2022-2023学年广东省深圳市高二（下）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳市高二（下）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1，2}D．{1，2}
2．（5分）设复数z满足（1+i）z＝4﹣2i，则z=（ ）
A．1﹣3iB．1+3iC．3﹣iD．3+i
3．（5分）已知tanα＝2，则cs2α＝（ ）
A．45B．35C．-45D．-35
4．（5分）已知a→=(-2，1)，b→=(x，-2)，若a→∥b→，则x＝（ ）
A．1B．﹣1C．4D．﹣4
5．（5分）白酒又名烧酒、白干，是世界六大蒸馏酒之一，据《本草纲目》记载：“烧酒非古法也，自元时创始，其法用浓酒和糟入甑（蒸锅），蒸令气上，用器承滴露”，而饮用白酒则有专门的白酒杯，图1是某白酒杯，可将它近似的看成一个圆柱挖去一个圆台构成的组合体，图2是其直观图（图中数据的单位为厘米），则该组合体的体积为（ ）
A．55π6cm3B．51π6cm3C．47π6cm3D．43π6cm3
6．（5分）若正实数m，n满足m+n＝2，则下列不等式恒成立的为（ ）
A．lnm+lnn≥0B．1m+1n≥2C．m2+n2≤2D．m+n≤2
7．（5分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F，过原点的直线l与C交于A，B两点，若AF⊥BF，且|AF|＝3|BF|，则C的离心率为（ ）
A．104B．105C．25D．13
8．（5分）已知点A在直线x＝2上运动，若过点A恰有三条不同的直线与曲线y＝x3﹣x相切，则点A的轨迹长度为（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）某校举办数学文化节活动，10名教师组成评委小组，给参加数学演讲比赛的选手打分．已知各位评委对某名选手的打分如下：
45 48 46 52 47 49 43 51 47 45
则下列结论正确的为（ ）
A．平均数为48B．极差为9
C．中位数为47D．第75百分位数为51
（多选）10．（5分）已知函数f(x)=cs(2x+φ)(0＜φ＜π2)的图像关于直线x=-π6对称，则（ ）
A．f(π6)=-12
B．f（x）在区间(-π4，π6)单调递减
C．f（x）在区间(-π2，π2)恰有一个极大值点
D．f（x）在区间(0，π3)有两个零点
（多选）11．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的一条直线与C交于A，B两点，若点M在l上运动，则（ ）
A．当|AM|＝|AF|时，AM⊥l
B．当|AM|＝|AF|＝|MF|时，|AF|＝2|BF|
C．当MA⊥MB时，A，M，B三点的纵坐标成等差数列
D．当MA⊥MB时，|AM|•|BM|≥2|AF|•|BF|
（多选）12．（5分）在四面体ABCD中，有四条棱的长度为1，两条棱的长度为m，则（ ）
A．当AB＝AD＝m时，AC⊥BD
B．当AB＝CD＝m时，四面体ABCD的外接球的表面积为(m2+2)π2
C．m的取值范围为(0，2)
D．四面体ABCD体积的最大值为312
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）(x+1x2)6的展开式中常数项是 ．（用数字作答）
14．（5分）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a3﹣a1＝3，a4﹣a2＝6，则S5＝ ．
15．（5分）已知定义在R上的函数f（x），满足f（x）＝2f（x+2），当x∈（0，2]时，f（x）＝4x（2﹣x），若方程f（x）＝a在区间(112，+∞)内有实数解，则实数a的取值范围为 ．
