2022年中考数学双减最新考向模拟卷01（广西专用）（含原卷版+解析版）

这是一份2022年中考数学双减最新考向模拟卷01（广西专用）（含原卷版+解析版），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

模拟冲刺卷01
（考试时间：120分钟 满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．下列各数是有理数的是（ ）
A．B．C．D．π
2．从前面看哪一个物体，看到的形状是（ ）
A．B．
C．D．
3．某十字路口的交通信号灯，红灯亮50秒，绿灯亮40秒，黄灯亮10秒．当你抬头看信号灯时，是红灯的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．电影《长津湖》2021年9月30日上映以来，据有关票房数据显示，截止到10月7日，总票房达46.49亿．将数据46.49亿用科学记数法表示为（ ）
A．46.49×108B．4.649×108
C．4.649×109D．0.4649×1010
5．如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市某天气温（℃）随时间（时）变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ）
A．凌晨3时气温最低为16℃
B．14时气温最高为28℃
C．从0时至14时，气温随时间的推移而上升
D．从14时至24时，气温随时间的推移而下降
6．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）7＝a9B．a6÷a2＝a3
C．（﹣a）2•a3＝a5D．（﹣2a）2＝﹣4a2
7．在平面直角坐标系中，点P（3，4）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，4）B．（4，3）C．（﹣3，﹣4）D．（3，﹣4）
8．如图，⊙O的半径为4cm，点C是弧AB的中点，半径OC交弦AB于点D，OD＝2，则弦AB的长为（ ）
A．2cmB．3cmC．2cmD．4cm
9．在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．在全国足球联赛中，每场比赛都要分出胜负，已知某足球队连续10场保持不败，共得22分，根据比赛规则：胜一场得3分，平一场得1分，求该足球队胜了多少场？平了多少场？设该足球队胜的场数是x，平的场数是y，根据题意可得方程组为（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（ ）
A．2B．C．D．3
12．对有理数x，y定义运算：x※y＝ax+by，其中a，b是常数．如果2※（﹣1）＝﹣4，3※2＞1，那么a，b的取值范围是（ ）
A．a＜﹣1，b＞2B．a＞﹣1，b＜2C．a＜﹣1，b＜2D．a＞﹣1，b＞2
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若分式有意义，则x满足的条件是 ．
14.因式分解：5x2﹣5y2 =
15．如图，从飞机A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，飞机A与楼的水平距离为240m，这栋楼的高度BC是 m（≈1.732，结果取整数）．
16．学校以德、智、体三项成绩来计算学生的平均成绩，三项成绩的比例依次为1：3：1，李明三项成绩分别为90分，95分，96分，则李明的平均成绩为 分．
17．如图，边长为40cm的等边三角形硬纸片，小明剪下与边BC相切的扇形AEF，切点为D，点E、F分别在AB、AC上，做成圆锥形圣诞帽（重叠部分忽略不计），则圆锥形圣诞帽的底面圆形半径是 cm．
18．如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）在抛物线y＝x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′．当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
20．解方程：+1＝．
21．如图，△ABC中，点D为AB的中点．
（1）过点B作BP∥AC；（尺规作图，并保留作图痕迹，不写作法．）
（2）在线段AC上任意找一点E（不与A、C重合），连接ED并延长，交BP于点F，连接BE，AF．求证：四边形AEBF是平行四边形．
22．4月23日是世界读书日，全称为世界图书与版权日，又称“世界图书日“，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．习近平说：“我爱好挺多，最大的爱好是读书，读书已成为我的一种生活方式，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校某兴趣小组为了了解学生课外阅读的情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：
【收集数据】从学校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如表（单位：min）：
【整理数据】按如表分段整理样本数据：
【分析数据】对样本数据进行分析得到如表分析表：
【得出结论】
（1）补全分析表中的数据：m＝ ，n＝ ；
（2）如果该校现有学生1600人，请估计每周阅读时间超过90min的学生有多少名？
（3）假设平均阅读一本课外书的时间为260分钟，请你选择一种统计量估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读多少本课外书？
23．我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线．
