2022-2023学年浙江省绍兴市高一（下）期末数学试卷（含答案解析）

这是一份2022-2023学年浙江省绍兴市高一（下）期末数学试卷（含答案解析），共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）已知复数z在复平面内对应的点是（0，1），则（ ）
A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i
2．（3分）某组数据33、36、38、39、42、46、49、49、51、56的第80百分位数为（ ）
A．46B．49C．50D．51
3．（3分）已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（ ）
A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若m∥β，m∥α，则α∥β
C．若m⊥n，n⊂β，则m⊥βD．若m∥α，m⊥β，则α⊥β
5．（3分）抛掷三枚质地均匀的硬币，有如下随机事件：Ai＝“正面向上的硬币数为i”，其中i＝0，1，2，3，B＝“恰有两枚硬币抛掷结果相同”，则下列说法正确的是（ ）
A．A0与B相互独立B．A3与B对立
C．P（A2）＝2P（B）D．A1+A2＝B
6．（3分）轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥P﹣ABC中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧的中点，则异面直线PB与AC所成角的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
7．（3分）已知函数的部分图象如图所示，x1，x2是f（x）的两个零点，若x2＝4x1，则下列为定值的量是（ ）
A．φB．ωC．D．ω+φ
8．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，P是棱A1D1上的一个动点，若，，则三棱锥P﹣ABD外接球的表面积是（ ）
A．144πB．36πC．9πD．6π
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）
（多选）9．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．sin26°﹣cs26°＝cs12°
B．
C．4sin15°sin75°＝1
D．
（多选）10．（3分）5月21日，2023世界珍珠发展论坛在浙江诸暨举办，大会见证了诸暨珍珠开拓创新、追求卓越的坚实步伐．据统计，今年以来，诸暨珍珠线上线下销售总额达250亿元，已超去年全年的60%，真正实现了“生于乡间小湖，远销五洲四海”．某珍珠商户销售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度营收实现翻番，现统计这四款商品的营收占比，得到如下饼图．同比第一季度，下列说法正确的是（ ）
A．今年商品A的营收是去年的4倍
B．今年商品B的营收是去年的2倍
C．今年商品C的营收比去年减少
D．今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变
（多选）11．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，将△ABE沿BE折起，使点A到达点A′的位置，且二面角A′﹣BE﹣C为90°．若M、N分别为A′B、CD的中点，则（ ）
A．BE⊥A′N
B．MN∥平面A′DE
C．平面A′BE⊥平面A′DE
D．点C到平面A′DE的距离为
（多选）12．（3分）在△ABC中，D为BC的中点，点E满足．若∠BAE＝∠DAE＝20°，则（ ）
A．B．
C．∠ABC＝20°D．∠DAC＝70°
三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）函数f（x）＝sin2x的最小正周期为 ．
14．（3分）某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离．已知甲在某处静止不动，乙在点A时，显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点A点走到点B，当乙在点B时，显示与甲之间的距离为600米，若A，B两点间的距离为500米，则乙从点A走到点B的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为 米．
15．（3分）已知一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为5，且满足x1+x2+x3+x4＝4x5，则样本数据x1，x2，x3，x4，x5+5的方差为 ．
16．（3分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB＝BB1＝BC＝1，P、Q分别为线段AC1、AA1的动点，则△B1PQ周长的最小值是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）记、、为平面单位向量，且．
（1）求；
（2）若，求．