16．（5分）已知线段AB是圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4上的一条动弦，且|AB|=23，设点O为坐标原点，则|OA→+OB→|的最大值为 ；如果直线l1：x﹣my﹣3m+1＝0与l2：mx+y+3m+1＝0相交于点M，则MA→⋅MB→的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=anan+1(n∈N*)．
（1）证明：数列{1an}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcsA+12a=c．
（1）求B；
（2）若c＝2a，且b=33，求△ABC的面积．
19．（12分）如图，已知三棱锥P﹣ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，△PAC是边长为2的正三角形，且平面PBC⊥平面PAC．
（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；
（2）若BC=23，点E为PB的中点，点F为圆O上一点，且F与C位于直径AB的两侧，当EF∥平面PAC时，求平面EFB与平面ABC的夹角的余弦值．
20．（12分）甲参加某多轮趣味游戏，在A，B两个不透明的盒内摸球．规定在一轮游戏中甲先在A盒内随机取出1个小球放入B盒，再在B盒内随机取出2个小球．若每轮游戏的结果相互独立，且每轮游戏开始前，两盒内小球的数量始终如表（小球除颜色外大小质地完全相同）：
（1）求在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球的概率；
（2）已知每轮游戏的得分规则为：若从B盒内取出的小球均为红球，则甲获得5分；若从B盒内取出的小球中只有1个红球，则甲获得3分；若从B盒内取出的小球没有红球，则甲获得1分．
（i）记甲在一轮游戏中的得分为X，求X的分布列；
（ii）假设甲共参加了5轮游戏，记5轮游戏甲的总得分为Y，求E（Y）．
21．（12分）已知f（x）＝axe2x（a∈R）．
（1）当a≠0时，讨论f（x）的单调性；
（2）若关于x的不等式f（x）﹣2x﹣lnx≥0恒成立，求实数a的取值范围．
22．（12分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为2，且C的一个焦点到其一条渐近线的距离为1．
（1）求C的方程；
（2）设点A为C的左顶点，若过点（3，0）的直线l与C的右支交于P，Q两点，且直线AP，AQ与圆O：x2+y2＝a2分别交于M，N两点，记四边形PQNM的面积为S1，△AMN的面积为S2，求S1S2的取值范围．
2022-2023学年广东省深圳市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1，2}D．{1，2}
【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝{1，2}，
故选：D．
2．（5分）设复数z满足（1+i）z＝4﹣2i，则z=（ ）
A．1﹣3iB．1+3iC．3﹣iD．3+i
【解答】解：因为（1+i）z＝4﹣2i，
所以z=4-2i1+i=(4-2i)(1-i)(1+i)(1-i)=2-6i2=1-3i，
故z=1+3i．
故选：B．
3．（5分）已知tanα＝2，则cs2α＝（ ）
A．45B．35C．-45D．-35
【解答】解：因tanα＝2，则cs2α=cs2α-sin2α=cs2α-sin2αcs2α+sin2α=1-tan2α1+tan2α=-35．
故选：D．
4．（5分）已知a→=(-2，1)，b→=(x，-2)，若a→∥b→，则x＝（ ）
A．1B．﹣1C．4D．﹣4
【解答】解：由a→∥b→可得，﹣2×（﹣2）﹣x＝0，解得x＝4．
故选：C．
5．（5分）白酒又名烧酒、白干，是世界六大蒸馏酒之一，据《本草纲目》记载：“烧酒非古法也，自元时创始，其法用浓酒和糟入甑（蒸锅），蒸令气上，用器承滴露”，而饮用白酒则有专门的白酒杯，图1是某白酒杯，可将它近似的看成一个圆柱挖去一个圆台构成的组合体，图2是其直观图（图中数据的单位为厘米），则该组合体的体积为（ ）
