2022-2023学年山东省青岛中学高二（下）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年山东省青岛中学高二（下）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知函数f（x）＝cs2x，则f（x）的导数f′（x）＝（ ）
A．sin2xB．2sin2xC．﹣sin2xD．﹣2sin2x
2．（5分）若C20x＝C203x﹣4，则实数x的值为（ ）
A．2B．4C．6D．2或6
3．（5分）如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为13，记6次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则D（X）＝（ ）
A．23B．43C．2D．4
4．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，am+n＝aman，则S5＝（ ）
A．64B．62C．32D．30
5．（5分）在（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）9的展开式中，x3的系数为（ ）
A．120B．210C．720D．5040
6．（5分）某质检员从某生产线生产的零件中随机抽取了一部分零件进行质量检测，根据检测结果发现这批零件的某一质量指数X服从正态分布N（50，9），且X落在[47，56]内的零件个数为81860，则可估计所抽取的零件中质量指数小于44的个数为（ ）
（附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤Z≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤Z≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤Z≤μ+3σ）≈0.9973）
A．270B．2275C．2410D．4550
7．（5分）已知离散型随机变量X的分布列为P（X＝n）=an+n+1（n＝1，2，……，15），其中a为常数，则P（X≤8）＝（ ）
A．12B．23C．34D．45
8．（5分）甲、乙、丙3人准备前往A，B，C，D这4个景点游玩，其中甲和乙已经去过A景点，本次不再前往A景点游玩，若每个人都至少选择1个景点但不超过3个景点游玩，则3人可组成的不同的游玩组合有（ ）
A．735种B．686种C．540种D．465种
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
（多选）9．（5分）下列命题正确的是（ ）
A．回归直线ŷ=b̂x+â恒过样本点的中心(x，y)，且至少过一个样本点
B．在回归直线方程ŷ=0.5x+2中，变量ŷ与x正相关
C．变量x，y的样本相关系数|r|越大，表示它们的线性相关性越强
D．在回归分析中，残差平方和越大，模型的拟合效果越好
（多选）10．（5分）在某次数学测试中，学生的成绩X～N（100，σ2）（σ＞0），则（ ）
A．P（X＞100）＝0.5
B．若σ越大，则P（95＜X＜105）越大
C．P（X＞80）＝P（X＜120）
D．P（80＜X＜90）＝P（120＜X＜130）
（多选）11．（5分）已知(1+2x)9=a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9，则（ ）
A．a2＝144
B．a0+a1+a2+⋯⋯+a8+a9=39
C．a1+a3+a7+a9=a0+a2+a4+a6+a8=28
D．ai（i＝0，1，2，⋯⋯，8，9）的最大值为a6
（多选）12．（5分）已知函数y＝f（x）是奇函数，对于任意的x∈(0，π2]满足f′（x）sinx﹣f（x）csx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．3f(-π6)＜f(-π3)B．2f(-π4)＜-f(π2)
C．f(π4)＞-2f(-π6)D．f(π3)＞3f(π6)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知某学校高二年级有男生500人、女生450人，调查该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如图，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人数为 ．
14．（5分）在（a+2b+3c）5的展开式中，含a2b2c的系数为 ．
15．（5分）某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道A类试题，8道B类试题，12道C类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对A，B，C这3类试题的概率分别为12，14，16．若学生甲答对了所选试题，则这道试题是B类试题的概率为 ．
