线平行，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件互为对立事件B．
C．D．事件与事件相互不独立
7．设数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．是等比数列
B．成等差数列，公差为－9
C．当且仅当时，取得最大值
D．时，的最大值为33
8．设函数，若不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若是等差数列，，则使的最大正整数的值为15
B．若是等比数列，（为常数），则必有
C．若是等比数列，则
D．若，则数列为递增等差数列
10．甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映的《热辣滚烫》、《飞驰人生、《第二十条》三部电影，每人都要看且限看其中一部．记事件为“恰有两名同学所看电影相同”，事件为“只有甲同学一人看《飞驰人生”，则（ ）
A．四名同学看电影情况共有种
B．“每部电影都有人看”的情况共有72种
C．．
D．“四名同学最终只看了两部电影”的概率是
11．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数存在唯一极值点，且
B．令，则函数无零点
C．若恒成立，则
D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设等差数列的前项和为，若，则使的最小正整数的值是______．
13．函数．对于，都有，则实数的取值范围是_______．
14．已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中．按上述方法重复操作两次后，B盒中恰有7个球的概率是_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数，若函数在上为增函数，求实数的取值范围．
16．（15分）已知数列为等差数列，，数列的前项和为，且满足．
（1）求和的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，
①求；
②若对恒成立，求实数的取值范围．
17．（15分）某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下列联表：
注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．
（1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；
（2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”．以样本频率估计概率．若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为，求的数学期望和方差；
（3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：
18．（17分）已知函数，常数．
（1）当时，函数取得极小值-2，求函数的极大值．
（2）设定义在上的函数在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称点为的“类优点”，若点是函数的“类优点”，
①求函数在点处的切线方程；
②求实数的取值范围．
19．（17分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”．
（1）已知等比数列满足：．求证：数列为“数列”；
（2）已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前项和．
①求数列的通项公式；
②设为正整数，若存在“-数列”（），对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值．
高二数学联考试题参考答案
一、单选题
二、多选题
三，填空题
15.【详解】（1）由题意得，，
①当时，，函数在上单调递增；
②当时，令，解得，
，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，
在上单调递增，
（2）因为函数在上为增函数，
所以，在上恒成立。
即在上恒成立．
令，当时，，
所以，在上单调递增，。
所以，，解得，
所以，实数的取值范围为．
16.【详解】（1）等差数列中，设公差为，
则
数列中的前项和为，且，①
当时，，
当时，，②
②-①得：，
故数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以．
（2）数列中，，
则，
所以，
对恒成立，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
综上：实数的取值范围为．
17.【详解】（1）根据题意可得列联表如下；
零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；
根据列联表的数据计算可得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1．
（2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，即可得，
故，
．
（3）易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，
所以的所有可能取值为，
且服从超几何分布：
故所求分布列为
可得
18.【详解】（1）由题意，，得，
此时
令，得或，
当或时，；当时，，
所以在与上单调递增，在上递减，
所以当时，有极大值
（2）①
，
所以函数在点处的切线方程为
②若点是函数的“类优点”，
令常数，
则当时，恒有，
又，且
令，得或
则当时，在上递增。
当时，；
当时，
故当时，恒有成立
当时，由，得，
在上递减，。
所以在，不成立。
当时，由，得，
在上递减，
所以在，不成立。
综上可知，若点是函数的“类优点”，则实数
19.【详解】（1）设等比数列的公比为，所以
由，得，解得，
因此数列为“—数列”；
（2）①由，得，
当时，由，得，
整理得，
所以数列是首项和公差均为1的等差数列，
因此，数列的通项公式为；
②由①知，，
因为数列为“—数列”，设公比为，所以，
因为，所以，其中，
当时，有；
当时，有，
设，则，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，
取，当时，，即，
令，则，
令，则，
故在上单调递减，则，
即在上恒成立，即在上单调递减，
则，
即，
因此所求的最大值不小于5，
若，分别取，得，且，从而，且，
所以不存在，因此所求的最大值小于6，
故的最大值为5．性别
不经常锻炼
经常锻炼
合计
男生
7
女生
16
30
合计
21
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
B
D
A
C
D
C
9
10
11
BD
ACD
ABD
12
13
14
10
性別
不经常锻炼
经常锻炼
合计
男生
7
23
30
女生
14
16
30
合计
21
39
60
0
1
2
3