湖北省黄冈市浠水县第一中学2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设a,b为两条直线，α,β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若a//α，b⊂α，则a//bB．若a//α，b//β，α//β，则a//b
C．若a⊂α，b⊂β，a//b，则α//βD．若a⊄α,b⊂α,a//b，则a//α
2．在△ABC中，A=60∘，AC=2，BC=23，则角B的值为（ ）
A．30∘或150∘B．60∘或120∘C．60∘D．30∘
3．已知tanθ=2，则sin2θ−π1−sinπ2−2θ=（ ）
A．−12B．12C．−2D．2
4．总体由编号为01，02，…，30的30个个体组成.利用所给的随机数表选取6个个体，选取的方法是从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
（第一行）1712 1340 3320 3826 1389 5103 7417 7637
（第二行）1304 0774 2119 3056 6218 3735 9683 5087
A．20B．26C．17D．03
5．要得到函数y=3sin2x+π4的图象，只需将y=3sin2x的图象（ ）
A．向左平移π8个单位 B．向右平移π8个单位 C．向左平移π4个单位 D．向右平移π4个单位
6．如图，点O是△ABC的重心，点D是边BC上一点，且BC=4DC，OD=mAB+nAC，则mn=（ ）
A．15B．−14C．−15D．14
7．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O到水面的距离h为1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒转动的角速度ω为π12rad/s，如图所示，盛水桶M（视为质点）的初始位置P0距水面的距离为3m，则3s后盛水桶M到水面的距离近似为（ ）（2≈1.4，3≈1.7）．
A．4.5mB．4.0mC．3.5mD．3.0m
8．学校组织学生去工厂参加社会实践活动，任务是利用一块正方形的铁皮制作簸箕，方法如下:取正方形ABCD边AB的中点M，沿MC、MD折叠，将MA、MB用胶水粘起来，使得点A、B重合于点E，这样就做成了一个簸箕E−MCD，如果这个簸箕的容量为5763cm3，则原正方形铁皮的边长是多少（ ）
A．12cmB．24cmC．123cmD．243cm
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．关于复数z，下面是真命题的是（ ）
A．若zz∈R，则z∈R B．若z2∈R，则z∈R C．若z2=z2，则z∈R D．若z∈R，则z∈R
10．随机抽取某班20名学生在一次数学测验中的得分如下：50，58，65，66，70，72，75，77，78，78，80，81，81，83，84，85，88，90，95，98下面说法正确的是（ ）
A．这组数据的极差为48
B．为便于计算平均数，将这组数据都减去70后得到的平均数与原数据的平均数相差70
C．为便于计算方差，将这组数据都减去70后得到的方差与原数据的方差相差70
D．这组数据的上四分位数是84.5
11．如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是线段AD上的一点，点M，N分别为线段PB，PC上的动点，且BM=λBP，CN=μCP（0<λ<1，0<μ<1），点O，G分别为线段BC，MN的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．2OG=BM+CN B．PB⋅PC的最小值为34
C．若λ+μ=1，则|OG|的最小值为24 D．若AP=PD，|OG|=12，则BM⋅CN的最大值为316
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知圆台的高为4，上底面半径为2，下底面半径为5，则该圆台的体积为 ．
13．如图所示，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A'B'C'，已知A'C'=4，B'C'=6，则△ABC的面积为 .
14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1−sinBcsB=1−cs2Asin2A，则b2a2+2c2的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且csC=2a−c2b．
(1)求角B的大小；
(2)若b=3，sinC=33，求△ABC的面积．
16．（15分）在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=3,cs∠BAD=13,AF=FD,DE=λDC,λ∈0,1.
(1)若λ=13,AE与BF交于点N,AN=xAB+yAD，求xy的值；
(2)求BE⋅FE的取值范围.
17．（15分）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD=12BC=2，E是BC的中点，AE∩BD=M，将△BAE沿着AE翻折成△B1AE，使B1M⊥平面AECD.
(1)求证：CD⊥平面B1DM；
(2)求B1E与平面B1MD所成的角；
(3)在线段B1C上是否存在点P，使得MP//平面B1AD，若存在，求出B1PB1C的值；若不存在，说明理由.
18．（17分）2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
(1)求a，b的值；
(2)若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？
(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：x1，x2，x3，…，x10，已知这10个分数的平均数x=90，标准差s=6，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．
19．（17分）现定义“n维形态复数zn”：zn=csnθ+isinnθ，其中i为虚数单位，n∈N∗，θ≠0.
(1)当θ=π4时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系；
(2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求sinθ+π4的值；
(3)若正整数m，nm>1,n>2，满足zm=z1，zn=zm2，证明：存在有理数q，使得m=q⋅n+1−2q.