2022-2023学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知M，N是全集U的非空子集，且N⊆∁UM，则（ ）
A．N⊆MB．M⊆∁UNC．∁UM＝∁UND．M⊆N
2．（5分）已知a，b∈R，则“lg2a＞lg2b”是“a＞b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（5分）曲线y＝e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为（ ）
A．13B．23C．1D．2
4．（5分）为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，着力造就拔尖创新人才，某校为数学兴趣小组购买了一些数学特色专著：《数学的意义》《现代世界中的数学》《数学问题》，其数量分别为x，y，z（单位：本）．现了解到：①x＞y＞z＞0；②4z＞x+y，则这些数学专著至少有（ ）
A．9本B．10本C．11本D．12本
5．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）从x到x+Δx的平均变化率为f(x+Δx)-f(x)Δx=2x+Δx+x-1x2+x⋅Δx，则f（x）的单调增区间是（ ）
A．（0，+∞）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（2，+∞）
6．（5分）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模y（单位：千万元）与年份代码x的关系可以用模型y＝aebx（其中e＝2.71828⋯）拟合，设z＝lny，得到数据统计如下表：
已知回归方程ẑ=0.52x+1.44，则m的值约为（ ）
A．1.96B．2C．6.9D．7.4
7．（5分）已知A，B为某随机试验的两个事件，A为事件A的对立事件．若P(A)=23，P(B)=58，P(AB)=12，则P(B|A)=（ ）
A．38B．58C．14D．34
8．（5分）已知实数a，b，c满足a＝1.110，5b＝3a+4a，c＝ea﹣a，则（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）已知随机变量X服从二项分布B(8，12)，则（ ）
A．E（X）＝4B．D（X）＝3
C．P(X=2)=732D．P（X＝3）＝P（X＝5）
（多选）10．（5分）已知函数f（x）及其导数f'（x）的定义域均为R，则下列结论正确的有（ ）
A．若f（x）为奇函数，则f（x）+2f（﹣x）为偶函数
B．若f（x）+2f（﹣x）为奇函数，则f（x）为奇函数
C．若f（x）为奇函数，则f'（x）为偶函数
D．若f（x）为偶函数，则f'（x）为偶函数
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣sinx，x∈[0，π2]，则下列结论正确的有（ ）
A．当a=12时，f（x）在x=π3处取得极小值
B．当a=12时，f（x）有且只有一个零点
C．若f（x）≤0恒成立，则0＜a≤2π
D．若f（x）≥0恒成立，则a≥1
（多选）12．（5分）现有12张不同编码的抽奖券，其中只有2张有奖，若将抽奖券随机地平均分给甲、乙、丙、丁4人，则（ ）
A．2张有奖券分给同一个人的概率是14
B．2张有奖券分给不同的人的概率是911
C．2张有奖券都没有分给甲和乙的概率为311
D．2张有奖券分给甲和乙各一张的概率为322
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知(x-2x)n(n∈N*)的展开式中存在常数项，请写出一个符合条件的n的值： ．
14．（5分）某新闻媒体举办主持人大赛，分为四个比赛项目：“新闻六十秒”“挑战会客厅”“趣味绕口令”“创意百分百”，每个项目独立打分，成绩均服从正态分布，成绩的均值及标准差如下表．小星在四个项目中的成绩均为81分，则小星同学在第 个项目中的成绩排名最靠后，在第 个项目中的成绩排名最靠前．（填序号）
15．（5分）已知x＞0，y＞0，2x+y＝1，则x2+y2+xxy的最小值为 ．
16．（5分）已知不等式-14x2≤ax+b≤ex对任意x∈R恒成立，则a+b的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+6．
（1）求f（x）的极小值；
