2022-2023学年湖南省长沙一中高一（下）期末数学试卷（含答案解析）

这是一份2022-2023学年湖南省长沙一中高一（下）期末数学试卷（含答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知i是虚数单位，复数，则z是（ ）
A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i
2．（5分）已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为2π，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．π
3．（5分）为庆祝中国共产党成立100周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，践行社会主义路线，某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三（ ）
A．5人B．6人C．7人D．8人
4．（5分）用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴，已知四边形的面积为6cm2，则原四边形的面积为（ ）cm2．
A．12B．C．D．3
5．（5分）在△ABC中，a＝6，，A＝30°，则最长边c＝（ ）
A．6B．12C．6或12D．
6．（5分）要得到函数的图象，只需（ ）
A．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
B．将函数图象上所有点的横坐标变为原来倍（纵坐标不变）
C．将函数y＝3sin2x图象上所有点向左平移个单位
D．将函数y＝3sin2x图象上所有点向左平移个单位
7．（5分）如图，△ABC中，，，D为BC中点，E为AD中点，用和表示为，则（ ）
A．3B．﹣3C．D．
8．（5分）一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字．记事件A为“两次记录的数字和为奇数”，事件B为“两次记录的数字和大于4”，事件C为“第一次记录的数字为奇数”，事件D为“第二次记录的数字为偶数”，则（ ）
A．A与D互斥B．C与D对立
C．A与B相互独立D．A与C相互独立
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，选对但不全对的得2分.
（多选）9．（5分）下列有关复数的说法正确的是（ ）
A．若复数z，则z∈R
B．若z0，则z是纯虚数
C．若z是复数，则一定有|z|2＝z2
D．若z1，z2∈C，则
（多选）10．（5分）已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．的相反向量是
B．若，则k＝﹣2
C．在上的投影向量为
D．若，则k＝1
（多选）11．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．ω＝2
B．f（0）＝1
C．在区间上单调递增
D．将f（x）的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数
（多选）12．（5分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有（ ）
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面ABCD所成角是∠SAB
D．AB与BC所成的角等于DC与SC所成的角
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前10名的学生成绩依次是：143，140，144，142，142，145，148，147，147，150，这10名同学数学成绩的60%分位数是 ．
14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝105°，B＝45°，，则c＝ ．
15．（5分）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 ．
16．（5分）已知正四面体ABCD的棱长为，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求的值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．
18．（12分）已知复数z＝1+mi（i是虚数单位，m∈R），且为纯虚数（是z的共轭复数）．
（1）求实数m及|z|；
（2）设复数，且复数z1对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．
19．（12分）新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，按照成绩为[90，100），[100，110），…，[140，150]分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）．
（1）求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于[120，140）的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求[130，140）这组中至少有1人被抽到的概率．
20．（12分）已知向量（1，），（﹣2，0）．
（1）求的坐标以及与之间的夹角；
（2）当t∈[﹣1，1]时，求|t|的取值范围．
21．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A的大小；
（2）若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值．
22．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，∠ACB＝90°，PA⊥底面ABC．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若AC＝BC＝PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值．
2022-2023学年湖南省长沙一中高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知i是虚数单位，复数，则z是（ ）
A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i
【解答】解：1+i．
故选：A．
2．（5分）已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为2π，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．π
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l＝2，
∵圆锥的母线长为2，其侧面积为2π，
∴πrl＝2πr＝2π，解得r＝1，
∴h，
∴该圆锥的体积为：
V．
故选：A．
3．（5分）为庆祝中国共产党成立100周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，践行社会主义路线，某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三（ ）
