湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学模拟试卷

这是一份湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学模拟试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
2．下列函数中，表示同一函数的是（ ）
A．B．
C．D．
3．若复数为纯虚数，其中，为虚数单位，则（ ）
A．B．C．1D．
4．，是定义在R上的函数，，则“，均为奇函数”是“为奇函数”的（ ）条件．
A．充要B．充分而不必要
C．必要而不充分D．既不充分也不必要
5．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知这个数字，从中取三个不同的数字，把其中最大的数字放在个位上排成三位数，这样的三位数有（ ）
A．55个B．70个C．40个D．35个
7．已知，，，则的最小值为（ ）
A．2B．1C．D．
8．当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少，另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少．现同时给两位患者分别注射药品A和药品B，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为（ ）（参考数据：）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据2，7，4，5，16，1，21，11的第75百分位数为11
B．若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数
C．已知随机变量，若，则
D．运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在11次射击中，最有可能击中的次数是9次
10．如图，在长方体中，，，若为的中点，则以下说法中正确的是（ ）
A．线段的长度为
B．异面直线和夹角的余弦值为
C．点到直线的距离为
D．三棱锥的体积为
11．已知函数为奇函数，且，当时，，则（ ）
A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称
C．的最小正周期为2D．
三、填空题
12．在二项式的展开式中的系数为 ．
13．若已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 ．
14．下图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一正三角形开始，把每条边三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.若第1个图中的三角形的面积为1，则第个图形的面积为 .
四、解答题
15．如图所示，在平面四边形中，，

(1)求的值.
(2)若为锐角，，求角.
16．设，曲线在点处的切线与轴相交于点.
(1)求实数的值；
(2)若函数有三个零点，求实数的取值范围.
17．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过椭圆的左焦点作不与x轴重合的直线MN与椭圆相交于M，N两点，的周长为8，过点M作直线的垂线ME，E为垂足．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)证明：直线EN经过定点P，并求定点P的坐标．
18．2006年，在国家节能减排的宏观政策指导下，科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，也逐步得到消费者的认可.如下表是统计的2014年-2023年全国新能源汽车保有量(百万辆)数据：
并计算得:.
(1)根据表中数据，求相关年份与全国新能源汽车保有量的样本相关系数(精确到0.01)；
(2)现苏同学购买第1辆汽车时随机在新能源汽车和非新能源汽车中选择.如果第1辆购买新能源汽车，那么第2辆仍选择购买新能源汽车的概率为0.6；如果第1辆购买非新能源汽车，那么第2辆购买新能源汽车的概率为0.8，计算苏同学第2辆购买新能源汽车的概率；
(3)某汽车网站为调查新能源汽车车主的用车体验，决定从12名候选车主中选3名车主进行访谈，已知有4名候选车主是新能源汽车车主，假设每名候选人都有相同的机会被选到，求被选到新能源汽车车主的分布列及数学期望.
附:相关系数：.
19．已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质．
(1)若数列为等差数列，且，求证：数列具有性质；
(2)设数列的各项均为正数，且具有性质．
①若数列是公比为的等比数列，且，求的值；
②求的最小值．
年份代码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
保有量
0.12
0.50
1.09
1.60
2.61
3.81
4.92
7.84
13.10
20.41
长沙市周南中学2024年上学期高二期末考试数学模拟试卷参考答案
1．B
【分析】利用韦恩图来理解集合的运算即可.
【详解】
因为，
由韦恩图可知，阴影部分表示，所以.
故选：B.
2．C
【分析】从函数的定义域和对应法则两个方面是否都相同考查函数即得.
【详解】对于A项，，与的对应法则不同，故不是同一函数，A项错误；
对于B项，的定义域为的定义域为，
故两函数定义域不同，故与不是同一函数，B项错误；
对于C项，与的定义域相同，对应法则也相同，C项正确；
对于项，， 与的对应法则不同，故不是同一函数，D项错误.
故选:C.
3．A
【分析】由复数概念求出参数，结合复数四则运算即可求解.
【详解】由是纯虚数可知，所以，
故选：A
4．B
【分析】由题意结合函数奇偶性的性质逐一考查充分性和必要性是否成立即可.
【详解】若，均为奇函数，则有，
所以，所以“为奇函数”，故充分性成立，
若为奇函数，如，，而均不是奇函数，故必要性不成立.
综上可得：“，均为奇函数”是“为奇函数”的充分而不必要的条件.
故选：B．
5．D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质即可判断大小.
【详解】由题知，，
，
，
所以.
故选：D
6．A
【分析】分有和没有两种情况讨论，选项出数字，再排列.
【详解】若这三个数字里没有，则共有个，
若这三个数字里有，则共有个，则共有个.
故选：A.
7．B
【分析】由题意可得，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解.
【详解】因为，可得，
且，，可知，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为1.
故选：B.
8．C
【分析】设经过小时后两位患者体内药品的残条量恰好相等，根据题意列方程，再由对数的运算性质计算可得．
【详解】设经过小时后两位患者体内药品的残条量恰好相等，
由题意得：，整理得：，
两边取常用对数得：，即，
即，
所以，即，
所以大约经过时，两位患者体内药品的残余量恰好相等．
故选：C．
9．BCD
【分析】利用百分位数的概念判断A选项；根据平均数和中位数的概念判断B选项；根据正态分布的性质判断C选项；根据二项分布的期望判断D选项.
【详解】对A选项：把数据按从小到大顺序排列：1，2，4，5，7，11，16，21，因为，所以该组数据的第75百分位数是第6，7两个数的平均数，为：，故A错.