16．（5分）已知对任意x∈（1，+∞），不等式k(ekx+1)-(1x+1)lnx＞0恒成立，则正数k的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题满分70分，其它每道小题满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）某商场为提高服务质量，随机调查了50位男顾客和50位女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或者不满意的评价，得到如表部分列联表：
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
18．（12分）设数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣n．
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：i=1n 1a2i＜12．
19．（12分）已知函数f（x）＝6ex﹣3x2﹣ax．
（1）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为5x﹣y+6＝0，求a；
（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围．
20．（12分）某单位组织员工进行排球娱乐比赛，比赛规则如下：比赛实行五局三胜制，任何一方率先赢下3局比赛时比赛结束，每一局比赛获胜方得2分，失败方得1分，甲，乙两队相互打比赛．已知甲队每一局获胜的概率均为23．
（1）求甲、乙两队3局结束比赛的概率；
（2）记比赛结束时甲队的得分为η，求η的分布列和期望．
21．（12分）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y（单位：g/m3）与样本对原点的距离x（单位：m）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．
（表中ui=1xi，u=19i=19 ui）．
（Ⅰ）利用样本相关系数的知识，判断y＝a+bx与y=c+dx哪一个更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型？
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果回答下列问题：
（i）建立y关于x的回归方程；
（ii）样本对原点的距离x＝20时，金属含量的预报值是多少？
（Ⅲ）已知该金属在距离原点x米时的平均开采成本W（单位：元）与x，y关系为W＝100（y﹣lnx）（1≤x≤100），根据（Ⅱ）的结果回答，x为何值时，开采成本最大？
参考公式：（1）样本相关系数r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2i=1n (yi-y)2
（2）对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线ŷ=b̂x+â的斜率和截距的最小二乘估计分别为b̂=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2=i=1n xiyi-nxyi=1n xi2-nx2，â=y-b̂x．
22．（12分）已知函数f（x）＝ln1x-ax2+x（a＞0）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．
2022-2023学年山东省青岛中学高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知函数f（x）＝cs2x，则f（x）的导数f′（x）＝（ ）
A．sin2xB．2sin2xC．﹣sin2xD．﹣2sin2x
【解答】解：f′（x）＝（cs2x）′＝﹣sin2x•（2x）′＝﹣2sin2x．
故选：D．
2．（5分）若C20x＝C203x﹣4，则实数x的值为（ ）
A．2B．4C．6D．2或6
【解答】解：∵C20x＝C203x﹣4，∴x＝3x﹣4或x+3x﹣4＝20，解得x＝2或6，
故选：D．
3．（5分）如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为13，记6次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则D（X）＝（ ）
A．23B．43C．2D．4
【解答】解：一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为13，则“不成功”的概率为23，
则完成6次独立重复试验，符合“二项分布”，
即X～B（6，13），
D（X）＝nP（1﹣P）=6×13×23=43．
故选：B．
4．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，am+n＝aman，则S5＝（ ）
A．64B．62C．32D．30
【解答】解：am+n＝aman，
令m＝1，
则an+1＝a1an＝2an，
数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
故S5=2(1-25)1-2=26-2=62．
故选：B．
5．（5分）在（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）9的展开式中，x3的系数为（ ）
A．120B．210C．720D．5040