A．5人B．6人C．7人D．8人
【解答】解：依题意得：
某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，
欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，
则应抽取高三的人数为：．
故选：C．
4．（5分）用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴，已知四边形的面积为6cm2，则原四边形的面积为（ ）cm2．
A．12B．C．D．3
【解答】解：根据题意得∠BAD＝45°，
原四边形为一个直角梯形，且上下底的边长分别和BC、AD相等，
高为AB的2倍，
即四边形ABCD的高的2倍，面积是四边形ABCD的2倍，
∴原平面图形的面积为612cm2．
故选：B．
5．（5分）在△ABC中，a＝6，，A＝30°，则最长边c＝（ ）
A．6B．12C．6或12D．
【解答】解：∵△ABC中，a＝6，，A＝30°，
则由余弦定理可得 a2＝b2+c2﹣2bc•csA，
即 36＝108+c2﹣12c，
解得 c＝6，或 c＝12，
因为c＞a，c＞b，
所以c＝12．
故选：B．
6．（5分）要得到函数的图象，只需（ ）
A．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
B．将函数图象上所有点的横坐标变为原来倍（纵坐标不变）
C．将函数y＝3sin2x图象上所有点向左平移个单位
D．将函数y＝3sin2x图象上所有点向左平移个单位
【解答】解：将y＝3sin（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝3sin（x），故A错误；
将y＝3sin（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数y＝3sin（2x），故B错误；
将函数y＝3sin2x的图象上所有点向左平移个单位，得到函数y＝3sin（2x），故C错误；
将函数y＝3sin2x的图象上所有点向左平移个单位，得到函数y＝3sin（2x），故D正确；
故选：D．
7．（5分）如图，△ABC中，，，D为BC中点，E为AD中点，用和表示为，则（ ）
A．3B．﹣3C．D．
【解答】解：∵D为BC中点，∴（），
∵E为AD中点，∴（），
∵，，
∴，
∵，
∴λ，μ，
∴．
故选：D．
8．（5分）一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字．记事件A为“两次记录的数字和为奇数”，事件B为“两次记录的数字和大于4”，事件C为“第一次记录的数字为奇数”，事件D为“第二次记录的数字为偶数”，则（ ）
A．A与D互斥B．C与D对立
C．A与B相互独立D．A与C相互独立
【解答】解：连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．
其中事件A包括：（1，2），（1，4），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，1），（4，3）．
事件B包括：（1，4），（2，3），（2，4），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），
事件C包括：（1，1），（12），（1，3），（1，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），
事件D包括：（12），（1，4），（2，2），（2，4），（3，2），（3，4），（4，2），（4，4），
对于A：因为事件A与D有相同的基本事件，（1，2），（1，4），（2，3），（3，2），故A与D互斥不成立，故A错误；
对于B：因为事件C与D有相同的基本事件，（1，2），（1，4），（3，2），（3，4），故C与D对立不成立，故B错误；
对于C：因为P（A），P（B），P（AB），因为P（AB）≠P（A）P（B），所以A与B不是相互独立，故C错误；
对于D：因为P（A），P（C），而P（AC），因为两个事件的发生与否互不影响且P（AC）＝P（A）P（C），所以A与C相互独立，故D正确．
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，选对但不全对的得2分.
（多选）9．（5分）下列有关复数的说法正确的是（ ）
A．若复数z，则z∈R
B．若z0，则z是纯虚数
C．若z是复数，则一定有|z|2＝z2
D．若z1，z2∈C，则
【解答】解：对于A，设z＝a+bi，（a，b∈R），则a﹣bi，
若z，则b＝0，∴z∈R，故A正确；
对于B，设z0时，z0，而z不是纯虚数，故B错误；
对于C，当z＝1+i时，则|z|2＝2，zz2＝2im，
∴|z|2≠z2，故C错误；
对于D，令z1＝a+bi（a，b∈R），z2＝m+ni（m，n∈R），
则z1•z2＝ma﹣nb+（mb+na）i，
ma﹣nb﹣（mb+na）i，
∵a﹣bi，m﹣ni，
∴（a﹣bi）（m﹣ni）＝ma﹣nb﹣（mb+na）i，
∴若z1，z2∈C，则，故D正确．
故选：AD．
（多选）10．（5分）已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．的相反向量是
B．若，则k＝﹣2
C．在上的投影向量为
D．若，则k＝1
【解答】解：对于A，由相反向量的定义可知，的相反向量是，故A正确；
对于B，，，
则，
，，
则（﹣1）×4+4k＝0，解得k＝1，故B错误，
对于C，，，
则，，
故在上的投影向量为，故C正确；
对于D，，，，
则﹣k＝4×4，解得k＝﹣16，故D错误．
故选：AC．
（多选）11．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．ω＝2
B．f（0）＝1
C．在区间上单调递增
D．将f（x）的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数
【解答】解：由图象知A＝2，
（），即T＝π，
则π，得ω＝2，故A正确，
此时f（x）＝2sin（2x+φ），
由五点对应法得2×（）+φ＝0，得φ，
此时f（x）＝2sin（2x），
则f（0）＝2sin2，故B错误，
当x≤0时，2x≤0，2x，此时f（x）为增函数，故C正确，
将f（x）的图象向左平移个单位，得到y＝2sin[2（x）]＝2sn（2x）不是偶函数，故D错误，
故选：AC．
（多选）12．（5分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有（ ）
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面ABCD所成角是∠SAB
D．AB与BC所成的角等于DC与SC所成的角
【解答】解：∵SD⊥底面ABCD，∴AC⊥SD，
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵BD∩SD＝D，∴AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，故A正确；
∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；