根据 ，易证△AFE≌ ，得EF＝BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 时，仍有EF＝BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
24．某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；
（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）
（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？
25．如图1，在△ADC中，AD⊥DC于点D，AD＝DC＝8，点E是AD上一动点（不与点A、D重合），在△ADC内部做矩形EFGH，点F在DC上，点G、H在AC上，设DE＝x．
（1）当矩形EFGH是正方形时，EF＝ ；（用含x的代数式表示）
（2）矩形EFGH面积为S1，求S1与x的函数关系式，并求出S1的最大值；
（3）延长CD至点B，如图2，若BD＝6，连接BE，设△ABE的面积为S2，令y＝，求y关于x的函数关系式．
26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，点E是AB上一点，以BE为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）＝，求cs∠CDB；
（3）在（2）问的条件下，点G为OE上一点，过点G作AB的垂线，交BD延长线于点M，交AC于点N，．若⊙O的半径为5，求MN的长．
2022年中考数学双减最新考向模拟卷
（广西专用）
模拟冲刺卷01（解析版）
（考试时间：120分钟 满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．下列各数是有理数的是（ ）
A．B．C．D．π
【答案】C
【解答】解：有理数为﹣，
故选：C．
2．从前面看哪一个物体，看到的形状是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：A．从前面看这个图形时，看到的形状是一行三个小正方形；
B．从前面看这个图形时，看到的形状是下面一行三个小正方形；
C．从前面看这个图形时，看到的形状是下面一行是三个小正方形，上面一行一个小正方形居中；
D．从前面看这个图形时，看到的形状是下面一行三个小正方形．
故选：C．
3．某十字路口的交通信号灯，红灯亮50秒，绿灯亮40秒，黄灯亮10秒．当你抬头看信号灯时，是红灯的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：∵某十字路口的交通信号灯，红灯亮50秒，绿灯亮40秒，黄灯亮10秒，
∴当你抬头看信号灯时，是红灯的概率为：＝
故选：A．
4．电影《长津湖》2021年9月30日上映以来，据有关票房数据显示，截止到10月7日，总票房达46.49亿．将数据46.49亿用科学记数法表示为（ ）
A．46.49×108B．4.649×108
C．4.649×109D．0.4649×1010
【答案】C
【解答】解：46.49亿＝4649000000＝4.649×109．
故选：C．
5．如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市某天气温（℃）随时间（时）变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ）
A．凌晨3时气温最低为16℃
B．14时气温最高为28℃
C．从0时至14时，气温随时间的推移而上升
D．从14时至24时，气温随时间的推移而下降
【答案】C
【解答】解：A．∵由图象可知，在凌晨3点函数图象在最低点16，
∴凌晨3时气温最低为16℃，故本选项不合题意；
B．由图象可知，在14点函数图象在最高点28℃，故本选项不合题意；
C．由图象可知，从3时至14时，气温随时间增长而上升，不是从0点，故本选项符合题意；
D．由图象可知，14时至24时，气温随时间增长而下降，故本选项不合题意．
故选：C．
6．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）7＝a9B．a6÷a2＝a3
C．（﹣a）2•a3＝a5D．（﹣2a）2＝﹣4a2
【答案】C
【解答】解：A、（a2）7＝a14，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a6÷a2＝a4，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（﹣a）2•a3＝a5，原计算正确，故此选项符合题意；
D、（﹣2a）2＝4a2，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
7．在平面直角坐标系中，点P（3，4）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，4）B．（4，3）C．（﹣3，﹣4）D．（3，﹣4）
【答案】D
【解答】解：点P（3，4）关于x轴对称的点的坐标是（3，﹣4），
故选：D．
8．如图，⊙O的半径为4cm，点C是弧AB的中点，半径OC交弦AB于点D，OD＝2，则弦AB的长为（ ）
A．2cmB．3cmC．2cmD．4cm
【答案】D
【解答】解：连接OA，如图，
∵点C是弧AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴AD＝BD，
在Rt⊥AOD中，AD＝＝2，
∴AB＝2AD＝4（cm）．
故选：D．
9．在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+1，k＝﹣2＜0，b＝1＞0，
∴该函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
