2022-2023学年江苏省南京市九校联合体高一(下)期末数学试卷(含答案解析)
展开1.(5分)i2022的值为( )
A.1B.﹣1C.iD.﹣i
2.(5分)数据0,1,2,3,4,5,6,7,8,9的60百分位数为( )
A.6B.6.5C.7D.5.5
3.(5分)向量与不共线,k,l(k,l∈R),且与共线,则k,l应满足( )
A.k+l=0B.k﹣l=0C.kl+1=0D.kl﹣1=0
4.(5分)一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆,则该圆锥的表面积为( )
A.B.C.D.
5.(5分)已知向量,,若,则( )
A.﹣3B.C.D.3
6.(5分)从长度为2,4,6,8,10的5条线段中任取3条,则这三条线段能构成一个三角形的概率为( )
A.B.C.D.
7.(5分)在△ABC中,下列命题正确的个数是( )
①;
②;
③若()•()=0,则△ABC为等腰三角形;
④•0,则△ABC为锐角三角形.
A.1B.2C.3D.4
8.(5分)已知锐角△ABC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin2B﹣sin2A=sinA•sinC,c=3,则a的取值范围是( )
A.(,2)B.(1,2)C.(1,3)D.(,3)
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
(多选)9.(5分)设复数z=i+2i2,则下列结论正确的是( )
A.z的共轭复数为2﹣i
B.z的虚部为1
C.z在复平面内对应的点位于第二象限
D.
(多选)10.(5分)下列说法中错误的是( )
A.已知,且与的夹角为锐角,则实数
B.向量,不能作为平面内所有向量的一组基底
C.若,则存在唯一实数λ使得
D.非零向量和满足,则与的夹角为60
(多选)11.(5分)抛掷两枚质地均匀的骰子,设事件A=“第一枚出现奇数点”,事件B=“第二枚出现偶数点”,事件C=“两枚骰子出现点数和为8”,事件D=“两枚骰子出现点数和为9”,则( )
A.A与B互斥B.C与D互斥C.A与D独立D.B与C独立
(多选)12.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=45°,c=2,下列说法正确的是( )
A.若有两解
B.若a=3,△ABC有两解
C.若△ABC为锐角三角形,则b的取值范围是
D.若△ABC为钝角三角形,则b的取值范围是
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,
13.(5分)设有两组数据:x1,x2,…xn与y1,y2,…yn,它们之间存在关系式:yi=axi+b(i=1,2…,n,其中a,b非零常数),若这两组数据的方差分别为σx2和σy2,则σx2和σy2之间的关系是 .
14.(5分)边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 .
15.(5分)已知向量,若在方向上的投影向量为,则x的值为 .
16.(5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为12,该纸片,上的正方形ABCD的中心为O,E,F,G,H为圆O上的点,△ABE,△BCF,△CDG,△ADH分别是以AB,BC,CD,DA为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以AB,BC,CD,DA为折痕折起△ABE,△BCF,△CDG,△ADH使得点E,F,G,H重合,得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时,该四棱锥的外接球的表面积为 .
四、解答题:本题共6小题,其中第17题10分,其余各题为12分,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)设ωi
(1)求证:1+ω+ω2=0;
(2)计算:(1+ω﹣ω2)(1﹣ω+ω2).
18.(12分)已知,,,β是第三象限角.
(Ⅰ)求tan2α的值;
(Ⅱ)求cs(α+β)的值.
19.(12分)为测量地形不规则的一个区域的径长AB,采用间接测量的方法,如图,阴影部分为不规则地形,利用激光仪器和反光规律得到∠ACB=∠DCB,∠ACD为钝角,AC=5,AD=7,.
(1)求sin∠ACB的值;
(2)若测得∠BDC=∠BCD,求待测径长AB.
20.(12分)社会的进步与发展,关键在于人才,引进高素质人才对社会的发展具有重大作用.某市进行人才引进,需要进行笔试和面试,一共有200名应聘者参加笔试,他们的笔试成绩都在[40,100]内,将笔试成绩按照[40,50),[50,60),…,[90,100]分组,得到如图所示频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数(每组数据以区间中点值为代表);
(3)若计划面试150人,请估计参加面试的最低分数线.
21.(12分)如图,三棱锥A﹣BCD中,△ABC为等边三角形,且面ABC⊥面BCD,CD⊥BC.
(1)求证:CD⊥AB;
(2)当AD与平面BCD所成角为45°时,求二面角C﹣AD﹣B的余弦值.
22.(12分)设△ABC是边长为1的正三角形,点P1,P2,P3四等分线段BC(如图所示).