18．（8分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为3，O1是上底面A1B1C1D1的一个动点．
（1）求三棱锥A﹣O1BC的体积；
（2）当O1是上底面A1B1C1D1的中心时，求AO1与平面ABCD所成角的余弦值．
19．（8分）为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AD＝1，点E为BC上一点，且AE⊥DE，过点D作DF⊥AB于点F，设∠BAE＝α，∠DAE＝β．
（1）利用图中边长关系DF＝BE+CE，证明：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（2）若，求sin2α+cs2β．
20．（8分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障．为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如图频率分布直方图．
（1）求a的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1）
（2）乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率．
21．（10分）如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，BC＝CD＝2．
（1）已知AB＝2，且AC＝AD，
（i）当时，求△ABC的面积；
（ii）若，求∠ABC．
（2）已知，且，求AC的最大值．
22．（10分）如图，在正三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB＝2A1B1＝2AA1，D，E分别为AA1，B1C1的中点．
（1）证明：DE⊥平面BB1C1C；
（2）设P，Q分别为棱AB，BC上的点，且C1，D，P，Q均在平面α上，若△PBQ与△ABC的面积比为3：8，
（i）证明：BPBA；
（ii）求α与平面ABB1A1所成角的正弦值．
2022-2023学年浙江省绍兴市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）已知复数z在复平面内对应的点是（0，1），则（ ）
A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i
【解答】解：∵复数z在复平面内对应的点是（0，1），∴z＝i，
∴1﹣i．
故选：B．
2．（3分）某组数据33、36、38、39、42、46、49、49、51、56的第80百分位数为（ ）
A．46B．49C．50D．51
【解答】解：数据33、36、38、39、42、46、49、49、51、56共10个数，
因为10×0.8＝8，因此，该组数据的第80百分位数为．
故选：C．
3．（3分）已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：向量，，
对于A，，，A错误；
对于B，，，B错误；
对于C，由于2×（﹣1）≠2×1，即与不共线，C错误；
对于D，，因此，D正确．
故选：D．
4．（3分）已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（ ）
A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若m∥β，m∥α，则α∥β
C．若m⊥n，n⊂β，则m⊥βD．若m∥α，m⊥β，则α⊥β
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，A错误；
对于B，平行于同一直线的两个平面可以平行，也可以相交，B错误；
对于C，由直线与平面垂直的判断方法可得C错误；
对于D，若m∥α，则平面α存在直线l，满足l∥m，由于m⊥β，则有l⊥β，必有α⊥β，故D正确．
故选：D．
5．（3分）抛掷三枚质地均匀的硬币，有如下随机事件：Ai＝“正面向上的硬币数为i”，其中i＝0，1，2，3，B＝“恰有两枚硬币抛掷结果相同”，则下列说法正确的是（ ）
A．A0与B相互独立B．A3与B对立
C．P（A2）＝2P（B）D．A1+A2＝B
【解答】解：总的可能有：
（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正反），（反，反，正），（反，反，反），
故，，，，
而P（A0∪B）＝0，，故选项A错误；
，故选项B错误；
2P（A2）＝P（B），故选项C错误；
A1＝{（正，反，反），（反，正反），（反，反，正）}，A2＝{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}，
B＝{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正反），（反，反，正）}，
所以A1+A2＝B，故选项D正确．
故选：D．
6．（3分）轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥P﹣ABC中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧的中点，则异面直线PB与AC所成角的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【解答】解：在直角圆锥P﹣ABC中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB的中点，∠ACB＝90°，