（2）求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值．
18．（12分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中n≥2，n∈N*．
（1）当n＝9时，求a1+a2+…+a9的值；
（2）在展开式中，若存在连续三项的系数之比为3：4：5，求n的值．
19．（12分）已知某校高一有450名学生（其中男生250名，女生200名）．为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的校本课程A，B，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习．学校统计了学生的选课情况，得到如下的2×2列联表．
（1）请将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为选择课程与性别有关？说明你的理由；
（2）从所有男生中按列联表中的选课情况进行分层抽样，抽出10名男生，再从这10名男生中抽取3人做问卷调查，设这3人中选择课程A的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．
20．（12分）已知函数f（x）满足f（2+x）•f（2﹣x）＝4．当x∈[0，2]时，f（x）＝x2﹣ax+2a﹣2（a＞0）．
（1）若f（2）+f（3）＝6，求a的值；
（2）当x∈[0，4]时，都有1≤f（x）≤3，求a的取值范围．
21．（12分）十番棋也称十局棋，是围棋比赛的一种形式．对弈双方下十局棋，先胜六局者获胜．这种形式的比赛因对局较多，偶然性较小，在中国明清时期和日本都流行过．在古代比较有名的十番棋有清代黄龙士和徐星友的“血泪十局”以及范西屏和施襄夏的“当湖十局”．已知甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率和乙获胜的概率均为12，且各局比赛胜负相互独立．
（1）若甲、乙两人进行十番棋比赛，求甲至多经过七局比赛获胜的概率；
（2）甲、乙两人约定新赛制如下：对弈双方需赛满2n（n∈N*）局，结束后统计双方的获胜局数，如果一方获胜的局数多于另一方获胜的局数，则该方赢得比赛．研究表明：n越大，某一方赢得比赛的概率越大．请从数学角度证明上述观点．
22．（12分）已知函数f(x)=12ax2-lnx-1与函数g（x）＝ex﹣ax有相同的最小值．
（1）求实数a的值；
（2）求不等式ex-ax21+lnx＜0的解集．
2022-2023学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知M，N是全集U的非空子集，且N⊆∁UM，则（ ）
A．N⊆MB．M⊆∁UNC．∁UM＝∁UND．M⊆N
【解答】解：∵M，N是全集U的非空子集，且N⊆∁UM，
∴M∩N＝∅，
∴M⊆∁UN．
故选：B．
2．（5分）已知a，b∈R，则“lg2a＞lg2b”是“a＞b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若lg2a＞lg2b，则a＞b＞0，此时充分性成立，
若0＞a＞b，则lg2a＞lg2b无意义，则必要性不成立，
故“lg2a＞lg2b”是“a＞b”成立的充分不必要条件，
故选：A．
3．（5分）曲线y＝e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为（ ）
A．13B．23C．1D．2
【解答】解：由y＝e﹣x+1，得y′＝﹣e﹣x，
∴y′|x＝0＝﹣1，可得曲线y＝e﹣x+1在点（0，2）处的切线方程为y＝﹣x+2．
如图：
A（2，0），
联立y=xy=-x+2，解得B（1，1），
∴曲线y＝e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为12×2×1=1．
故选：C．
4．（5分）为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，着力造就拔尖创新人才，某校为数学兴趣小组购买了一些数学特色专著：《数学的意义》《现代世界中的数学》《数学问题》，其数量分别为x，y，z（单位：本）．现了解到：①x＞y＞z＞0；②4z＞x+y，则这些数学专著至少有（ ）
A．9本B．10本C．11本D．12本
【解答】解：因为x，y，z∈N*，x＞y＞z＞0，