10．在全国足球联赛中，每场比赛都要分出胜负，已知某足球队连续10场保持不败，共得22分，根据比赛规则：胜一场得3分，平一场得1分，求该足球队胜了多少场？平了多少场？设该足球队胜的场数是x，平的场数是y，根据题意可得方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：设该足球队胜的场数是x，平的场数是y，
根据题意，得．
故选：B．
11．如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】A
【解答】解：如图，延长EH交CF于点P，过点P作MN⊥CD于N，
∵将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，
∴BC＝CH＝4，∠DCF＝∠GCF，BE＝EH＝2，∠B＝∠CHE＝90°，
在△CPH和△CPN中，
，
∴△CPH≌△CPN（AAS），
∴NP＝PH，CH＝CN＝4，
∵∠B＝∠BCD＝90°，MN⊥CD，
∴四边形BCNM是矩形，
又∵CN＝CB＝4，
∴四边形BCNM是正方形，
∴MN＝BM＝4，
∴EM＝2，
∵EP2＝EM2+PM2，
∴（2+NP）2＝4+（4﹣NP）2，
∴NP＝，
∵tan∠DCF＝，
∴，
∴DF＝2，
故选：A．
12．对有理数x，y定义运算：x※y＝ax+by，其中a，b是常数．如果2※（﹣1）＝﹣4，3※2＞1，那么a，b的取值范围是（ ）
A．a＜﹣1，b＞2B．a＞﹣1，b＜2C．a＜﹣1，b＜2D．a＞﹣1，b＞2
【答案】D
【解答】解：根据题意得：2a﹣b＝﹣4①，3a+2b＞1②
由①得：b＝2a+4③
∴3a+2（2a+4）＞1，
解得a＞﹣1，
把a＞﹣1代入②得，b＞2，
∴a＞﹣1，b＞2
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若分式有意义，则x满足的条件是 ．
【答案】x≠﹣1
【解答】解：由题意得：x+1≠0，
解得：x≠﹣1．
故答案是：x≠﹣1．
14.因式分解：5x2﹣5y2 =
【答案】5（x+y）（x﹣y）
【解答】解：原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y）；
15．如图，从飞机A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，飞机A与楼的水平距离为240m，这栋楼的高度BC是 m（≈1.732，结果取整数）．
【答案】554
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
根据题意有∠DAC＝60°，∠BAD＝30°，AD＝240m，
在Rt△ADC中，
∵∠DAC＝60°，AD＝240m，
∴DC＝tan60°•AD＝240（m），
在Rt△ADB中，
∵∠DAB＝30°，AD＝240m，
∴DB＝tan30°•AD＝80（m），
∴BC＝240+80＝320≈554（m），
故答案为：554．
16．学校以德、智、体三项成绩来计算学生的平均成绩，三项成绩的比例依次为1：3：1，李明三项成绩分别为90分，95分，96分，则李明的平均成绩为 分．
【答案】94.2
【解答】解：根据题意得：
（90×1+95×3+96×1）÷（1+3+1）＝94.2（分），
答：李明的平均成绩为94.2分．
故答案为：94.2．
17．如图，边长为40cm的等边三角形硬纸片，小明剪下与边BC相切的扇形AEF，切点为D，点E、F分别在AB、AC上，做成圆锥形圣诞帽（重叠部分忽略不计），则圆锥形圣诞帽的底面圆形半径是 cm．
【答案】
【解答】解：连接AD，
∵扇形AEF与边BC相切，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC＝BC＝20，
由勾股定理得，AD＝＝＝20，
则的长＝＝，
∴圆锥形圣诞帽的底面圆形半径＝÷2π＝（cm），
故答案为：．
18．如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）在抛物线y＝x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′．当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为 ．
【答案】 y＝（x﹣）2
【解答】解：过C、D作x轴平行线，作A关于直线y＝4的对称点A'，过A'作A'E∥CD，且A'E＝CD，连接BE交直线y＝9于C'，过C'作C'D'∥CD，交直线y＝4于D'，如图：
作图可知：四边形A'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形，
∴A'E∥CD，C'D'∥CD，且A'E＝CD，C'D'＝CD，
∴C'D'∥A'E且C'D'＝A'E，
∴四边形A'EC'D'是平行四边形，
∴A'D'＝EC'，
∵A关于直线y＝4的对称点A'，
∴AD'＝A'D'，
∴EC'＝AD'，
∴BE＝BC'+EC'＝BC'+AD'，即此时BC'+AD'转化到一条直线上，BC'+AD'最小，最小值为BE的长度，
而AB、CD为定值，
∴此时四边形ABC′D′的周长最小，
∵A（3，0）关于直线y＝4的对称点A'，
∴A'（3，8），
∵四边形A'ECD是平行四边形，C（﹣3，9），D（2，4），
∴E（﹣2，13），
设直线BE解析式为y＝kx+b，则，
解得，
∴直线BE解析式为y＝﹣x+，
令y＝9得9＝﹣x+，
∴x＝﹣，
∴C'（﹣，9），
∴CC'＝﹣﹣（﹣3）＝，
即将抛物线y＝x2向右移个单位后，四边形ABC′D′的周长最小，
∴此时抛物线为y＝（x﹣）2，
故答案为：y＝（x﹣）2．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
【答案】0
【解答】解：
＝6×﹣6×+×4+
