考题猜想2-1 幂的运算（10种计算题）（原卷版+解析版）

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【考试题型1】幂的混合运算
1．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
2．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3)；
(4)．
3．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
【考试题型2】与幂的运算有关的新定义问题
4．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）我们知道，一般的数学公式，法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：；
；；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题．
(1)已知，请把a，b，c用“”连接起来；
(2)若，求的值；
(3)化简：．
5．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，并解决后面的问题．
材料：我们知道，个相同的因数相乘可记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即，一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即．
(1)计算以下各对数的值： ， ， ．
(2)观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？、、之间又满足怎样的关系式？
(3)根据（2）的结果，我们可以归纳出：且，，，请你根据幂的运算法则：以及对数的定义证明该结论．
6．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题．
(1)求的值；
(2)，求的值；
(3)若运算的结果为，则t的值是多少？
7．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）（新定义）探究应用：用“”、“”定义两种新运算：对于两个数，，规定，例如：，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)当为何值时，的值与的值相等．
【考试题型3】已知幂的运算性质求未知数/代数式的值
8．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）已知，；
(1)当时，求a的值；
(2)求的值．
9．（23-24七年级下·河北张家口·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
(1)______；若，则______；
(2)已知，，，若，求的值．
10．（23-24七年级下·河北沧州·期中）上课时王老师给学生出了一道题：
计算：．同学们看了题目后发表不同的看法．小张说：“指数太大计算不了．”小李说：“可以逆运用同底数相乘、幂的乘方和积的乘方就可以解决问题．”
(1)下面是小李尚未完成的解题过程，请你帮他补充完整．
解：
________
________
（________）
(2)请你利用小李的解题方法解答下面问题：
①计算：；
②若，则的值为________________．
11．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
12．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则．（为非负数、为非负整数）请运用所学知识解答下列问题：
(1)已知：，求的值．
(2)已知：，求的值．
【考试题型4】利用幂的运算性质求解
13．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）已知为正整数，且，求的值．
14．（23-24七年级下·山东济南·期中）“已知，，求的值．”对于这个问题，我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，可得，所以，所以．
请利用这样的思考方法解决下列问题．已知，，求下列代数的值：
(1)___________，___________；
(2)；
(3)．
15．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）已知，．
(1)求的值；(2)求的值．
16．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)当时，求的值．
【考试题型5】利用幂的运算性质用含某字母的代数式表示另一个字母
17．（23-24七年级下·河北唐山·期中）（1）已知．
①求和的值．
②求的值．
（2）若．请用含x的代数式表示y．
18．（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）已知，，试用含，的式子表示．
19．（2024七年级下·全国·专题练习）在等式的运算中规定：若且，，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题：
(1)若，求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，，用含的代数式表示．
20．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）阅读理解：①根据幂的意义，表示个相乘；则；②，知道和可以求，我们不妨思考：如果知道，，能否求呢？对于，规定，例如：因为，所以．
(1) , ；
(2)分别计算、的值，试猜想、、之间的等量关系式；
(3)若记，，请用含的代数式表示．
【考试题型6】利用幂的运算性质探究指数之间的等量关系
21．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知，，，探究a，b，c之间满足的等量关系并给出证明过程．
22．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如果，那么我们规定，例如：因为，所以．
(1)[理解]根据上述规定，填空： ， ；
(2)[应用]若，，，试求a，b，c之间的等量关系．
23．（23-24七年级上·全国·课后作业）先计算，然后根据计算结果回答问题：
(1)计算：
①___________；
②___________；
③___________；
④___________．
(2)已知式子成立，其中，，均为大于或等于1且小于10的数，，，均为正整数，你能说出，，之间存在的等量关系吗？
24．（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：______，______，______；
(2)小明在研究这种运算时发现一个特征：，并作出了如下的证明：
∵设，则，
∴，即，
∴
∴．
试参照小明的证明过程，解决下列问题：
①计算；
②请你尝试运用这种方法，写出，，之间的等量关系．并给予证明．
【考试题型7】利用幂的运算性质比较大小
25．（23-24七年级下·江苏·期中）已知，，，，先计算，再比较a、b、c，d的大小，并用“”号连接起来．
26．（22-23七年级下·安徽六安·期中）“若，则”．根据这一等式的性质可将幂的运算逆向应用，如．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
(1)______；
(2)若，求m的值；
(3)比较大小：，，则的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么）
27．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题：
材料一：比较和的大小．
解：∵，且
∴，即
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小
材料二：比较和的大小
解：∵，且
∴，即
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小
【方法运用】
(1)比较、、的大小
(2)比较、、的大小
(3)已知，，比较a、b的大小
【考试题型8】利用幂的运算性质解决规律探究问题
28．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各式：
，
，
，
……
(1)仔细观察：
______；
(2)探究规律：
根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立；
(3)实践应用：
计算：；
(4)深度思考：
计算：．
29．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读探究，理解应用．根据乘方的意义填空，并思考：
① ；
② ；
③ (m，n是正整数)；
④一般地，对于任意底数 a 与任意正整数m，n，则有： ，根据你发现的规律，完成下列问题：
计算：
（1） ；
；
；
（2）已知，，求的值．
30．（23-24七年级下·江苏·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律：
，
的末尾数字是1，的末尾数字是1，的末尾数字是3，
同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．
解答下列问题：
(1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______；
(2)求的末尾数字；
(3)求证：能被5整除．
【考试题型9】利用幂的运算性质进行简便运算
31．（23-24八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算．
(1)；(2)
32．（20-21七年级下·江苏镇江·阶段练习）用简便方法计算下列各题：
（1）（2）
33．（2020·浙江杭州·模拟预测）用简便方法计算：
（1）；（2）
【考试题型10】利用幂的运算性质解决阅读理解问题
34．（23-24八年级上·贵州铜仁·阶段练习）阅读材料：如果那么c为a，b的“关联数”，记为，例如．则有
(1)若，，的值？
(2)若，，，其中，请说明：．
35．（23-24八年级上·山西临汾·期中）阅读材料：我们已经学过幂的相关运算，其中幂的乘方是重要的性质之一，用式子表示为： （、为正整数），由此，幂的乘方运算反过来也是成立的，用式子表示为：（、为正整数），逆用幂的乘方的方法是：幂的底数不变，将幂的指数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的乘方的形式．如，至于选择哪一个变形结果，要具体问题具体分析．例如，判断的末尾数字，我们可以采用如下的方法：
解析：的末尾数字等于的末尾数字
∵，又（为正整数）的末尾数字均为，
∴的末尾数字是的末尾数字，即为．
∴的末尾数字为
根据以上阅读材料，回答下列问题：
(1)逆用幂的乘方，写出的末尾数字
(2)试判断的末尾数字