(1)求的值;
(2)Q为线段AP1上一点,若,求实数m的值;
(3)P为边BC上一动点,当取最小值时,求cs∠PAB的值.
2022-2023学年江苏省南京市九校联合体高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)i2022的值为( )
A.1B.﹣1C.iD.﹣i
【解答】解:∵i2022=i2=﹣1.
故选:B.
2.(5分)数据0,1,2,3,4,5,6,7,8,9的60百分位数为( )
A.6B.6.5C.7D.5.5
【解答】解:由题意可知,共有10个数字,则第60百分位数的位置为10×60%=6,即在第6位和第7位上的数字和的平均数.
故选:D.
3.(5分)向量与不共线,k,l(k,l∈R),且与共线,则k,l应满足( )
A.k+l=0B.k﹣l=0C.kl+1=0D.kl﹣1=0
【解答】解:∵不共线,∴,且与共线,
∴存在实数λ,使,
∴,∴kl﹣1=0.
故选:D.
4.(5分)一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆,则该圆锥的表面积为( )
A.B.C.D.
【解答】解:依题意,设圆锥底面半径为r,高为h,母线长为l=1,
则l2=r2+h2=1,
底面周长为2πr,
则r,
∴h,
∴该圆锥的表面积为S=πr2+πrl.
故选:A.
5.(5分)已知向量,,若,则( )
A.﹣3B.C.D.3
【解答】解:因为向量,,若,
所以﹣csθ﹣2sinθ=0,可得tanθ,
则.
故选:C.
6.(5分)从长度为2,4,6,8,10的5条线段中任取3条,则这三条线段能构成一个三角形的概率为( )
A.B.C.D.
【解答】解:从长度为2,4,6,8,10的5条线段中任取3条,共有种取法,
而取出的三条线段能构成一个三角形的情况有4,6,8和4,8,10以及6,8,10,共3种,
故这三条线段能构成一个三角形的概率为.
故选:B.
7.(5分)在△ABC中,下列命题正确的个数是( )
①;
②;
③若()•()=0,则△ABC为等腰三角形;
④•0,则△ABC为锐角三角形.
A.1B.2C.3D.4
【解答】解:①;所以①不正确;
②;满足向量的运算法则,所以②正确;
③若()•()=0,可得,
所以,则△ABC为等腰三角形;所以③正确;
④•0,可知A为锐角,
但是则△ABC不一定是锐角三角形.所以④不正确.
故选:B.
8.(5分)已知锐角△ABC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin2B﹣sin2A=sinA•sinC,c=3,则a的取值范围是( )
A.(,2)B.(1,2)C.(1,3)D.(,3)
【解答】解:∵sin2B﹣sin2A=sinA•sinC,
∴由正弦定理可得b2﹣a2=ac,
∵由余弦定理b2=a2+c2﹣2accsB,可得a2+c2﹣2accsB=a2+ac,
又c=3,
∴可得a,
∵锐角△ABC中,B∈(0,),
所以csB∈(0,1),
所以a∈(1,3),
因为csC0,
所以a2+b2>c2,又b2﹣a2=ac,
所以2a2+ac﹣c2>0,
所以2a2+3a﹣9>0,即(2a﹣3)(a+3)>0,
解得a
所以a∈(,3),
故选:D.
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
(多选)9.(5分)设复数z=i+2i2,则下列结论正确的是( )
A.z的共轭复数为2﹣i
B.z的虚部为1
C.z在复平面内对应的点位于第二象限
D.
【解答】解:z=i+2i2=﹣2+i,
对于A,,故A错误,
对于B,z的虚部为1,故B正确,
对于C,z在复平面内对应的点(﹣2,1)位于第二象限,故C正确,
对于D,z+1=﹣2+i+1=﹣1+i,
则,故D正确.
故选:BCD.
(多选)10.(5分)下列说法中错误的是( )
A.已知,且与的夹角为锐角,则实数
B.向量,不能作为平面内所有向量的一组基底
C.若,则存在唯一实数λ使得
D.非零向量和满足,则与的夹角为60
【解答】解:A.,∵与的夹角为锐角,∴且与不共线,
∴,解得,且λ≠0,
∴,∴A错误;
B.∵,∴与共线,不能作为基底,B正确;
C.若,且时,才存在唯一的λ,使得,C错误;
D.如图,作,则,
∵,∴△OAB为等边三角形,
∴与的夹角为30°,D错误.
故选:ACD.