＝2﹣3++
＝0．
20．解方程：+1＝．
【答案】x＝1.5
【解答】解：去分母得：x﹣3+x﹣2＝﹣2，
移项，合并同类项得：2x＝3，
解得x＝1.5．
检验：当x＝1.5时，x﹣2≠0，
∴x＝1.5是原分式方程的解．
21．如图，△ABC中，点D为AB的中点．
（1）过点B作BP∥AC；（尺规作图，并保留作图痕迹，不写作法．）
（2）在线段AC上任意找一点E（不与A、C重合），连接ED并延长，交BP于点F，连接BE，AF．求证：四边形AEBF是平行四边形．
【答案】（1）略 （2）略
【解答】解（1）如图所示：BP∥AC；
所以BP即为所求；
（2）如图所示：
∵BP∥AC
∴∠FBA＝∠EAB
∵点D为AB的中点
∴AD＝BD
在△ADE和△BDF中，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE＝BF
∵BP∥AC
∴四边形AEBF是平行四边形．
22．4月23日是世界读书日，全称为世界图书与版权日，又称“世界图书日“，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．习近平说：“我爱好挺多，最大的爱好是读书，读书已成为我的一种生活方式，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校某兴趣小组为了了解学生课外阅读的情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：
【收集数据】从学校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如表（单位：min）：
【整理数据】按如表分段整理样本数据：
【分析数据】对样本数据进行分析得到如表分析表：
【得出结论】
（1）补全分析表中的数据：m＝ ，n＝ ；
（2）如果该校现有学生1600人，请估计每周阅读时间超过90min的学生有多少名？
（3）假设平均阅读一本课外书的时间为260分钟，请你选择一种统计量估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读多少本课外书？
【答案】（1）81、81 （2）560（人） （3）16本
【解答】解：（1）将数据重新排列为10、20、30、40、50、60、60、70、81、81、81、81、90、100、100、110、120、130、140、146，
数据81出现次数最多，所以众数为81，
第10、11个数据均为81，
所以中位数为＝81，
故答案为：81、81；
（2）估计每周阅读时间超过90min的学生有1600×＝560（人）；
（3）因为该校学生平均每周阅读时间为80min，
所以＝16，即估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读16本课外书．
23．我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线．
根据 ，易证△AFE≌ ，得EF＝BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 时，仍有EF＝BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
【答案】（1） SAS；△AFG （2）∠B+∠ADC＝180° （3）DE2＝BD2+EC2
【解答】解：（1）思路梳理
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1，
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
则∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，BE＝DG，
∠FAG＝∠FAD+∠GAD＝∠FAD+∠BAE＝90°﹣45°＝45°＝∠EAF，
即∠EAF＝∠FAG，
在△EAF和△GAF中，，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴EF＝FG＝DG+DF＝BE+DF；
故答案为：SAS；△AFG；
（2）类比引申
∠B+∠ADC＝180°时，EF＝BE+DF；理由如下：
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2所示：
∴∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵∠ADC+∠B＝180°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF，
∴EF＝BE+DF，
故答案为：∠B+∠ADC＝180°；
（3）联想拓展
猜想：DE2＝BD2+EC2．理由如下：
把△ACE绕点A逆时针旋转90°到ABF的位置，连接DF，如图3所示：
则△ABF≌△ACE，∠FAE＝90°，
∴∠FAB＝∠CAE．BF＝CE，∠ABF＝∠C，
∴∠FAE＝∠BAC＝90°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠FAD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAD＝∠DAE＝45°，
在△ADF和△ADE中，，
∴△ADF≌△ADE（SAS），
∴DF＝DE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∴∠C＝∠ABF＝45°，
∴∠DBF＝∠ABF+∠ABC＝90°，
∴△BDF是直角三角形，
∴BD2+BF2＝DF2，
∴BD2+EC2＝DE2．
24．某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；
（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）