【解答】解：由题意可得 x3的系数为 C33+C43+C53+⋯+C93=
1+C54-C44+C64-C54+C74-C64+C84-C74+C94-C84+C104-C94=C104=10×9×8×74×3×2×1=210．
故选：B．
6．（5分）某质检员从某生产线生产的零件中随机抽取了一部分零件进行质量检测，根据检测结果发现这批零件的某一质量指数X服从正态分布N（50，9），且X落在[47，56]内的零件个数为81860，则可估计所抽取的零件中质量指数小于44的个数为（ ）
（附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤Z≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤Z≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤Z≤μ+3σ）≈0.9973）
A．270B．2275C．2410D．4550
【解答】解：由题意可知，P(47≤X≤56)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)+P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)2=0.8186，
则所抽取的零件总数为818600.8186=100000，
故估计所抽取的零件中质量指数小于44的个数为100000×1-0.95452=2275．
故选：B．
7．（5分）已知离散型随机变量X的分布列为P（X＝n）=an+n+1（n＝1，2，……，15），其中a为常数，则P（X≤8）＝（ ）
A．12B．23C．34D．45
【解答】解：P（X＝n）=an+n+1=an+1-n(n+1+n)(n+1-n)=a(n+1-n)，
由分布列的性质可得，P（X＝1）+P（X＝2）+…+P（X＝15）=a(2-1+3-2+⋯+16-15)=3a＝1，解得a=13，
P（X≤8）＝P（X＝1）+P（X＝2）+…+P（X＝8）=a(2-1+3-2+⋯+8-7)=2a=23．
故选：B．
8．（5分）甲、乙、丙3人准备前往A，B，C，D这4个景点游玩，其中甲和乙已经去过A景点，本次不再前往A景点游玩，若每个人都至少选择1个景点但不超过3个景点游玩，则3人可组成的不同的游玩组合有（ ）
A．735种B．686种C．540种D．465种
【解答】解：因为甲和乙已经去过A景点，本次不再前往A景点游玩，
所以两人可以从B，C，D这3个景点中，选择1个，2个或3个去游玩，
两人的选择方法均为：C31+C32+C33=3+3+1=7（种）；
而丙的选择方法有：C41+C42+C43=4+6+4=14（种）；
所以3人可组成的不同的游玩组合有：7×7×14＝686（种）．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
（多选）9．（5分）下列命题正确的是（ ）
A．回归直线ŷ=b̂x+â恒过样本点的中心(x，y)，且至少过一个样本点
B．在回归直线方程ŷ=0.5x+2中，变量ŷ与x正相关
C．变量x，y的样本相关系数|r|越大，表示它们的线性相关性越强
D．在回归分析中，残差平方和越大，模型的拟合效果越好
【解答】解：对于A，回归直线ŷ=b̂x+â恒过样本点的中心(x，y)，但可以不经过任何一个样本点，A错误；
对于B，在回归直线方程ŷ=0.5x+2中，0.5＞0，所以变量ŷ与x正相关，B正确；
对于C，变量x，y的样本相关系数|r|越大，越靠近1，表示它们的线性相关性越强，C正确；
对于D，在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，D错误．
故选：BC．
（多选）10．（5分）在某次数学测试中，学生的成绩X～N（100，σ2）（σ＞0），则（ ）
A．P（X＞100）＝0.5
B．若σ越大，则P（95＜X＜105）越大
C．P（X＞80）＝P（X＜120）
D．P（80＜X＜90）＝P（120＜X＜130）
【解答】解：因为X～N（100，σ2）（σ＞0），所以P（X＞100）＝0.5，A正确；
当σ＝5时，P（95＜X＜105）≈0.6827，当σ＝2.5时，P（95＜X＜105）≈0.9545，B不正确；
因为80+120＝2×100，所以P（X＞80）＝P（X＜120），C正确；
根据正态曲线的对称性P（80＜X＜90）＝P（110＜X＜120），D不正确．
故选：AC．
（多选）11．（5分）已知(1+2x)9=a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9，则（ ）
A．a2＝144
B．a0+a1+a2+⋯⋯+a8+a9=39
C．a1+a3+a7+a9=a0+a2+a4+a6+a8=28
D．ai（i＝0，1，2，⋯⋯，8，9）的最大值为a6
【解答】解：A选项，根据二项展开式的通项，a2=C92×22=144，A选项正确；
B选项，取x＝1代入等式，得到39＝a0+a1+a2+⋯⋯+a8+a9，B选项正确；
C选项，取x＝﹣1代入等式，得到﹣1＝a0﹣a1+a2﹣⋯⋯+a8﹣a9，
结合B选项a0+a1+a2+⋯⋯+a8+a9=39，
两式相加得a0+a2+a4+a6+a8=39-12=9841≠28，故C选项错误；