不妨先令z＝1，则4z＝4＞x+y，此时由于ymin＝2，xmin＝3，（x+y）min＝5＞4，不合要求，舍去；
令z＝2，则4z＝8＞x+y，此时ymin＝3，xmin＝4，（x+y）min＝7＜8，满足要求，
故这些数学专著至少有2+3+4＝9本．
故选：A．
5．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）从x到x+Δx的平均变化率为f(x+Δx)-f(x)Δx=2x+Δx+x-1x2+x⋅Δx，则f（x）的单调增区间是（ ）
A．（0，+∞）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（2，+∞）
【解答】解：根据导数的定义得：
f′（x）=Δx→0limf(x+Δx)-f(x)Δx=Δx→0lim（2x+Δx+x-1x2+x⋅Δx）=1x-1x2=x32-1x2，
令f′（x）＞0，解得x＞1，
故f（x）的递增区间是（1，+∞）．
故选：C．
6．（5分）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模y（单位：千万元）与年份代码x的关系可以用模型y＝aebx（其中e＝2.71828⋯）拟合，设z＝lny，得到数据统计如下表：
已知回归方程ẑ=0.52x+1.44，则m的值约为（ ）
A．1.96B．2C．6.9D．7.4
【解答】解：由题意可得，x=15(1+2+3+4+5)=3，
将x=3代入ẑ=0.52x+1.44可得z=0.52×3+1.44=3，且z=15(n+2.4+3+3.6+4)，
所以n＝2，
又因为z＝lny，即2＝lnm，所以m＝e2≈7.4．
故选：D．
7．（5分）已知A，B为某随机试验的两个事件，A为事件A的对立事件．若P(A)=23，P(B)=58，P(AB)=12，则P(B|A)=（ ）
A．38B．58C．14D．34
【解答】解：由概率性质可知，P（AB）+P（AB）＝P（B），
即12+P(AB)=58，∴P（AB）=18，
由P（A）=23，可得P（A）=13，
所以P（B|A）=P(AB)P(A)=18÷13=38．
故选：A．
8．（5分）已知实数a，b，c满足a＝1.110，5b＝3a+4a，c＝ea﹣a，则（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
【解答】解：设f（x）＝ex﹣ex，f'（x）＝ex﹣e，当x＞1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增，
当x＜1时，f'（x）＜0，此时，f（x）单调递减，f（x）min＝f（1）＝0，
则f（x）≥0，即ex≥ex，
因为c﹣a＝ea﹣2a≥ea﹣2a＝（e﹣2）a＞0，所以c＞a，
由5b=3a+4a⇒5b5a=3a5a+4a5a=(35)a+(45)a，
因为f(x)=(35)x+(45)x在R上递减，
而a＝1.110＝（1+0.1）10＞C100（0.1）0+C101（0.1）＝2，
所以f（a）＜f（2）＝（35）2+（45）2＝1，
即5b5a＜1，∴5b＜5a，∴b＜a，
综上可得：b＜a＜c．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）已知随机变量X服从二项分布B(8，12)，则（ ）
A．E（X）＝4B．D（X）＝3
C．P(X=2)=732D．P（X＝3）＝P（X＝5）
【解答】解：因为随机变量X服从二项分布B(8，12)，
所以E（X）=8×12=4，D（X）=8×12×12=2，所以A对，B错误；
P（X＝2）=C82(12)8=764，C错；
P（X＝3）=C83（12）8=C85(12)8=P（X＝5），D对．
故选：AD．
（多选）10．（5分）已知函数f（x）及其导数f'（x）的定义域均为R，则下列结论正确的有（ ）
A．若f（x）为奇函数，则f（x）+2f（﹣x）为偶函数
B．若f（x）+2f（﹣x）为奇函数，则f（x）为奇函数
C．若f（x）为奇函数，则f'（x）为偶函数
D．若f（x）为偶函数，则f'（x）为偶函数
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，设g（x）＝f（x）+2f（﹣x），若f（x）为奇函数，则g（x）＝f（x）+2f（﹣x）＝﹣f（x），g（x）是奇函数不是偶函数，A错误；