则，
过点B作BD∥AC交底面圆于点D，连接PD，AD，如图，
则∠PBD是异面直线PB与AC所成角或其补角，
显然，即△PBD是正三角形，
所以∠PBD＝60°，
即异面直线PB与AC所成角的大小为60°．
故选：C．
7．（3分）已知函数的部分图象如图所示，x1，x2是f（x）的两个零点，若x2＝4x1，则下列为定值的量是（ ）
A．φB．ωC．D．ω+φ
【解答】解：函数f（x）＝cs（ωx+φ），ω＞0的周期为，
令f（x）＝0，可得，k∈Z，
所以，即，k∈Z，
又，
所以，，，
又x2＝4x1，所以，
所以．
故选：A．
8．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，P是棱A1D1上的一个动点，若，，则三棱锥P﹣ABD外接球的表面积是（ ）
A．144πB．36πC．9πD．6π
【解答】解：令长方体ABCD﹣A1B1C1D1的高为h，PD1＝x，于是，解得x＝h＝1，
在△PAD中，∠PDA＝∠DPD1＝45°，则△PAD外接圆半径，显然AB⊥平面PAD，
因此三棱锥P﹣ABD外接球的球心O在线段AB的中垂面上，球心O到平面PAD的距离为，
则球半径，所以三棱锥P﹣ABD外接球的表面积S＝4πR2＝36π．
故选：B．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）
（多选）9．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．sin26°﹣cs26°＝cs12°
B．
C．4sin15°sin75°＝1
D．
【解答】解：对于A，sin26°﹣cs26°＝﹣（cs26°﹣sin26°）＝﹣cs12°，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，4sin15°sin75°＝4sin15°cs15°＝2sin30°＝1，故C正确；
对于D，，故D正确．
故选：BCD．
（多选）10．（3分）5月21日，2023世界珍珠发展论坛在浙江诸暨举办，大会见证了诸暨珍珠开拓创新、追求卓越的坚实步伐．据统计，今年以来，诸暨珍珠线上线下销售总额达250亿元，已超去年全年的60%，真正实现了“生于乡间小湖，远销五洲四海”．某珍珠商户销售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度营收实现翻番，现统计这四款商品的营收占比，得到如下饼图．同比第一季度，下列说法正确的是（ ）
A．今年商品A的营收是去年的4倍
B．今年商品B的营收是去年的2倍
C．今年商品C的营收比去年减少
D．今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变
【解答】解：设去年第一季度营收为a亿元，则今年第一季度营收为2a亿元，
由扇形图可得：
A款珍珠商品去年第一季度营收为0.1a亿元，则今年第一季度营收为0.4a亿元，A正确；
B款珍珠商品去年第一季度营收为0.2a亿元，则今年第一季度营收为0.4a亿元，B正确；
C款珍珠商品去年第一季度营收为0.5a亿元，则今年第一季度营收为0.8a亿元，C错误；
因为商品B，D今年第一季度营收的总和占总营收的比例为40%，
商品B，D去年第一季度营收的总和占总营收的比例为40%，
所以今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变，D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，将△ABE沿BE折起，使点A到达点A′的位置，且二面角A′﹣BE﹣C为90°．若M、N分别为A′B、CD的中点，则（ ）
A．BE⊥A′N
B．MN∥平面A′DE
C．平面A′BE⊥平面A′DE
D．点C到平面A′DE的距离为
【解答】解：连接AN交BE于点O，连接A′O，取BE的中点F，连接FM、FN，
对于A选项，在正方形ABCD中，因为AB＝DA，AE＝DN，∠BAE＝∠ADN＝90°，
所以，Rt△ABE≌Rt△DAN，则∠ABE＝∠DAN，
所以，∠DAN+∠AEB＝∠ABE+∠AEB＝90°，则∠AOE＝90°，即BE⊥AN，
翻折后，则有BE⊥A′O，BE⊥ON，
又因为A′O∩ON＝O，A′O、ON⊂平面A′ON，所以，BE⊥平面A′ON，
因为A′N⊂平面A′ON，所以，BE⊥A′N，A对；
对于B选项，因为M、F分别为A′B、BE的中点，所以，MF∥A′E，
因为MF⊄平面A′DE，A′E⊂平面A′DE，所以，MF∥平面A′DE，
因为DE∥BC，BC＝2DE，则四边形BCDE为梯形，
又因为F、N分别为BE、CD的中点，所以，FN∥DE，
因为FN⊄平面A′DE，DE⊂平面A′DE，则FN∥平面A′DE，
因为MF∩FN＝F，MF、FN⊂平面FMN，则平面FMN∥平面A′DE，
因为MN⊂平面FMN，故MN∥平面A′DE，B对；
对于C选项，因为AO⊥BE，且AB＝2，AE＝1，∠BAE＝90°，
所以，，所以，，
则，