D选项，根据二项展开式的通项，ai=C9i2i，令ai≥ai+1ai≥ai-1，即C9i2i≥C9i+12i+1C9i2i≥C9i-12i-1，
解得173≤i≤203，又i∈N，故i＝6，即a6最大，D选项正确．
故选：ABD．
（多选）12．（5分）已知函数y＝f（x）是奇函数，对于任意的x∈(0，π2]满足f′（x）sinx﹣f（x）csx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．3f(-π6)＜f(-π3)B．2f(-π4)＜-f(π2)
C．f(π4)＞-2f(-π6)D．f(π3)＞3f(π6)
【解答】解：构造函数h(x)=f(x)sinx，则h'(x)=f'(x)sinx-f(x)csxsin2x，
由已知有h（x）在(0，π2]单调递增，
又因为f（x）为奇函数，
故h（x）为偶函数，
故h（x）在[-π2，0)单调递减，
所以h(π6)＜h(π3)，化简得：f(π3)＞3f(π6)，故D正确；
由奇函数的性质可知，f(-π3)＜3f(-π6)，选项A错误；
h(π4)＞h(π6)，化简得：f(π4)＞2f(π6)，
又因为函数f（x）为奇函数，
故f(π6)=-f(-π6)，则f(π4)＞-2f(-π6)，故C正确．
h(-π2)＞h(-π4)，化简得f(-π2)＜2f(-π4)，即2f(-π4)＞-f(π2)，选项B错误．
故选：CD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知某学校高二年级有男生500人、女生450人，调查该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如图，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人数为 9 ．
【解答】解：由等高堆积条形图可得喜欢徒步的男生有500×0.6＝300人，喜欢徒步的女生有450×0.4＝180人．
故喜欢徒步的总人数为300+180＝480人．
按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人数为180480×24=9人．
故答案为：9．
14．（5分）在（a+2b+3c）5的展开式中，含a2b2c的系数为 360 ．
【解答】解：把（a+2b+3c）5的展开式看成是5个因式（a+2b+3c）的乘积形式，
展开式中，含a2b2c项的系数可以按如下步骤得到：
第一步，从5个因式中任选2个因式，这2个因式取a，有C52种取法；
第二步，从剩余的3个因式中任选2个因式，都取2b，有C32种取法；
第三步，把剩余的1个因式中都取3c，有C11种取法；
根据分步相乘原理，得含a2b2c项的系数是C52×22C32×31C11=360．
故答案为：360．
15．（5分）某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道A类试题，8道B类试题，12道C类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对A，B，C这3类试题的概率分别为12，14，16．若学生甲答对了所选试题，则这道试题是B类试题的概率为 13 ．
【解答】解：设学生选1道A类试题为事件A，学生选1道B类试题为事件B，学生选1道C类试题为事件C，
设学生答对试题为事件D，则P(A)=44+8+12=16，P(B)=84+8+12=13，P(C)=124+8+12=12，
P(D|A)=12，P(D|B)=14，P(D|C)=16，
所以P(D)=16×12+13×14+12×16=14，
所以P(B|D)=P(BD)P(D)=13×1414=13．
故答案为：13．
16．（5分）已知对任意x∈（1，+∞），不等式k(ekx+1)-(1x+1)lnx＞0恒成立，则正数k的取值范围是 (1e，+∞) ．
【解答】解：因为对任意的x∈（1，+∞），不等式k⋅(ekx+1)-(1x+1)lnx＞0恒成立，
所以对任意的x∈（1，+∞），不等式kx（ekx+1）＞（1+x）lnx恒成立，
令f（x）＝（1+x）lnx，则有f（ekx）＞f（x）对x∈（1，+∞）恒成立，
又f′（x）＝lnx+1+xx，
令h（x）＝lnx+1+xx，
则h′（x）=1x-1x2=x-1x2，
所以当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）＞h（1）＝2，即f′（x）＞2，
所以f（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以ekx＞x对x∈（1，+∞）上恒成立，
即k＞lnxx对于x∈（1，+∞）上恒成立，
令g（x）=lnxx，则g′（x）=1-lnxx2，
所以当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当1＜x＜e时，g′（x）＞0，则g（x）单调递增，
所以g（x）的最大值为g（e）=1e，
则k＞1e，
所以正实数k的取值范围为（1e，+∞）．
故答案为：（1e，+∞）．