对于B，设g（x）＝f（x）+2f（﹣x），若g（x）为奇函数，即f（﹣x）+2f（x）+f（x）+2f（﹣x）＝3[f（x）+f（﹣x）]＝0，则有f（﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，B正确；
对于C，若f（x）为奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），两边同时求导可得﹣f′（﹣x）＝﹣f′（x），即f′（﹣x）＝f（x），则函数f′（x）为偶函数，C正确；
对于D，若f（x）为偶函数，即f（﹣x）＝f（x），两边同时求导可得﹣f′（﹣x）＝f′（x），即f′（﹣x）＝﹣f（x），则函数f′（x）为奇函数，D错误．
故选：BC．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣sinx，x∈[0，π2]，则下列结论正确的有（ ）
A．当a=12时，f（x）在x=π3处取得极小值
B．当a=12时，f（x）有且只有一个零点
C．若f（x）≤0恒成立，则0＜a≤2π
D．若f（x）≥0恒成立，则a≥1
【解答】解：a=12时，f（x）=12x﹣sinx，x∈[0，π2]，
则f′（x）=12-csx，
令f′（x）＞0，解得：π3＜x≤π2，
令f′（x）＜0，解得：0≤x＜π3，
故f（x）在[0，π3）递减，在（π3，π2]递增，
故f（x）在x=π3处取得极小值，故A正确；
f（x）min＝f（π3）=16（π﹣33）＜0，
而f（0）＝0，f（π2）＝π﹣1＞0，
故f（x）有且只有2个零点，故B错误；
若f（x）≤0恒成立，则ax≤sinx，x＝0时，成立，
x∈（0，π2]时，问题转化为a≤sinxx恒成立，
令g（x）=sinxx，x∈（0，π2]，
则g′（x）=xcsx-sinxx2，
令h（x）＝xcsx﹣sinx，x∈（0，π2]，
则h′（x）＝﹣xsinx＜0，
故h（x）在（0，π2]递减，
故h（x）＜h（0）＝0，
故g′（x）＜0，g（x）递减，
x→0时，x→0limsinxx=x→0limcsx1=1，
x=π2时，g（π2）=2π，
∴2π≤g（x）＜1，故a≤2π，故C错误；
若f（x）≥0恒成立，
则a≥[g（x）]max，而g（x）＜1，故a≥1，故D正确．
故选：AD．
（多选）12．（5分）现有12张不同编码的抽奖券，其中只有2张有奖，若将抽奖券随机地平均分给甲、乙、丙、丁4人，则（ ）
A．2张有奖券分给同一个人的概率是14
B．2张有奖券分给不同的人的概率是911
C．2张有奖券都没有分给甲和乙的概率为311
D．2张有奖券分给甲和乙各一张的概率为322
【解答】解：选项A，2张有奖券分给同一个人的概率P=C41C101C93C63C33C123C93C63C33=211，选项A错误；
选项B，2张有奖券分给不同的人与2张有奖券分给同一人是互斥事件，
因此概率P＝1-C41C101C93C63C33C123C93C63C33=911，选项B正确；
选项C，分两种情况讨论：
（1）2张都分给丙或丁：概率P=C21C101C93C63C33C123C93C63C33=111，
（2）丙丁各一张：概率P=C21C102C82C63C33C123C93C63C33=322，
因此，2张都没有分给甲和乙的概率为111+322=522，选项C错误；
选项D，2张有奖券分给甲和乙各一张的概率P=C21C102C82C63C33C123C93C63C33=322，选项D正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知(x-2x)n(n∈N*)的展开式中存在常数项，请写出一个符合条件的n的值： 6（答案不唯一） ．
【解答】解：由于已(x-2x)n(n∈N*)的展开式中存在常数项，通项公式为Tr+1=Cnr•（﹣2）r•xn-3r2，
故n-3r2=0有解，故n＝3r，且r＝0，3，6，9…．
故答案为：6（答案不唯一）．
14．（5分）某新闻媒体举办主持人大赛，分为四个比赛项目：“新闻六十秒”“挑战会客厅”“趣味绕口令”“创意百分百”，每个项目独立打分，成绩均服从正态分布，成绩的均值及标准差如下表．小星在四个项目中的成绩均为81分，则小星同学在第 四 个项目中的成绩排名最靠后，在第 二 个项目中的成绩排名最靠前．（填序号）
【解答】解：因为只有第四个项目的成绩小于均值，所以第四个项目的成绩排名最靠后；
第一、二两个项目的成绩大于均值，第三个项目成绩等于均值，所以排名靠前的为第一或第二个项目，