A．55π6cm3B．51π6cm3C．47π6cm3D．43π6cm3
【解答】解：由题意可得该组合体的体积V＝π×（32）2•6-13π[（32）2+12+1×32]•（6﹣2）=43π6．
故选：D．
6．（5分）若正实数m，n满足m+n＝2，则下列不等式恒成立的为（ ）
A．lnm+lnn≥0B．1m+1n≥2C．m2+n2≤2D．m+n≤2
【解答】解：由m+n＝2及m，n均为正实数可得：0＜mn≤(m+n2)2=1，当且仅当m＝n＝1时取等号，
选项A，函数y＝lnx在（0，+∞）上单调递增，所以lnm+lnn＝ln（mn）≤ln1＝0，A错误；
选项B，由均值不等式，1m+1n≥21mn≥2，当且仅当m＝n＝1时取等．B正确；
选项C，m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝4﹣2mn≥2，当且仅当m＝n＝1时取等，C错误；
选项D，（m+n）2＝m+n+2mn=2+2mn≤4，当且仅当m＝n＝1时取等，所以m+n≤2，D错误．
故选：B．
7．（5分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F，过原点的直线l与C交于A，B两点，若AF⊥BF，且|AF|＝3|BF|，则C的离心率为（ ）
A．104B．105C．25D．13
【解答】解：设左焦点为F′，由O是FF′，AB的中点，
∴|AF′|＝|BF|，AF⊥AF′，
设|BF|＝m，则|AF|＝3m，又|AF′|+|AF|＝2a，
∴m=12a，∴|AF|=32a，|AF′|=12a，
∴（12a）2+（32a）2＝（2c）2，
∴c2a2=1016∴e=ca=104．
故选：A．
8．（5分）已知点A在直线x＝2上运动，若过点A恰有三条不同的直线与曲线y＝x3﹣x相切，则点A的轨迹长度为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【解答】解：由题意设点A（2，a），过点A的直线l与曲线y＝x3﹣x相切于点B（x0，y0），
∵y＝x3﹣x，∴y′＝3x2﹣1，
∴l的方程为y=(3x02-1)(x-x0)+x03-x0，
把A（2，a）代入，可得(3x02-1)(2-x0)=a-x03+x0，化简得a=-2x03+6x02-2，
设g（x）＝﹣2x3+6x2﹣2，g′（x）＝﹣6x2+12x，
∴g（x）在区间（﹣∞，0），（2，+∞）上单调递减，在区间（0，2）上单调递增，
∵若过点A恰有三条不同的直线与曲线y＝x3﹣x相切，∴满足条件的x0恰有3个，
∴g（0）＜a＜g（2），即﹣2＜a＜6，
则点A的轨迹长度为8．
故选：D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）某校举办数学文化节活动，10名教师组成评委小组，给参加数学演讲比赛的选手打分．已知各位评委对某名选手的打分如下：
45 48 46 52 47 49 43 51 47 45
则下列结论正确的为（ ）
A．平均数为48B．极差为9
C．中位数为47D．第75百分位数为51
【解答】解：平均数是110×（45+48+46+52+47+49+43+51+47+45）＝47.3，选项A错误；
极差为52﹣43＝9，选项B正确；
按从小到大顺序排列为：43，45，45，46，47，47，48，49，51，52；
所以中位数是12×（47+47）＝47，选项C正确；
因为10×75%＝7.5，所以第75百分位数是第8个数，为49，选项D错误．
故选：BC．
（多选）10．（5分）已知函数f(x)=cs(2x+φ)(0＜φ＜π2)的图像关于直线x=-π6对称，则（ ）
A．f(π6)=-12
B．f（x）在区间(-π4，π6)单调递减
C．f（x）在区间(-π2，π2)恰有一个极大值点
D．f（x）在区间(0，π3)有两个零点
【解答】解：∵f（x）的图像关于直线x=-π6对称，