四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题满分70分，其它每道小题满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）某商场为提高服务质量，随机调查了50位男顾客和50位女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或者不满意的评价，得到如表部分列联表：
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
【解答】解：（1）由题意可知，50位男顾客对商场服务满意的有40人，
所以男顾客对该商场服务满意的概率估计为4050=45，
因为50位女顾客对商场服务满意的有35人，
所以女顾客对该商场服务满意的概率估计为3550=710，
（2）由题意可得列联表为
所以K2=100×(40×15-35×10)275×25×50×50=43≈1.333＜3.841，
所以没有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
18．（12分）设数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣n．
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：i=1n 1a2i＜12．
【解答】（1）解：已知数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣n，
则当n＝1时，S1＝2a1﹣1，即a1＝1，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（2an﹣n）﹣（2an﹣1﹣n+1）＝2an﹣2an﹣1﹣1，
即an＝2an﹣1+1，
即an+1＝2（an﹣1+1），
又a1+1＝2，
即数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
即an+1=2n，
即an=2n-1，n∈N+；
（2）证明：由（1）可得：1a2n=122n-1=1(2n+1)(2n-1)=12(12n-1-12n+1)，
则i=1n 1a2i=12[(1-13)+(13-15)+...+(12n-1-12n+1)]=12[1-(15-17)-(19-115)-(12n-1+1-12n-1)-12n+1]-12n+1]＜12，
故命题得证．
19．（12分）已知函数f（x）＝6ex﹣3x2﹣ax．
（1）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为5x﹣y+6＝0，求a；
（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）因为f（x）＝6ex﹣3x2﹣ax，所以f'（x）＝6ex﹣6x﹣a，
因为曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为5x﹣y+6＝0，
所以f'（0）＝5，即6﹣a＝5，解得a＝1．
（2）因为f'（x）＝6ex﹣6x﹣a，又函数f（x）在R上单调递增，
所以f'（x）＝6ex﹣6x﹣a≥0恒成立，
即a≤6ex﹣6x在R上恒成立，
令g（x）＝6ex﹣6x，x∈R，则g'（x）＝6ex﹣6＝6（ex﹣1），所以当x＞0时g'（x）＞0，
当x＜0时g'（x）＜0，
所以g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
所以g（x）在x＝0处取得极小值即最小值，即g（x）min＝g（0）＝6，
所以a≤6，即实数a的取值范围为（﹣∞，6]．
20．（12分）某单位组织员工进行排球娱乐比赛，比赛规则如下：比赛实行五局三胜制，任何一方率先赢下3局比赛时比赛结束，每一局比赛获胜方得2分，失败方得1分，甲，乙两队相互打比赛．已知甲队每一局获胜的概率均为23．
（1）求甲、乙两队3局结束比赛的概率；
（2）记比赛结束时甲队的得分为η，求η的分布列和期望．
【解答】解：（1）根据题意可知，若甲、乙两队3局结束比赛，则甲赢三局或甲输三局，
所以P=23×23×23+13×13×13=13，
故甲、乙两队3局结束比赛的概率为13．
（2）根据题意可知，η的可能取值为3，5，6，7，8，
则P(η=3)=13×13×13=127，
P(η=5)=C31⋅23×(1-23)2×(1-23)=227，
P(η=6)=23×23×23=827，
P(η=7)=C31⋅(1-23)×(23)3+C42⋅(23)2×(1-23)2×13=3281，
P(η=8)=C42⋅(23)2×(1-23)2×23=1681，
所以η的分布列为：
则E(η)=3×127+5×227+6×827+7×3281+8×1681=53581．
21．（12分）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y（单位：g/m3）与样本对原点的距离x（单位：m）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．
（表中ui=1xi，u=19i=19 ui）．
（Ⅰ）利用样本相关系数的知识，判断y＝a+bx与y=c+dx哪一个更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型？
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果回答下列问题：