(多选)11.(5分)抛掷两枚质地均匀的骰子,设事件A=“第一枚出现奇数点”,事件B=“第二枚出现偶数点”,事件C=“两枚骰子出现点数和为8”,事件D=“两枚骰子出现点数和为9”,则( )
A.A与B互斥B.C与D互斥C.A与D独立D.B与C独立
【解答】解:对于A,记(x,y)表示事件“第一枚点数为x,第二枚点数为y”,
则事件A包含事件(1,2),事件B也包含事件(1,2),
所以A∩B≠∅,故A与B不互斥,故A错误;
对于B,事件C包含的基本事件有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)共5件,事件D包含的基本事件有(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)共4件,故C∩D=∅,即C与D互斥,故B正确;
对于C,总的基本事件有6×6=36件,事件A的基本事件有3×6=18件,故,
由选项B知,
而事件AD包含的基本事件有(3,6),(5,4)共2件,故,
所以P(AD)=P(A)P(D),故A与D独立,故C正确;
对于D,事件B的基本事件有6×3=18件,故,由选项B知,
而事件BC包含的基本事件有(2,6),(4,4),(6,2)共3件,故,
所以,故B与C不独立,故D错误.
故选:BC.
(多选)12.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=45°,c=2,下列说法正确的是( )
A.若有两解
B.若a=3,△ABC有两解
C.若△ABC为锐角三角形,则b的取值范围是
D.若△ABC为钝角三角形,则b的取值范围是
【解答】解:由A=45°,c=2,过点B作BD⊥AC,垂足为D.
BD=csinA=2×sin45°,
由a满足2,∴此时△ABC有两解.
a=3≥2时,△ABC只有一解.
若△ABC为钝角三角形,则C或B为钝角,则0<b或b>2.
若△ABC为直角三角形,则C或B为直角,则b,b=2.
若△ABC为锐角三角形,则b<2.
综上可得:只有AC正确.
故选:AC.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,
13.(5分)设有两组数据:x1,x2,…xn与y1,y2,…yn,它们之间存在关系式:yi=axi+b(i=1,2…,n,其中a,b非零常数),若这两组数据的方差分别为σx2和σy2,则σx2和σy2之间的关系是 σy2=a2σx2 .
【解答】解:∵两组数据:x1,x2,…xn与y1,y2,…yn,它们之间存在关系式:yi=axi+b
即第二组数据是第一组数据的a倍还要整体加上b,
在一列数字上同时加上一个数字方差不变,而同时乘以一个数字方差要乘以这个数字的平方,
∴σx2和σy2之间的关系是σy2=a2σx2,
故答案为:σy2=a2σx2,
14.(5分)边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 .
【解答】解:边长为a=5、b=7、c=8的三角形ABC中,
csB,
B∈(0,π),
∴B,
∴△ABC的最大角C与最小角A的和为π﹣B.
故答案为:.
15.(5分)已知向量,若在方向上的投影向量为,则x的值为 .
【解答】解:∵,
∴•2x+2,||,
∴在方向上的投影向量为•,
∵在方向上的投影向量为,
∴1,∴x.
故答案为:.
16.(5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为12,该纸片,上的正方形ABCD的中心为O,E,F,G,H为圆O上的点,△ABE,△BCF,△CDG,△ADH分别是以AB,BC,CD,DA为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以AB,BC,CD,DA为折痕折起△ABE,△BCF,△CDG,△ADH使得点E,F,G,H重合,得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时,该四棱锥的外接球的表面积为 .
【解答】解:连接OE交AB于点I,设E,F,G,H重合于点P,正方形的边长为x(x>0)cm,则,
因为该四棱维的侧面积是底面积的2倍,
所以,解得x=4.
设该四棱锥的外接球的球心为Q,半径为R,如图,
则 ,
所以 ,解得,
所以外接球的表面积为.
故答案为:.
四、解答题:本题共6小题,其中第17题10分,其余各题为12分,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)设ωi
(1)求证:1+ω+ω2=0;
(2)计算:(1+ω﹣ω2)(1﹣ω+ω2).
【解答】(1)证明:∵ωi,
∴ω2,
∴1+ω+ω2=1+(i)+()=0;
(2)解:(1+ω﹣ω2)(1﹣ω+ω2)=[1i﹣()][1﹣(i))+()]
=1﹣2
=﹣1.
18.(12分)已知,,,β是第三象限角.
(Ⅰ)求tan2α的值;
(Ⅱ)求cs(α+β)的值.
【解答】解:(Ⅰ)∵,,∴csα,
∴tanα,∴tan2α.
(Ⅱ)∵,β是第三象限角,∴sinβ,
故cs(α+β)=csαcsβ﹣sinαsinβ.
19.(12分)为测量地形不规则的一个区域的径长AB,采用间接测量的方法,如图,阴影部分为不规则地形,利用激光仪器和反光规律得到∠ACB=∠DCB,∠ACD为钝角,AC=5,AD=7,.