∴2×（-π6）+φ＝kπ，k∈Z，
得φ=π3+kπ，k∈Z，
∵0＜φ＜π2，∴当k＝0时，φ=π3，
则f（x）＝cs（2x+π3），
则f（π6）＝cs（2×π6+π3）＝cs2π3=-12，故A正确，
当-π4＜x＜π6时，-π2＜2x＜π3，-π6＜2x+π3＜2π3，则f（x）不单调，故B错误，
当-π2＜x＜π2时，﹣π＜2x＜π，-2π3＜2x+π3＜4π3，
则当2x+π3=0时，函数f（x）取得唯一一个极大值，故C正确．
当0＜x＜π3，0＜2x＜2π3，π3＜2x+π3＜π，
则只有当2x+π3=π2时，函数f（x）＝0，即f（x）在区间(0，π3)只有1个零点，故D错误．
故选：AC．
（多选）11．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的一条直线与C交于A，B两点，若点M在l上运动，则（ ）
A．当|AM|＝|AF|时，AM⊥l
B．当|AM|＝|AF|＝|MF|时，|AF|＝2|BF|
C．当MA⊥MB时，A，M，B三点的纵坐标成等差数列
D．当MA⊥MB时，|AM|•|BM|≥2|AF|•|BF|
【解答】解：对于选项A：由抛物线定义可知，若|AM|＝|AF|，则AM⊥l，故选项A正确；
对于选项B：当|AM|＝|AF|＝|MF|时，△AMF为正三角形，
∴直线AB的倾斜角为π3 设直线AB的方程为y=3(x-p2)，A（x1，y1），B（x，y2），
由y=3(x-p2)y2=2px，可得y2-2p3y-p2=0，∴y1=3p，y2=-33p，
∴|AF||BF|=|y1||y2|=3，故选项B错误；
对于选项C：过点A，B作直线垂直于l，垂足分别为A'，B'，由B可知A′（-p2，y1），B′（-p2，y2），
作AB的中点N，∵MA⊥MB，∴|MN|=12|AB|，由定义可知|AB|＝|AF|+|BF|＝|AA′|+|BB′|，
∴|MN|=12（|AA′|+|BB′|），∴M为A'B'的中点，∴A，M，B三点的纵坐标成等差数列，故选项C正确；
对于选项D：设M（-p2，y0），直线MF的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，
则k1=y0-p2-p2=-y0p，由B可知k2=y1-y2x1-x2=y1-y2y122p-y222p=2py1+y2，
由C可知y1+y2＝2y0，k2=2py1+y2=py0，k1k2=-y0p•py0=-1，∴MF⊥AB，
又∵MA⊥MB，|AM|﹣|BM|＝|MF|•|AB|，且|MF|2＝|AF||BF|，
由基本不等式可得|AM|•|BM|＝|MF||AB|＝（|AF|+|BF|）•|AF|⋅|BF|≥2|AF|•|BF|，故选项D正确．
故选：ACD．
（多选）12．（5分）在四面体ABCD中，有四条棱的长度为1，两条棱的长度为m，则（ ）
A．当AB＝AD＝m时，AC⊥BD
B．当AB＝CD＝m时，四面体ABCD的外接球的表面积为(m2+2)π2
C．m的取值范围为(0，2)
D．四面体ABCD体积的最大值为312
【解答】解：当AB＝AD＝m时，可知△ABD与△BCD为等腰三角形，取BD中点E，
∵AB＝AD，BC＝CD，∴AE⊥BD，CE⊥BD，
∵AE∩EC＝E，∴BD⊥平面AEC，可得AC⊥BD，故A正确；
当AB＝CD＝m时，可知四面体ABCD的所有对棱相等，
将四面体ABCD补为长方体，
其中四面体ABCD的各条棱为该长方体各面的对角线，
∴四面体ABCD的外接球即为该长方体的外接球，
设该长方体的三条棱的长度分别为x，y，z，
则x2+y2＝1，y2+z2＝1，x2+z2＝m2，
∴外接球的半径为R=12x2+y2+z2=12m2+22=142m2+4，
∴四面体ABCD的外接球的表面积为(m2+2)π2，故B正确；
当AB＝AD＝m时，取BD的中点E，则AE=m2-14，CE=32，AC＝1，
则在△ACE中，由三角形性质可得m2-14+32＞1，m2-14-32＜1，