在Rt△ADN中，，
所以，，
因为平面A′BE⊥平面BCDE，平面A′BE∩平面BCDE＝BE，A′O⊥BE，
A′O⊂平面A′BE，所以，A′O⊥平面BCDE，
因为OD⊂平面BCDE，所以，A′O⊥OD，
所以，，且，
翻折前，AB⊥AE，翻折后，A′B⊥A′E，
若平面A′BE⊥平面A′DE，且平面A′BE∩平面A′DE＝A′E，A′B⊂平面A′BE，
所以，A′B⊥平面A′DE，
因为A′D⊂平面A′DE，则A′B⊥A′D，
事实上，A′B＝2，，，则A′B2+A′D2≠BD2，
即A′B、A′D不垂直，假设不成立，故平面A′BE与平面A′DE不垂直，C错；
对于D选项，因为，且A′O⊥平面BCDE，
所以，，
在△A′DE中，A′E＝DE＝1，，
由余弦定理可得，
所以，，
所以，，
设点C到平面A′ED的距离为d，由VC﹣A′ED＝VA′﹣CDE，即，
所以，，D对．
故选：ABD．
（多选）12．（3分）在△ABC中，D为BC的中点，点E满足．若∠BAE＝∠DAE＝20°，则（ ）
A．B．
C．∠ABC＝20°D．∠DAC＝70°
【解答】解：在△ABC中，D为BC的中点，，∠BAE＝∠DAE＝20°，如图，
对于A，，有，A正确；
对于B，，B正确；
对于D，过C作CF∥AD交BA的延长线于F，由D为BC的中点，得AD是△BCF的中位线，
则CF＝2AD＝AB＝AF，于是，D正确；
对于C，由选项D知，∠EAC＝90°，假定∠ABC＝20°，则∠AEC＝40°，，
，与矛盾，因此∠ABC≠20°，C错误．
故选：ABD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）函数f（x）＝sin2x的最小正周期为 π ．
【解答】解：函数f（x）＝sin2x的最小正周期为π，
故答案为：π．
14．（3分）某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离．已知甲在某处静止不动，乙在点A时，显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点A点走到点B，当乙在点B时，显示与甲之间的距离为600米，若A，B两点间的距离为500米，则乙从点A走到点B的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为 米．
【解答】解：令甲的位置为点C，如图，在△ABC中，AC＝400，AB＝500，BC＝600，
由余弦定理得，，
过C作CD⊥AB于D，所以所求距离的最小值为（米）．
故答案为：．
15．（3分）已知一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为5，且满足x1+x2+x3+x4＝4x5，则样本数据x1，x2，x3，x4，x5+5的方差为 9 ．
【解答】解：由题意可得，数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为，
方差，
又因为，
数据x1，x2，x3，x4，x5+5的平均数，
所以方差


＝9．
故答案为：9．
16．（3分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB＝BB1＝BC＝1，P、Q分别为线段AC1、AA1的动点，则△B1PQ周长的最小值是 ．
【解答】解：如下图所示：
将面AB1C1、面AA1C1沿着AC1延展为一个平面，
将面AA1B1、面AA1C1沿着AA1延展为一个平面，连接BB1′，
此时，线段BB1′的长即为△B1PQ周长的最小值，
则，AB＝1，
由于，B1C1＝CC1，AC1＝AC1，则△AB1C1≌△ACC1，
延展后，则四边形AA1C1B1为矩形，
因为AA1＝A1B1′，AA1⊥A1B1′，则△AA1B1′为等腰直角三角形，所以∠A1AB1'＝45°，
延展后，则∠B1AB1'＝135°，
由余弦定理可得B1B1'．
故答案为：．
四、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）记、、为平面单位向量，且．
（1）求；
（2）若，求．
【解答】解：（1）由已知，且，
所以，，则，
所以，，
因为，所以，；
（2）由已知可得，且，
所以．
18．（8分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为3，O1是上底面A1B1C1D1的一个动点．
（1）求三棱锥A﹣O1BC的体积；
（2）当O1是上底面A1B1C1D1的中心时，求AO1与平面ABCD所成角的余弦值．
【解答】解：（1）如图所示，根据题意得：
．
（2）如图所示，过点O1做平面ABCD的垂线，垂足为G，易知G为AC中点，
故∠O1AC为AO1与平面ABCD所成线面角，
又，
所以AO1与平面ABCD所成角的余弦值为：．
19．（8分）为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AD＝1，点E为BC上一点，且AE⊥DE，过点D作DF⊥AB于点F，设∠BAE＝α，∠DAE＝β．
（1）利用图中边长关系DF＝BE+CE，证明：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（2）若，求sin2α+cs2β．