(1)求sin∠ACB的值;
(2)若测得∠BDC=∠BCD,求待测径长AB.
【解答】解:(1)在△ACD中,由正弦定理可得:,
则,因为∠ACB=∠DCB,因为∠ACD为钝角,
所以,所以.
(2)在△ACD,由余弦定理可得:,
解得:CD=4或CD=﹣6(舍去),
因为∠BDC=∠BCD,所以BD=BC,
在△BCD,,
由余弦定理可得:,
解得:,
,,,,
cs∠ADB=cs(∠BDC﹣∠ADC)=cs∠BDCcs∠ADC+sin∠BDCsin∠ADC
,
在△ABD,由余弦定理可得:
,
故.
20.(12分)社会的进步与发展,关键在于人才,引进高素质人才对社会的发展具有重大作用.某市进行人才引进,需要进行笔试和面试,一共有200名应聘者参加笔试,他们的笔试成绩都在[40,100]内,将笔试成绩按照[40,50),[50,60),…,[90,100]分组,得到如图所示频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数(每组数据以区间中点值为代表);
(3)若计划面试150人,请估计参加面试的最低分数线.
【解答】解:(1)由频率分布直方图的性质得:
(0.005+0.010+a+0.030+a+0.015)×10=1,
解得a=0.020.
(2)应聘者笔试成绩的众数为:75,
应聘者笔试成绩的平均数为:
45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.15=74.5.
(3)由频率分布直方图可知:
[90,100]中有:200×0.15=30,
[80,90)中有:200×0.2=40,
[70,80)中有:200×0.3=60,
[60,70)中有:200×0.2=40,
设分数线定为x,则x∈[60,70),
(70﹣x)×0.02×200+30+40+60=150,
解得x=65.
故分数线为65.
21.(12分)如图,三棱锥A﹣BCD中,△ABC为等边三角形,且面ABC⊥面BCD,CD⊥BC.
(1)求证:CD⊥AB;
(2)当AD与平面BCD所成角为45°时,求二面角C﹣AD﹣B的余弦值.
【解答】解:(1)在三棱锥A﹣BCD中,面ABC⊥面BCD,面ABC∩面BCD=BC,又CD⊥BC,CD⊂面BCD,
∴CD⊥面ABC,又∵AB⊂面ABC,
∴CD⊥AB;
(2)取BC中点F,连接AF,DF,如图,
所以AF⊥BC,面ABC⊥面BCD,面ABC∩面BCD=BC,
因为AF⊂平面ABC,于是得AF⊥平面BCD,∠ADF是AD与平面BCD所成角,即∠ADF=45°,
令BC=2,则DF=AF,因CD⊥BC,即有DC,由(1)知DC⊥AC,则有AD=BD,
过C作CO⊥AD于O,在平面ABD内过O作OE⊥AD交BD于点E,从而得∠COE是二面角C﹣AD﹣B的平面角,
Rt△ACD中,CO,OD,
△ABD中,由余弦定理得cs∠EDO.
∴DE,OE,显然E是Rt△BCD斜边中点,则CEBD,
△COE中,由余弦定理得cs∠COE.
∴二面角C﹣AD﹣B的余弦值为.
22.(12分)设△ABC是边长为1的正三角形,点P1,P2,P3四等分线段BC(如图所示).
(1)求的值;
(2)Q为线段AP1上一点,若,求实数m的值;
(3)P为边BC上一动点,当取最小值时,求cs∠PAB的值.
【解答】解:(1)原式,
在△ABP1中,由余弦定理,得,
所以;
(2)易知,即,即,
因为Q为线段AP1上一点,
设,
所以;
(3)①当P在线段BP2上时(不含P2),此时0,
②当P在线段P2C上时(不含P2),0,
要使当最小,则P必在线段P2C上,
设,由于AP2⊥BC,则||2•(﹣||)=x(x)=x2x
当时,即当P为P3时,最小,此时 由余弦定理可求得
2022-2023学年江苏省南京市九校联合体高一(下)期末数学试卷: 这是一份2022-2023学年江苏省南京市九校联合体高一(下)期末数学试卷,共17页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
数学:江苏省南京市九校联合体2022-2023学年高一下学期期末联考试题(解析版): 这是一份数学:江苏省南京市九校联合体2022-2023学年高一下学期期末联考试题(解析版),共14页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市六校联合体高一(下)调研数学试卷(7月份)(含解析): 这是一份2022-2023学年江苏省南京市六校联合体高一(下)调研数学试卷(7月份)(含解析),共19页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。