解得：2-3＜m＜2+3；
当AB＝CD＝m时，取CD的中点F，则AF＝BF=1-m24，
则在△ABF中由三角形性质可知21-m24＞m，∴0＜m＜2．
综上可得，0＜m＜2+3，故C错误；
当AB＝AD＝m时，若四面体ABCD的体积最大时，则底面BCD上的高为1，
即AC⊥平面BCD，此时四面体ABCD体积的最大值为312；
当AB＝CD＝m时，由（3）可知此时AF=BF=1-m24，
则△ABF的面积为12m⋅1-m22，
∴四面体ABCD的体积为16m2⋅1-m22=16m4(2-m2)2，
设f（x）＝x4（2﹣x2），f′（x）＝2x3（4﹣3x2），
当x∈（0，233）时，f′（x）＞0，当x∈（233，2）时，f′（x）＜0，
∴当x=233时，f（x）的最大值为3227，
∴四面体ABCD体积的最大值为2327，又312＞2327，
∴四面体ABCD体积的最大值为312，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）(x+1x2)6的展开式中常数项是 15 ．（用数字作答）
【解答】解：(x+1x2)6展开式的通项Tk+1=C6kx6-k(1x2)k=C6kx6-3k，令6﹣3k＝0，解得k＝2，
所以常数项是C62=15．
故答案为：15．
14．（5分）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a3﹣a1＝3，a4﹣a2＝6，则S5＝ 31 ．
【解答】解：因为等比数列{an}中，a3﹣a1＝3，a4﹣a2＝（a3﹣a1）q＝6，
所以q＝2，
则a3﹣a1＝4a1﹣a1＝3，
所以a1＝1，
则S5=1-251-2=31．
故答案为：31．
15．（5分）已知定义在R上的函数f（x），满足f（x）＝2f（x+2），当x∈（0，2]时，f（x）＝4x（2﹣x），若方程f（x）＝a在区间(112，+∞)内有实数解，则实数a的取值范围为 [0，34) ．
【解答】解：因为f（x）＝2f（x+2），
所以f（x﹣2）＝2f（x），f（x）=12f（x﹣2），
又因为当x∈（0，2]时，f（x）＝4x（2﹣x），
所以当x∈（2，4]时，x﹣2∈（0，2]，
所以f（x）=12f（x﹣2）=12×4（x﹣2）（4﹣x）＝2（x﹣2）（4﹣x），
当x∈（4，6]时，x﹣2∈（2，4]，
所以f（x）=12f（x﹣2）＝（x﹣4）（6﹣x），
所以f（112）＝（112-4）•（6-112）=34，
……
作出函数f（x）的部分图象，如图所示：
又因为方程f（x）＝a在区间(112，+∞)内有实数解，
即y＝a与y＝f（x）的图象在(112，+∞)内有交点，
结合图象可知a∈[0，34）．
故答案为：[0，34）．
16．（5分）已知线段AB是圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4上的一条动弦，且|AB|=23，设点O为坐标原点，则|OA→+OB→|的最大值为 22+2 ；如果直线l1：x﹣my﹣3m+1＝0与l2：mx+y+3m+1＝0相交于点M，则MA→⋅MB→的最小值为 6-42 ．
【解答】解：设D为AB中点，则|CD|＝1，
∴点D的轨迹方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，
∴|OA→+OB→|=2|OD→|，则最大值为22+2；
又直线l1：x﹣my﹣3m+1＝0与l2：mx+y+3m+1＝0，
∴l1⊥l2，且l1过定点（﹣1，﹣3），l2过定点（﹣3，﹣1），
∴点M的轨迹为（x+2）2+（y+2）2＝2，
∴MA→⋅MB→=(MD→+DA→)(MD→+DB→)=(MD→+DA→)(MD→-DA→)=MD→2-DA→2，
∴MA→⋅MB→=|MD→|2-3，
又∵|MD→|⩾(1+2)2+(1+2)2-1-2=22-1，
∴MA→⋅MB→=|MD→|2-3⩾(22-1)2-3=6-42，
∴MA→⋅MB→的最小值为6-42．