（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y＝﹣x2+1 （2） 500元（3）19200元
【解答】解：（1）∵长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．
∴OH＝AB＝3，
∴EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1，
∴E（0，1），D（2，0），
∴该抛物线的函数表达式为：y＝kx2+1，
把点D（2，0）代入，得k＝﹣，
∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+1；
（2）∵GM＝2，
∴OM＝OG＝1，
∴当x＝1时，y＝，
∴N（1，），
∴MN＝，
∴S矩形MNFG＝MN•GM＝×2＝，
∴每个B型活动板房的成本是：
425+×50＝500（元）．
答：每个B型活动板房的成本是500元；
（3）根据题意，得
w＝（n﹣500）[100+]
＝﹣2（n﹣600）2+20000，
∵每月最多能生产160个B型活动板房，
∴100+≤160，
解得n≥620，
∵﹣2＜0，
∴n≥620时，w随n的增大而减小，
∴当n＝620时，w有最大值为19200元．
答：公司将销售单价n（元）定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大，最大利润是19200元．
25．如图1，在△ADC中，AD⊥DC于点D，AD＝DC＝8，点E是AD上一动点（不与点A、D重合），在△ADC内部做矩形EFGH，点F在DC上，点G、H在AC上，设DE＝x．
（1）当矩形EFGH是正方形时，EF＝ ；（用含x的代数式表示）
（2）矩形EFGH面积为S1，求S1与x的函数关系式，并求出S1的最大值；
（3）延长CD至点B，如图2，若BD＝6，连接BE，设△ABE的面积为S2，令y＝，求y关于x的函数关系式．
【答案】（1） （2）S1＝﹣x2+8x，S1的最大值为16 （3）y＝
【解答】解：（1）过D作DM⊥AC于M，交EF于N，如图1所示：
则DN⊥EF，EH＝MN，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝DC＝8，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AC＝AD＝8，
∵DM⊥AC，
∴DM＝AC＝4，
当矩形EFGH是正方形时，EF＝EH＝MN，EF∥GH，
∴△DEF∽△DAC，
∴＝，
即＝，
解得：EF＝，
故答案为：；
（2）由（1）得：△ADC是等腰直角三角形，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵四边形EFGH是矩形，
∴EF∥GH，
∴∠DEF＝∠A＝45°，∠DFE＝∠C＝45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴EF＝DE＝x，
由（1）得：△DEF∽△DAC，
∴＝，
即＝，
解得：EH＝4﹣x，
∴矩形EFGH面积为S1＝EF•EH＝x（4﹣x）＝8x﹣x2＝﹣（x﹣4）2+16，
当x＝4时，S1的值最大，S1的最大值为16，
即S1与x的函数关系式为S1＝﹣x2+8x，S1的最大值为16；
（3）∵∠ADB＝180°﹣∠ADC＝90°，AD＝8，BD＝6，
∴△ABE的面积S2＝S△ABD﹣S△BDE＝×8×6﹣×6•x＝24﹣3x＝﹣3x+24，
由（2）得：S1＝﹣x2+8x，
∴y＝＝＝，
即y关于x的函数关系式为y＝．
26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，点E是AB上一点，以BE为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）＝，求cs∠CDB；
（3）在（2）问的条件下，点G为OE上一点，过点G作AB的垂线，交BD延长线于点M，交AC于点N，．若⊙O的半径为5，求MN的长．
【答案】（1）略 （2） （3）MN＝
【解答】（1）证明：连接OD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠OBD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC，
∴∠C＝∠ADO＝90°，
∴OD⊥AC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接EF，过点D作DH⊥EB于点H，
∵EB是直径，
∴∠EFB＝90°，
∴EF∥AC，
∴，
∵，
∴，
∴E为AB的四等分点，，
设半径为r，OA为x，则，
∴x＝r，
∵∠ADO＝∠DHO，∠AOD＝∠DOH，
∴△ADO∽△DHO，
∴，
∴HO＝r，
∴DH＝＝r，
∴DH＝CD＝r，
∴BH＝CB＝r，
∴BD＝＝r，
∴cs∠CDB＝＝；
（3）由（2）得，
∴，
∴AE＝，EG＝AE＝，
∴AG＝AE+EG＝＝，
∴GB＝AB﹣AG＝，
由（2）得cs∠CDB＝，
∴sin∠CBD＝sin∠MBG＝，
∴tan∠MBG＝，
∴MG＝，
∵sin∠DAO＝，
∴tan∠DAG＝＝，
∴，
∴NG＝，
∴MN＝MG﹣NG＝．30
60
81
50
40
110
130
146
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10
20
100
81
课外阅读时间x（min）
0≤x＜40
40≤x＜80
80≤x＜120
120≤x≤160
人数
3
5
8
4
平均数
中位数
众数
80
m
n
30
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