因为第二个项目的标准差小于项目一的标准差，所以项目二的数据更集中，小星在项目二的排名更靠前．
故答案为：四；二．
15．（5分）已知x＞0，y＞0，2x+y＝1，则x2+y2+xxy的最小值为 23+1 ．
【解答】解：因为x＞0，y＞0，2x+y＝1，
则x2+y2+xxy=xy+yx+1y=xy+yx+2x+yy=3xy+yx+1≥23+1，
当且仅当3xy=yx且2x+y＝1，即x＝2-3，y＝23-3时取等号．
故答案为：23+1．
16．（5分）已知不等式-14x2≤ax+b≤ex对任意x∈R恒成立，则a+b的最大值为 2 ．
【解答】解：要求a+b的最大值，
即求当x＝1时，函数y＝ax+b的最大值，
已知不等式-14x2≤ax+b≤ex对任意x∈R恒成立，
可得当直线y＝ax+b为函数f（x）=-14x2和g（x）＝ex公切线时，取得最大值，
所以ax+b+14x2＝0有唯一解，
此时Δ＝a2﹣b＝0，
解得b＝a2，
此时直线y＝ax+a2与函数g（x）＝ex相切，
不妨设切点为（x0，ex0），
因为g′（x）＝ex，
所以g′（x0）=ex0，
又g（x0）=ex0，
所以函数g（x）在点（x0，ex0）处的切线方程为
y-ex0=ex0（x﹣x0），
即y=ex0x﹣x0ex0+ex0，
此时ex0=a-x0ex0+ex0=a2，
解得a=1x0=0，
所以公切线方程为y＝x+1，
则a+b的最大值为2．
故答案为：2．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+6．
（1）求f（x）的极小值；
（2）求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）∵f（x）＝x3﹣3x2+6，
∴f′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），
令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜0，
令f′（x）＜0，解得0＜x＜2，
故f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
故f（x）极小值＝f（2）＝8﹣12+6＝2；
（2）由（1）得f（x）在[﹣1，0）递增，在（0，1]递减，
故f（x）最大值＝f（x）极大值＝f（0）＝6，
而f（﹣1）＝2，f（1）＝2，
故f（x）最小值＝2．
18．（12分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中n≥2，n∈N*．
（1）当n＝9时，求a1+a2+…+a9的值；
（2）在展开式中，若存在连续三项的系数之比为3：4：5，求n的值．
【解答】解：（1）∵（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中n≥2，n∈N*．
当n＝9时，令x＝0，可得a0＝1，
再令x＝1，可得1+a1+a2+…+a9＝29＝512，
∴a1+a2+…+a9＝29＝511．
（2）在展开式中，若存在连续三项的系数之比为3：4：5，
不妨假设Cnr-1：Cnr：Cnr+1=3：4：5，且1≤r≤n﹣1，
则有CnrCnr-1=n!r!(n-r)!×(r-1)!(n-r+1)!n!=n-r+1r=43，整理得3n﹣7r+3＝0……①，
Cnr+1Cnr=n!(r+1)!(n-r-1)!×r!(n-r)!n!=n-rr+1=45，整理得4n﹣9r﹣5＝0……②，
联立①②，解得n＝62，r＝27．
即当n＝62时，存在连续三项的系数之比为C6226：C6227：C6228=3：4：5．
19．（12分）已知某校高一有450名学生（其中男生250名，女生200名）．为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的校本课程A，B，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习．学校统计了学生的选课情况，得到如下的2×2列联表．
（1）请将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为选择课程与性别有关？说明你的理由；
（2）从所有男生中按列联表中的选课情况进行分层抽样，抽出10名男生，再从这10名男生中抽取3人做问卷调查，设这3人中选择课程A的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．
