精品解析：山东省青岛第二中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数满足：，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面对应的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先由求出复数，从而可求出其共轭复数，进而可得答案
【详解】解：由，得，
所以，所以其在复平面对应的点为，
故选：A
2. 已知平面向量，，且，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由向量的模的定义和向量垂直的性质，求得，再由向量的平方即为模的平方，化简计算可得所求值．
【详解】由平面向量，可得，
由，可得，即，则，
所以.
故选：C．
3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】A
【解析】
【分析】由空间中线面垂直、面面垂直、线面平行的的性质以及线线、线面、面面的位置关系即可得出.
【详解】因为是两条不同的直线，是两个不同的平面，
对于A，若，则由线面垂直的性质定理得，故A正确.
对于B，若，则由面面垂直、线面垂直的性质得或，故B错误.
对于C，若，则与相交、平行或，故C错误.
对于D，若，则与相交或平行，故D错误.
故选：A
4. 如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为和，高为．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”．则该“升”的“平升”约可装( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据台体的体积计算公式即可计算．
【详解】由台体的体积公式可知，
，，
故选：C．
5. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知的面积为，则的值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角形的面积公式和余弦定理即可求解.
【详解】因为的面积为，所以，
又∵，∴，则，
故选:D.
6. 中，点为上的点，且，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.
【详解】如图所示，因为，
由向量的线性运算法则,
可得
因为，所以，所以.
故选：D.
7. 如图，正方体的棱长为1，设直线与分别交于点，且，则线段的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把异面直线的距离转化为直线到平面的距离，进而转化为点到平面的距离，然后利用等体积法即可求出答案.
【详解】因为直线与分别交于点，且，
则线段的长即为异面直线的距离，
连接，，由条件可知，
又因平面，平面，
所以平面，
所以异面直线的距离，即为直线到平面的距离，
由平面可知，
直线到平面的距离等于到平面的距离，
设到平面的距离为，
由题意可知平面，所以到平面的距离为的长，
由得，，
由正方体的棱长为1，
可知，，
所以，，
所以，所以，
所以线段的长为.
故选：B.

8. 为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据方差的计算公式求得正确答案.
【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：（小时），
该地区中学生每天睡眠时间的方差为：
.
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 在方向上的投影向量为
C. 与垂直的单位向量的坐标为或
D. 若向量与非零向量共线，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】本题考查了平面向量的坐标运算，主要考查了两向量的夹角、投影向量、向量的平行与垂直的基本知识，一一验证即可.
【详解】由题意知，，，
则，因此A正确；
在方向上的投影向量为，因此B错误；
与垂直的单位向量的坐标为
或，因此C正确；
因为，，
若向量与向量共线，则，
解得，因此D正确.
故选：ACD.
10. 有一组从小到大排列的样本数据，若将第1个数据减1，最后一个数据加2，其余数据不变，得到新的一组数据，则下列统计量中，相比原来的数据变大的有（ ）
A. 极差B. 中位数C. 平均数D. 方差
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据极差、中位数、平均数、方差的定义计算即可得出得出答案.
【详解】极差比原数据大3，故A正确；
中位数不变，故B不正确；
，，
所以平均数变大，故C正确；
因为最小的数据变小，最大的数据变大，其余数据不变，显然新数据较原数据相对于各自的平均值波动变大，
由方差的意义易知方差也变大了，故D正确.
故选：ACD.
11. 一个质地均匀的正四面体4个表面上分别有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件与事件互斥
B. 事件发生的概率为
C. 事件与事件相互独立
D. 事件发生的概率为1
【答案】BC
【解析】
【分析】根据古典概型的概率公式判断B，利用特例说明A，计算、、，即可判断C，根据判断D.
【详解】由题意可得，故B正确；
当两次抛掷的点数为时，事件与事件同时发生，所以事件与事件不互斥，故A错误；
事件与事件同时发生的情况有共4种，所以，
又，所以，故事件与事件相互独立，故C正确；
，故D错误.
故选：BC
12. 在棱长为2的正方体中，P，Q分别是棱BC，的中点，点M满足，，下列结论不正确的是（ ）
A. 若，则平面MPQ
B. 若，则过点M，P，Q的截面面积是
C. 若，则点到平面MPQ的距离是
D. 若，则AB与平面MPQ所成角的正切值为
【答案】AC
【解析】
【分析】时有M与A重合，对于A选项，可以利用反证法判定；对于B选项，根据平面的性质计算即可；时，M为AB中点，对于CD选项，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量处理即可.
【详解】如图所示，时有M与A重合，
对于A，延长PQ交BB1于L，连接AL，易得平面平面MPQ=AL，
若平面MPQ，则，显然，且B、L不重合，矛盾，故A错误；
对于B，连接AD1、D1Q，易知平面APQD1即该截面，显然该截面为等腰梯形，
易得，，故B正确；
如图所示，时，M为AB中点，以D为中心建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面MPQ的法向量为，则，
令，则，故；
对于C，设点到平面MPQ的距离为，则，即C错误；
对于D，设AB与平面MPQ所成角为，则，
所以，即D正确.
故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 抽取某校高一年级10名女生，测得她们的身高（单位：cm）数据如下：163 165 161 157 162 165 158 155 164 162，据此估计该校高一年级女生身高的第25百分位数是__________.
【答案】
【解析】
【分析】计算，确定从小到大第个数即可.
【详解】，第25百分位数是从小到大第个数为.
故答案为：
14. 在中，，的角平分线交BC于D，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出；
方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出．
【详解】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
故答案为：．
【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．
15. 《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē nà）．已知四面体为鳖臑，平面，且，若此四面体的体积为1，则其外接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知，可根据题意，设，然后根据体积为1，求解出，然后把鳖臑的外接球可还原在以为长宽高的长方体中，可根据长方体的外接球半径是其体对角线的一半求解出外接球半径，从而求解外接球表面积.
【详解】由已知，因为平面，可令，
所以，所以，
所以，
由已知，鳖臑的外接球可还原在以为长宽高的长方体中，设其外接球半径为，
所以其外接球的半径，
所以其外接球的表面积.
故答案为：.
16. 已知正方形的边长为2，为对角线的交点，动点在线段上，点关于点的对称点为点，则的最大值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】法一建立直角坐标系，用坐标计算的最值；法二用极化恒等式得
，当时最小，从而最大.
【详解】法一：以为坐标原点，为轴正半轴建立平面直角坐标系，设，则，，所以，当且仅当时取得最大值．