（i）建立y关于x的回归方程；
（ii）样本对原点的距离x＝20时，金属含量的预报值是多少？
（Ⅲ）已知该金属在距离原点x米时的平均开采成本W（单位：元）与x，y关系为W＝100（y﹣lnx）（1≤x≤100），根据（Ⅱ）的结果回答，x为何值时，开采成本最大？
参考公式：（1）样本相关系数r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2i=1n (yi-y)2
（2）对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线ŷ=b̂x+â的斜率和截距的最小二乘估计分别为b̂=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2=i=1n xiyi-nxyi=1n xi2-nx2，â=y-b̂x．
【解答】解：（I）y＝a+bx的线性相关系数r1=i=19 (xi-x)(yi-y)i=19 (xi-x)2i=19 (yi-y)2=26.1360×14.12≈0.898，
y＝c+dx的线性相关系数r2=i=19 (ui-u)(yi-y)i=19 (ui-u)2i=19 (yi-y)2=-×14.12≈-0.996，
∵|r1|＜|r2|，
∴y＝c+dx更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型．
（II）（i）β̂=i=19 (ui-u)(yi-y)i=19 (ui-u)2=-，
α̂=y-β̂u=97.9﹣（﹣10）×0.21＝100，
∴ŷ=100﹣10u＝100-10x，
∴y关于x的回归方程为ŷ=100-10x．
（ii）当x＝20时，金属含量的预报值为ŷ=100-1020=99.5g/m3．
（III）W＝1000（y﹣lnx）＝1000（100-10x-lnx），
令f（x）＝100-10x-lnx，则f′（x）=10x2-1x=10-xx2，
当1≤x＜10时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当10＜x≤100时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）在x＝10处取得极大值，也是最大值，此时W取得最大值，
故x为10时，开采成本最大．
22．（12分）已知函数f（x）＝ln1x-ax2+x（a＞0）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．
【解答】解：（I）函数f（x）的定义域为（0，﹣∞），
f′（x）=-1x-2ax+1=-2ax2+x-1x
a＞0，设g（x）＝﹣2ax2+x﹣1，Δ＝1﹣8a，
（1）当a≥18，△≤0，g（x）≤0，
∴f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）上递减，
（2）当0＜a＜18时，Δ＞0，f′（x）＝0可得x1=1-1-8a4a，x2=1+1-8a4a，
若f′（x）＞0可得x1＜x＜x2，f（x）为增函数，
若f′（x）＜0，可得0＜x＜x1或x＞x2，f（x）为减函数，
∴函数f（x）的减区间为（0，x1），（x2，+∞）；增区间为（x1，x2）；
（II）由（I）当0＜a＜18，函数f（x）有两个极值点x1，x2，
∴x1+x2=12a，x1x2=12a，
f（x1）+f（x2）＝﹣lnx1﹣ax12+x1﹣lnx2﹣ax22+x2
＝﹣ln（x1x2）﹣a（x12+x22）+（x1+x2）＝﹣ln（x1x2）﹣a（x1+x2）2+2ax1x2+（x1+x2）
＝﹣ln12a-a×14a2+2a×12a=ln（2a）+14a+1＝lna+14a+ln2+1
设h（a）＝lna+14a+ln2+1，
h′（a）=1a-14a2=4a-14a2＜0（0＜a＜18），
所以h（a）在（0，18）上递减，
h（a）＞h（18）＝ln18+14×18+ln2+1＝3﹣2ln2，
所以f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2；满意
不满意
男顾客

10
女顾客

15
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
x
y
u
i=19 (xi-x)2
i=19 (ui-u)2
i=19 (yi-y)2
i=19(xi-x)(yi-y)
i=19(ui-u)(yi-y)
6
97.90
0.21
60
0.14
14.12
26.13
﹣1.40
满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
35
15
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
满意
不满意
合计
男顾客
40
10
50
女顾客
35
15
50
合计
75
25
100
η
3
5
6
7
8
P
127
227
827
3281
1681
x
y
u
i=19 (xi-x)2
i=19 (ui-u)2
i=19 (yi-y)2
i=19(xi-x)(yi-y)
i=19(ui-u)(yi-y)
6
97.90
0.21
60
0.14
14.12
26.13
﹣1.40