【解答】（1）证明：在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝β，AD＝1，则DE＝sinβ，AE＝csβ，
在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，∠DAF＝α+β，AD＝1，则DF＝sin（α+β），
在Rt△ABE，Rt△ECD中，∠B＝∠C＝90°，∠CED＝∠BAE＝α，
则BE＝sinαcsβ，CE＝csαsinβ，
依题意，四边形BCDF是矩形，则DF＝BC＝BE+CE，
所以sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ．
（2）解：由及（1）知，，
则tanα＝tanβ，而α，β为锐角，即有α＝β，
，又2α＝α+β＝∠BAD是锐角，于是，
所以．
20．（8分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障．为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如图频率分布直方图．
（1）求a的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1）
（2）乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可知10（2a+0.025+0.045+0.020）＝1，解得a＝0.005，
，
众数为70，
因为前2组的频率和为10×0.005+10×0.025＝0.3＜0.5，前3组的频率和为10×0.005+10×0.025+10×0.045＝0.75＞0.5，
所以中位数在第3组，设中位数为m，
则0.3+0.045（m﹣65）＝0.5，解得m≈69.4，
所以中位数为69.4．
（2）记3名男生分别为A，B，C，记2名女生分别为a，b，则所有抽签的情况有：
未中签AB，中签Cab；未中签AC，中签Bab；未中签Aa，中签BCb；
未中签Ab，中签BCa；未中签BC，中签Aab；未中签Ba，中签ACb；
未中签Bb，中签ACa；未中签Ca，中签ABb；未中签Cb，中签ABa；
未中签ab，中签ABC，共有10种情况，
其中中签者中男生比女生多的有：未中签Aa，中签BCb；未中签Ab，中签BCa；
未中签Ba，中签ACb；未中签Bb，中签ACa；未中签Ca，中签ABb；
未中签Cb，中签ABa；未中签ab，中签ABC，共7种，
所以中签者中男生比女生多的概率为．
21．（10分）如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，BC＝CD＝2．
（1）已知AB＝2，且AC＝AD，
（i）当时，求△ABC的面积；
（ii）若，求∠ABC．
（2）已知，且，求AC的最大值．
【解答】解：（1）（i）设AC＝x，在△ACD中，由余弦定理得，解得，
在△ABC中，AB＝BC＝2，则底边AC上的高，
所以△ABC的面积．
（ii）设∠ADC＝θ，依题意，，
则AD＝AC＝2ABcs∠BAC＝4sinθ，CD＝2ADcs∠ADC＝8sinθcsθ＝2，即，而，
所以．
（2）连接BD，△ABD中，，，
由余弦定理得，
则BD＝AB，，设，在△BCD中，BC＝CD＝2，
于是AB＝BD＝2BCcs∠CBD＝4csα，在△ABC中，，
由余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcs∠ABC，
则
，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，，
所以AC的最大值是．
22．（10分）如图，在正三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB＝2A1B1＝2AA1，D，E分别为AA1，B1C1的中点．
（1）证明：DE⊥平面BB1C1C；
（2）设P，Q分别为棱AB，BC上的点，且C1，D，P，Q均在平面α上，若△PBQ与△ABC的面积比为3：8，
（i）证明：BPBA；
（ii）求α与平面ABB1A1所成角的正弦值．
【解答】解：（1）延长AA1，BB1，CC1交于点S，
因为AB＝2A1B1＝2AA1，
所以三棱锥S﹣ABC为正四面体，
连接SE并延长，分别交BC，BC1于点F，G，则G为等边△ABC的中心，
连接AG，则AG⊥面SBC，
所以，
所以DE∥AG，
所以DE⊥面SBC．
（2）（i）证明：延长C1D，CA交于点H，
若C1，D，P，Q均在平面α上，则H，P，Q共线，
设AB＝2A1B1＝2AA1＝2，则AH＝1，
过点A作AM∥BC，交PQ于点M，
设BQ＝k，则CQ＝2﹣k，AM，，
所以，，
所以S△PBQ＝S△ABC••，
所以•，
所以k＝1，
所以点Q与点F重合，均为BC的中点，
所以，即BPAB．
（ii）连接DP，C1Q，
由题知DP∥C1Q，且DP，C1Q＝1，BC1＝HQ，
连接AB1交DP于点N，
易知B1N⊥DP，且B1NAB1，DP∥C1Q，
VB﹣DPQ＝VQ﹣BDPVQ﹣ABSVS﹣ABC，
HC1＝HF，
所以，
所以dQ﹣DP，
所以S△DPQ••，
所以••，
所以，
设平面α与平面ABB1A1所成角为θ，
所以sinθ，
所以平面α与平面ABB1A1所成角的正弦值为．