【解答】解：（1）由题意，2×2列联表为：
提出零假设H0：即选择课程与性别无关，
则由x2=450×(100×150-150×50)2150×300×250×200=22.5＞10.828，可知H0不成立，
即有99.9%的把握认为选择课程与性别有关．
（2）从250名男生中用分层抽样抽10名男生，抽取比例为125，根据表中数据，这10人中有4人选择课程A，有6人选择课程B，
从这10人中再抽取3人，则抽到选择课程A的人数X可能为0，1，2，3，
设事件X发生的概率为P（X），
则P（X＝0）=C63C103=16，
P（X＝1）=C41C62C103=12，
P（X＝2）=C42C61C103=310，
P（X＝3）=C43C103=130，
所以X的分布列为：
E（X）=0×16+1×12+2×310+3×130=65．
20．（12分）已知函数f（x）满足f（2+x）•f（2﹣x）＝4．当x∈[0，2]时，f（x）＝x2﹣ax+2a﹣2（a＞0）．
（1）若f（2）+f（3）＝6，求a的值；
（2）当x∈[0，4]时，都有1≤f（x）≤3，求a的取值范围．
【解答】解：（1）已知当x∈[0，2]时，f（x）＝x2﹣ax+2a﹣2（a＞0），
所以f（1）＝1﹣a+2a﹣2＝a﹣1，f（2）＝4﹣2a+2a﹣2＝2，
又函数f（x）满足f（2+x）•f（2﹣x）＝4，
即f（3）•f（1）＝（a﹣1）f（3）＝4，
易知a≠1，
所以f(3)=4a-1，
若f(2)+f(3)=2+4a-1=6，
解得a＝2；
（2）由f（2+x）•f（2﹣x）＝4，
可得f（x）•f（4﹣x）＝4，
当x∈[0，2]时，4﹣x∈[2，4]，
此时f(4-x)=4f(x)，
因为当x∈[0，4]时，都有1≤f（x）≤3，
所以当x∈[2，4]时，f(4-x)=4f(x)∈[1，3]，
解得43≤f(x)≤4，
因为1≤f（x）≤3，
所以43≤f(x)≤4在[0，2]上恒成立，
当0＜a≤2时，f（x）＝x2﹣ax+2a﹣2为开口向上的二次函数，
对称轴x=a2∈（0，1]，
所以当x=a2时，f（x）取得最小值，最小值f（a2）=-(a-4)24+2，
当x＝0时，f（x）取得最大值，最大值f（0）＝2a﹣2，
需满足2a-2≤3-(a-4)24+2≥43，
解得4-263≤a≤52，
又0＜a≤2，
所以不存在满足条件的a的值；
当2＜a≤4时，函数f（x）＝x2﹣ax+2a﹣2为开口向上的二次函数，
对称轴x=a2∈（1，2]，
所以当x＝2时，f（x）取得最小值，最小值f（2）＝2，
当x＝0时，f（x）取得最大值，最大值f（0）＝2a﹣2，
需满足2a-2≤3-(a-4)24+2≥43，
解得4-263≤a≤52，
又2＜a≤4，
所以4-263≤a≤52；
当a＞4时，函数f（x）＝x2﹣ax+2a﹣2为开口向上的二次函数，
对称轴x=a2＞2，
所以当x=a2时，f（x）取得最小值，最小值f（a2）=-(a-4)24+2，
当x＝0时，f（x）取得最大值，最大值f（0）＝2a﹣2，
需满足2≥342a-2≤3，
解得a≤52，
又a＞4，
所以不存在满足条件的a的值，
综上，a的取值范围为[4-263，52]．
21．（12分）十番棋也称十局棋，是围棋比赛的一种形式．对弈双方下十局棋，先胜六局者获胜．这种形式的比赛因对局较多，偶然性较小，在中国明清时期和日本都流行过．在古代比较有名的十番棋有清代黄龙士和徐星友的“血泪十局”以及范西屏和施襄夏的“当湖十局”．已知甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率和乙获胜的概率均为12，且各局比赛胜负相互独立．
（1）若甲、乙两人进行十番棋比赛，求甲至多经过七局比赛获胜的概率；
（2）甲、乙两人约定新赛制如下：对弈双方需赛满2n（n∈N*）局，结束后统计双方的获胜局数，如果一方获胜的局数多于另一方获胜的局数，则该方赢得比赛．研究表明：n越大，某一方赢得比赛的概率越大．请从数学角度证明上述观点．
【解答】解：（1）甲经过六局比赛获胜的概率为p1=(12)6=164，
甲经过七局比赛获胜，则前六局有一局乙胜，第7局甲获胜，概率为p2=C65(12)5×12×12=364，
故甲至多经过七局比赛获胜的概率为p1+p2=164+364=116；
（2）证明：对弈双方赛满 2n（n∈N* ）局后，甲获胜的概率为P（n），则甲至少获胜的局数为P（n+1）局，
故P(n)=C2nn+1(12)2n+C2nn+2(12)2n+⋯+C2n2n(12)2n=(C2nn+1+C2nn+2+⋯+C2n2n)(12)2n，