法二：由极化恒等式可得：，当时，此时的最大值为1．
【点睛】
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知、、分别为三个内角、、的对边，.
（1）求；
（2）若，的面积为，求、.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，由及正弦定理得到，得出角A；
（2）由三角形面积公式结合余弦定理可得．
【小问1详解】
根据正弦定理，
变为，即，
也即，
所以．
整理，得，即，所以，
所以，则．
【小问2详解】
由，，得．
由余弦定理，得，
则，所以．则．
18. 某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东，B点北偏西，这时位于B点南偏西且与B相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为35海里/小时．

（1）求B点到D点距离BD；
（2）若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．
【答案】（1）50海里
（2）小时.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理解三角形计算即可；
（2）利用余弦定理解三角形计算即可.
【小问1详解】
由题意知：，，，
所以，
在中，由正弦定理可得：即，
所以(海里)；
【小问2详解】
在中，，，，
由余弦定理可得：
，
所以海里，所以需要的时间为(小时).
19. 青岛二中高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中．

（1）估计测试成绩的上四分位数和平均分；
（2）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在内的概率．
【答案】（1）；；
（2）
【解析】
【分析】（1）由所有长方形的面积和为1列方程，结合可求出，然后判断出上四分位数即分位数在第4组，从而可求出分位数；再由平均数的定义求解即可.
（2）根据频率分布直方图可得抽取的4人中成绩在内的有3人，成绩在内的有1人，然后利用列举法可求得结果.
【小问1详解】
由频率分布直方图可知，即，
又，所以，．
测试成绩的上四分位数即分位数，
前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，
则分位数，且．
测试成绩的平均分为：.
【小问2详解】
成绩在和内的人数之比为，
故抽取的4人中成绩在内的有3人，设为，，，成绩在内的有1人，设为，
再从这4人中选2人，这2人的所有可能情况为，，，，，，共6种，
这2人成绩均在内的情况有，，，共3种，
故这2人成绩都在内的概率为．
20. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见详解；
（2）
【解析】
【分析】（1）由线线垂直证线面垂直即，即可证明结论；
（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可.
【小问1详解】
因为平面，平面，
所以，，
又，PA、PD平面PAD，，所以平面，
而平面，所以，
DC、PD平面PAD，，所以平面；
【小问2详解】
由（1）知PD、DA、DC两两垂直，如图所示以D为中心建立空间直角坐标系，
则，
设面PBC的一个法向量为，则有，即，
令，则，即
设直线与平面所成角为，则.
21. 甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
（1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；
（2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可；
（2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案.
【小问1详解】
设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件，
.
【小问2详解】
设事A＝“甲第一轮猜对”，B＝“乙第一轮猜对”，C＝“甲第二轮猜对”，D＝“乙第二轮猜对”，E＝““九章队”猜对三个数学名词”，
所以，
则，
由事件的独立性与互斥性，得
，
故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词概率为．
22. 已知四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，．
（1）求点A到平面的距离：
（2）求平面与平面的夹角的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量公式进行计算；
（2）法1：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的大小；
法2：过A点作，可求，结合点A到平面的距离，从而求出二面角的大小.
【小问1详解】
取中点，连接，，

则，
且，
四边形为平行四边形，
，
又，
由可得，
建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
故，，
设平面的法向量为，
则，
解得，令，则，故，
点A到平面的距离.
【小问2详解】
设平面的法向量为，
，
解得，令，则，
可得，
，
易知平面与平面的夹角为锐角，
故平面与平面的夹角为．
法2：过点作，可求，
由（1）可知点A到平面的距离，
设平面与平面的夹角为，，
，
，
故平面与平面的夹角为．