对B选项：根据频率分布直方图可知，若频率分布直方图单峰不对称在右边“拖尾”，则平均数变大，中位数变小，故平均数大于中位数，B对；
对C选项：因为，且，所以，所以，故C正确；
对D选项：设射击命中的次数为，则，所以，所以最有可能击中的次数是9次，D对.
故选：BCD
10．BC
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可判断ABC，结合等体积法即可判断D选项．
【详解】A选项，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系如图所示：
根据题意得，，，，，，
则，所以线段的长度为，选项A错误；
B选项，又，所以异面直线和夹角余弦值为：
，选项B正确；
C选项，设直线上存在点满足，且，
则，所以，
则，又，所以，
解得，则，
所以点到直线的距离为：，选项C正确；
D选项，因为，选项D错误．
故选：BC．
11．ABD
【分析】对于A，由函数是奇函数，它的图像关于点对称，由平移可得的图象关于点对称；对于B，由函数轴对称的性质可得；对于C，由已知及奇函数的定义，赋值推导即可得到的最小正周期是否为2；对于D，由当时，，及函数的对称性和周期性，可得，则可得，即可求得结果.
【详解】对于A：因为函数是奇函数，所以的图像关于点对称，
又函数的图像向右平移1个单位可得到函数的图像，
所以的图象关于点对称，故A正确；
对于B：因为，所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于C：由的图象关于点对称，，，
则，所以的最小正周期不可能为2，故C错误；
对于D：因为当时，，所以，，
因为的图象既关于点对称，又关于直线对称，
所以，，
又因为函数是奇函数，所以，
又，则，
则，则，
所以的一个周期为，
所以，所以，
所以
，故D正确．
故选：ABD．
12．
【分析】结合二项式定理展开式的通项公式得到的值，然后求解的系数即可.
【详解】展开式的通项公式为
令，解得，则的系数为
故答案为：
13．
【分析】利用分段函数为单调递减函数建立不等式组即可求解.
【详解】由题可知 解得，
故答案为: .
14．
【分析】结合等比数列的相关知识，由图形可以发现三角形边长，边数满足，由此求得通项公式；通过观察图形，易得到第个图形的面积满足，利用数列的累加法以及等比数列相关公式即可求得.
【详解】记第个图形为，此时该图形中的三角形边长为，边数为，面积为.
则有条边，边长为；有条边，边长为；有条边，边长为，，故，.
由图形可知,是在的每条边上生成一个小三角形，即，
则，，，，
将以上个等式左右分别相加，可得：.
因数列是以为公比的等比数列，数列是以为公比的等比数列，故数列是以为公比的等比数列，
依题意，由可得，则，，
于是，，
故，
故答案为：.
15．(1)(2)
【分析】（1）由余弦定理直接可求；
（2）由正弦定理求出，再根据为锐角，确定角即可.
【详解】（1）在中，由余弦定理可得
（2）在中，由正弦定理可得，因为为锐角，所以
16．(1)(2)
【分析】（1）利用导数求出函数在处的切线方程后结合其过的点可求实数的值.
（2）利用导数讨论函数的单调性和极值，从而可求实数的取值范围.
【详解】（1）由，得，且.
令，则，
所以曲线在处的切线方程为.
代入解得.
（2）由（1）知，
令，解得或，
当或时，，当时，，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是，
由此可知在处取得极大值，
在处取得极小值，
因为函数有三个零点，即方程有三个根，
而当时，，当，，
故，所以.
17．(1)(2)证明见解析，定点
【分析】（1）根据椭圆的定义及离心率公式求出，即可得解；
（2）设直线MN方程：，，，，联立方程，利用韦达定理求出，，再求出直线EN方程，进而可得出结论.
【详解】（1）的周长为8，，故，
，，故，所以，，
故椭圆的标准方程为；
（2），
设直线MN方程：，，，，
联立方程，得，
所以，，
所以，
又，所以直线EN方程为：，
令，则，
所以直线EN过定点．
18．(1)0.89(2)0.7(3)分布列见详解，1
【分析】（1）直接根据公式计算即可；
（2）利用全概率公式即可求解；
（3）设被选到新能源汽车车主人数为，则可能取值为，分别计算出其概率，然后列出分布列，由公式算出数学期望.
【详解】（1）由，
则.
（2）设“第1辆购买新能源汽车”，“第1辆购买非新能源汽车”，
“第2辆购买新能源汽车”，
，
由全概率公式得，，
所以苏同学第2辆购买新能源汽车的概率为.
（3）设被选到新能源汽车车主人数为，则可能取值为，
，
，
则被选到新能源汽车车主的分布列为，
所以.
19．(1)证明见解析；
(2)①；②的最小值为4.
【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的公差，进而求出通项公式及前项和，再利用定义判断即得.
（2）①根据给定条件，可得，再按，探讨，当时，，又按且讨论得解；②由定义，消去结合基本不等式得，再迭代得，借助正项数列建立不等式求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，
解得，则，
于是，即，
所以数列具有性质．
（2）①由数列具有性质，得，又等比数列的公比为，
若，则，解得，与为任意正整数相矛盾；
当时，，而，整理得，
若，则，解得，与为任意正整数相矛盾；
若，则，当时，恒成立，满足题意；
当且时，，解得，与为任意正整数相矛盾；
所以.
②由，得，即，
因此，即，
则有，
由数列各项均为正数，得，从而，即，
若，则，与为任意正整数相矛盾，
因此当时，恒成立，符合题意，
所以的最小值为4．
0
1
2
3