=12(22n-C2nn)(12)2n=12(1-C2nn22n)，
同理可得P(n+1)=12(1-C2n+2n+122n+2)，
因为C2nn22nC2n+2n+122n+2=4C2nnC2n+2n+1=4(n+1)2(2n+2)(2n+1)=2(n+1)2n+1＞1，
故C2nn22n＞C2n+2n+122n+2，则P（n）＜P（n+1），
同理，对乙来说，结论一样，故 n 越大，某一方赢得比赛的概率越大．
22．（12分）已知函数f(x)=12ax2-lnx-1与函数g（x）＝ex﹣ax有相同的最小值．
（1）求实数a的值；
（2）求不等式ex-ax21+lnx＜0的解集．
【解答】解：（1）已知f(x)=12ax2-lnx-1，函数定义域为（0，+∞），
可得f′（x）＝ax-1x=ax2-1x，
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，无最小值，不符合题意；
当a＞0时，
当0＜x＜1a时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞1a时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以当x=1a时，函数f（x）取得极小值也是最小值，
f（x）min＝f（1a）=lna-12；
已知g（x）＝ex﹣ax，函数定义域为R，
可得g′（x）＝ex﹣a，
当a≤0时，g′（x）＞0，f（x）单调递增，无最小值，不符合题意；
当a＞0时，
当x＜lna时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x＞lna时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以当x＝lna时，函数g（x）取得极小值也是最小值，
g（x）min＝g（lna）＝a﹣lna，
因为函数f（x）与g（x）有相同的最小值，
所以lna-12=a﹣lna，
解得a＝e；
（2）由（1）知a＝e，
此时不等式为ex-ex21+lnx＜0，
不妨设h（x）＝ex-ex21+lnx，函数定义域为（0，+∞），
当1+lnx＜0时，因为ex＞0在R上恒成立，
所以不等式ex-ex21+lnx＞0，不符合题意；
当1+lnx＞0，即x＞1e时，
整理得lnx+1-x2ex-1＜0，
不妨设k（x）＝lnx+1-x2ex-1，函数定义域为（1e，+∞），
可得k'（x）=1x-2x-x2ex-1=1+x3-2x2ex-1x，
不妨设m（x）=x3-2x2ex-1，函数定义域为（0，+∞），
可得m′（x）=-x(x-1)(x-4)ex-1，
当0＜x＜1时，m′（x）＜0，m（x）单调递减；
当1＜x＜4时，m′（x）＞0，m（x）单调递增；
当x＞4时，m′（x）＜0，m（x）单调递减，
当0＜x＜4时，m（x）极小值＝m（1）＝0，
当x＞4时，m（x）＞1，
所以m（x）≥0恒成立，
即h'（x）≥0，k（x）单调递增，
又k（1）＝0，
所以要使k（x）＜0，
此时0＜x＜1，
故不等式ex-ax21+lnx＜0的解集为（0，1）．年份
2018年
2019年
2020年
2021年
2022年
x
1
2
3
4
5
y
m
11
20
36.6
54.6
z
n
2.4
3
3.6
4
序号
一
二
三
四
项目
新闻六十秒
挑战会客厅
趣味绕口令
创意百分百
μ
71
75
81
85
σ
4.9
2.1
3.6
4.3
选择课程A
选择课程B
总计
男生
150
女生
50
总计
P（χ2≥x0）
0.01
0.005
0.001
x0
6.635
7.879
10.828
年份
2018年
2019年
2020年
2021年
2022年
x
1
2
3
4
5
y
m
11
20
36.6
54.6
z
n
2.4
3
3.6
4
序号
一
二
三
四
项目
新闻六十秒
挑战会客厅
趣味绕口令
创意百分百
μ
71
75
81
85
σ
4.9
2.1
3.6
4.3
选择课程A
选择课程B
总计
男生
150
女生
50
总计
P（χ2≥x0）
0.01
0.005
0.001
x0
6.635
7.879
10.828
选择课程A
选择课程B
总计
男生
100
150
250
女生
50
150
200
总计
150
300
450
X
0
1
2
3
P
16
12
310
130