故答案为：22+2；6-42．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=anan+1(n∈N*)．
（1）证明：数列{1an}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】（1）证明：依题意，由an+1=anan+1两边取倒数，
可得1an+1=an+1an=1an+1，
即1an+1-1an=1，
∵1a1=1，
∴数列{1an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴1an=1+1•（n﹣1）＝n，
∴an=1n，n∈N*．
（2）解：由（1）可得，bn＝anan+1=1n•1n+1=1n-1n+1，
则Tn＝b1+b2+…+bn
＝1-12+12-13+⋯+1n-1n+1
＝1-1n+1
=nn+1．
18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcsA+12a=c．
（1）求B；
（2）若c＝2a，且b=33，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）由正弦定理asinA=bsinB=csinC和bcsA+12a=c，
可得sinBcsA+12sinA=sinC，
又∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+sinBcsA，
∴sinBcsA+12sinA=sinC=sinAcsB+sinBcsA，
∴12sinA=sinAcsB
∵A∈（0，π），∴sinA＞0，
∴csB=12，
∵0＜B＜π，∴B=π3．
（2）记△ABC的面积为S，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accsB，
及B=π3，b＝33可得a2+c2﹣ac＝27，
将c＝2a代入上式，得a2＝9，故a＝3，c＝6，
∴S=12acsinB=932．
19．（12分）如图，已知三棱锥P﹣ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，△PAC是边长为2的正三角形，且平面PBC⊥平面PAC．
（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；
（2）若BC=23，点E为PB的中点，点F为圆O上一点，且F与C位于直径AB的两侧，当EF∥平面PAC时，求平面EFB与平面ABC的夹角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：取PC的中点D，
∵△PAC为等边三角形，∴AD⊥PC，
∵平面PBC⊥平面PAC，平面PBC∩平面PAC＝PC，∴AD⊥平面PBC，
∵BC⊂平面PBC，∴BC⊥AD，
∵AB为圆O的直径，∴BC⊥AC，
又∵AC∩AD＝A，∴BC⊥平面PAC，
∵BC⊂平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC．
（2）（法一）由三角形中位线的性质可知EO∥AP，
又∵EO⊄平面PAC，AP⊂平面PAC，∴EO∥平面PAC，
∵EF∥平面PAC，EO∩EF＝E，∴平面EOF∥平面PAC，
∵平面EOF∩平面AFBC＝FO，平面PAC∩平面AFBC＝AC，∴FO∥AC，
由题可知BC=23，AB=4，取AC中点M连接PM，则PM⊥AC，∵平面PAC∩平面AFBC＝AC，
由（1）可知PM⊥平面ABC，如图1建立空间直角坐标系，
∴P(0，0，3)，A(1，0，0)，B(-1，23，0)，E(-12，3，32)，F(2，3，0)，
∴BF→=(3，-3，0)，EF→=(52，0，-32)，
设平面BEF的一个法向量m→=(x，y，z)，则3x-3y=0，5x-3z=0，
令x=3，则y＝3，z＝5，∴m→=(3，3，5)，