∵AD是SA在平面ABCD内的射影，∴SA与平面ABCD所成角是∠SAD，故C错误；
∵AB⊥BC，SD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴SD⊥CD，∴∠SCD是锐角，
∴AB与BC所成角为直角，DC与C所成角为锐角，
∴AB与BC所成的角不等于DC与SC所成角，故D错误．
故选：AB．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前10名的学生成绩依次是：143，140，144，142，142，145，148，147，147，150，这10名同学数学成绩的60%分位数是 146 ．
【解答】解：对10名同学的成绩从小到大进行排列：140，142，142，143，144，145，147，147，148，150，
根据10×60%＝6，故取第6项和第7项的数据分别为：145，147；
10名同学数学成绩的60%分位数为：．
故答案为：146．
14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝105°，B＝45°，，则c＝ 10 ．
【解答】解：因为A＝105°，B＝45°，，
所以C＝180°﹣A﹣B＝30°，
由正弦定理，可得，
则c＝10．
故答案为：10．
15．（5分）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 ．
【解答】解：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为6×6＝36种，
而点数和为5的事件为（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4种，
则点数和为5的概率为P．
故答案为：．
16．（5分）已知正四面体ABCD的棱长为，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为 ．
【解答】解：正四面体各面都是全等的等边三角形，
所以a，又正方体的面对角线可构成正四面体，
正四面体棱长为，可得正方体的棱长为1，
所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，
所以外接球的直径为，半径为，所以球O的体积为π×（）3π．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求的值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．
【解答】解：（1）因为函数（ω＞0）的最小正周期为π，
所以π，可得ω＝2，可得f（x）＝2sin（2x），
所以2sin（2）；
（2）由（1）可得f（x）＝2sin（2x），
令2kπ2x2kπ，k∈Z，解得kπx≤kπ，k∈Z，
可得函数f（x）的单调递减区间为：[kπ，kπ]，k∈Z．
18．（12分）已知复数z＝1+mi（i是虚数单位，m∈R），且为纯虚数（是z的共轭复数）．
（1）求实数m及|z|；
（2）设复数，且复数z1对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵z＝1+mi，
∴，
∴，
∵为纯虚数，
∴，解得m＝﹣3，
故z＝1﹣3i，则；
（2）∵i2023＝i4×505+3＝i3＝﹣i，
∴，
∵复数z1所对应的点在第二象限，
∴，解得，
故实数a的取值范围为．
19．（12分）新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，按照成绩为[90，100），[100，110），…，[140，150]分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）．
（1）求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于[120，140）的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求[130，140）这组中至少有1人被抽到的概率．
【解答】解：（1）由频率分布直方图得：
（0.005+0.03+0.03+x+0.01+0.005）×10＝1，
解得x＝0.02．
平均分为95×0.05+105×0.3+115×0.3+125×0.2+135×0.1+145×0.05＝116.5．
（2）由频率分布直方图得到成绩位于[120，130）和[130，140）上的人数比为2，
抽取的6人中成绩位于[120，130）上的有4人，编号为1，2，3，4，
位于[130，140）上的有2人，编号为a，b，
从这6人中任2人的基本事件有12，13，14，1a，1b，23，24，2a，2b，34，3a，3b，4a，4b，ab，共15个，
其中[130，140）这组中至少有1人被抽到的基本事件有1a，1b，2a，2b，3a，3b，4a，4b，ab，共9个，
∴[130，140）这组中至少有1人被抽到的概率为P．
20．（12分）已知向量（1，），（﹣2，0）．
（1）求的坐标以及与之间的夹角；
（2）当t∈[﹣1，1]时，求|t|的取值范围．
【解答】解：（1）∵向量（1，），（﹣2，0），
∴（1，）﹣（﹣2，0）＝（3，），
设与之间的夹角为θ，
∴csθ．
∵θ∈[0，π]，∴向量与的夹角为．
（2）|t|22﹣2t•t22＝4t2+4t+4＝4（t）2+3，
∴当t∈[﹣1，1]时，|a﹣tb|2∈[3，12]，
∴|a﹣tb|的取值范围是[，2]．
21．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A的大小；
（2）若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值．
【解答】解：（1）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
由正弦定理，得，
得，
得，
因为sinB≠0，所以，即．
（2）A的角平分线交BC于D，且AD＝3，
因为，
所以bc＝3b+3c．
因为，即bc≥36（当且仅当b＝c＝6时，等号成立），
所以．故△ABC面积的最小值为．
22．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，∠ACB＝90°，PA⊥底面ABC．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若AC＝BC＝PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABC，∴BC⊥PA．
∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC．
∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，
∵BC⊂平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）解：取PC中点D，连接AD．
∵AC＝PA，∴AD⊥PC，
∵平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，
∴AD⊥平面PBC，
连接DM，则∠AMD就是AM与平面PBC所成角．
设AC＝BC＝PA＝a，则，，∴DM，
∴tan∠AMD，
∴AM与平面PBC所成角的正切值是．