由（1）可知平面ABC的一个法向量n→=(0，0，1)，
∴设平面BEF与平面ABC的夹角为θ，
则csθ=m→⋅n→|m→⋅n→|=537=53737，
∴平面BEF与平面ABC的夹角的余弦值为53737．
（法二）如图2，由三角形中位线的性质可知EO∥AP，
又∵EO⊄平面PAC，AP⊂平面PAC，
∴EO∥平面PAC，∵EF∥平面PAC，EO∩EF＝E，
∴平面EOF∥平面PAC，
∵平面EOF∩平面AFBC＝FO，
平面PAC∩平面AFBC＝AC，∴FO∥AC，
由题可知BC=23，AB=4，取AC中点M连接PM，
则PM⊥AC，∵平面PAC∩平面AFBC＝AC，
由（1）可知PM⊥平面ABC，连接BM，过点E作EH∥PM，
∴H为BM的中点，且EH⊥平面ABC，
∵BF⊂平面ABC，∴EH⊥BF，过点H作HN⊥BF，垂足为N，连接EN，∵EH∩HN＝H，
∴BF⊥平面ENH，∴EN⊥BF，则∠ENH为平面EFB与平面ABC的夹角，
在△BHF中，FH=52，∠BFH=π6，∴HN=FHsinπ6=54，
∵EH=12PM=32，
由勾股定理可得EN=374，cs∠ENH=54374=53737，
∴平面BEF与平面ABC的夹角的余弦值为53737．
20．（12分）甲参加某多轮趣味游戏，在A，B两个不透明的盒内摸球．规定在一轮游戏中甲先在A盒内随机取出1个小球放入B盒，再在B盒内随机取出2个小球．若每轮游戏的结果相互独立，且每轮游戏开始前，两盒内小球的数量始终如表（小球除颜色外大小质地完全相同）：
（1）求在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球的概率；
（2）已知每轮游戏的得分规则为：若从B盒内取出的小球均为红球，则甲获得5分；若从B盒内取出的小球中只有1个红球，则甲获得3分；若从B盒内取出的小球没有红球，则甲获得1分．
（i）记甲在一轮游戏中的得分为X，求X的分布列；
（ii）假设甲共参加了5轮游戏，记5轮游戏甲的总得分为Y，求E（Y）．
【解答】解：（1）记“在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球”为事件C，
根据条件概率可知P(C)=15×C22C62=175，
故在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球的概率为175．
（2）（i）X的可能取值为1，3，5，
对应概率分别为：P(X=5)=25×C32C62+25×C22C62+15×C22C62=325，
P(X=3)=25×C31C31C62+25×C21C41C62+15×C21C41C62=1425，
P(X=1)=25×C32C62+25×C42C62+15×C42C62=825，
故X的分布列为：
（ii）由（i）中分布列可知：E(X)=5×325+3×1425+1×825=135，
甲共参加了5轮游戏，记5轮游戏甲的总得分为Y，
每轮游戏的结果相互独立，根据期望的性质公式可知E（Y）＝5E（X）＝13．
21．（12分）已知f（x）＝axe2x（a∈R）．
（1）当a≠0时，讨论f（x）的单调性；
（2）若关于x的不等式f（x）﹣2x﹣lnx≥0恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）f′（x）＝a（e2x+xe2x•2）＝a（2x+1）e2x，
∵当a＞0时，由f′（x）＞0，解得x＞-12，由f′（x）＜0，解得x＜-12，
当a＜0时，由f′（x）＞0，解得x＜-12，由f′（x）＜0，解得x＞-12，
∴当a＞0时，f（x）的单调增区间为(-12，+∞)，单调减区间为(-∞，-12)，
当a＜0时，f（x）的单调增区间为(-∞，-12)，单调减区间为(-12，+∞)．
（2）由f（x）﹣2x﹣lnx≥0，得axe2x﹣2x﹣lnx≥0，……①
令g（x）＝axe2x﹣2x﹣lnx，则g'(x)=a(1+2x)e2x-2-1x=(1+2x)(axe2x-1)x，
∵当a⩽0时，g（1）＝ae2﹣2＜0不满足条件，∴a⩽0不成立，
当a＞0时，令k（x）＝axe2x﹣1，k′（x）＝a（1+2x）e2x＞0，
∵当x→0+时，k(x)→-1，k(1a)=e2a-1＞0，
∴∃x0∈(0，1a)，使得k（x0）＝0，即ax0e2x0=1，
∴当x∈（0，x0）时，k（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，k（x）＞0，
∴g（x）在区间（0，x0）上单调递减，在区间（x0，+∞）上单调递增，当x＝x0时，g（x）取得最小值g（x0），
由ax0e2x0=1，取对数得lna+lnx0+2x0＝0，则g(x0)=ax0e2x0-2x0-lnx0=1+lna，
要使不等式①恒成立，需1+lna⩾0，解得a⩾1e，
∴实数a的取值范围是[1e，+∞）．
22．（12分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为2，且C的一个焦点到其一条渐近线的距离为1．
（1）求C的方程；
（2）设点A为C的左顶点，若过点（3，0）的直线l与C的右支交于P，Q两点，且直线AP，AQ与圆O：x2+y2＝a2分别交于M，N两点，记四边形PQNM的面积为S1，△AMN的面积为S2，求S1S2的取值范围．
【解答】解：（1）考虑右焦点到一条渐近线的距离，
由题可知C的一条渐近线方程为bx﹣ay＝0，右焦点为（c，0），
∴右焦点到渐近线的距离d=|bc|b2+a2=b＝1，
由离心率e=ca=2，有a2+b2a=2，解得a＝1，
∴双曲线C的方程为x2﹣y2＝1．
（2）设直线l的方程：x＝ty+3，P（x1，y1），Q（x2，y2），
由x2-y2=1x=ty+3⇒（t2﹣1）y2+6ty+8＝0，
因为直线l与双曲线C的右支交于两点，
Δ＝（6t）2﹣4（t2﹣1）×8＝4t2+32＞0恒成立，
还需y1y2=8t2-1＜0t2-1≠0，解得﹣1＜t＜1，
∵A点坐标为（﹣1，0），
∴kAP⋅kAQ=y1x1+1⋅y2x2+1=y1y2(ty1+4)(ty2+4)
=y1y2t2y1y2+4t(y1+y2)+16，
将y1+y2=-6tt2-1，y1y2=8t2-1代入，
得kAP⋅kAQ=8t2-1t2⋅8t2-1+4t⋅-6tt2-1+16
=88t2-24t2+16t2-16=-12，
设AP：x＝m1y﹣1，AQ：x＝m2y﹣1，且|m1|＞1，|m2|＞1，
∴1m1⋅1m2=-12，即m1•m2＝﹣2，故|m1|•|m2|＝2，
∵|m2|=2|m1|＞1，∴1＜|m1|＜2，
由x2-y2=1x=m1y-1⇒(m12-1)y2-2m1y=0，
∴yP=2m1m12-1，同理可得yQ=2m2m22-1，
由x2+y2=1x=m1y-1⇒(m12+1)y2-2m1y=0，
∴yM=2m1m12+1，同理可得yN=2m2m22+1，
∴S△APQS△AMN=12|AQ||AP|sin∠QAP12|AN||AM|sin∠QAP=|AQ||AP||AN||AM|
=yQ⋅yPyN⋅yM=2m2m22-1⋅2m1m12-12m2m22+1⋅2m1m12+1=(m12+1)(m21+1)(m12-1)(m22-1)
=m12m22+m12+m22+1m12m22-m12-m22+1=5+(m12+m22)5-(m12+m22)，
令t=m12+m22，由|m1|•|m2|＝2，1＜|m1|＜2，
得t=m12+4m12，t∈[4，5），
∴S△APQS△AMN=5+t5-t=10-t+5-1，t∈[4，5），
令f（t）=10-t+5-1，t∈[4，5），
∵f（t）在区间[4，5）上为增函数，所以f（t）的取值范围为[9，+∞），
∵S1S2=SMNPQSAMN=S△APQ-S△AMNS△AMN，
∴S1S2的取值范围为[8，+∞）．红球
蓝球
白球
A盒
2
2
1
B盒
2
2
1
红球
蓝球
白球
A盒
2
2
1
B盒
2
2
1
X
1
3
5
P
825
1425
325