专题01 三角形的证明（考点清单）（原卷版+解析版）

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【考点2 等腰三角形的判定】
【考点3 等腰三角形的性质和判定综合】
【考点4 等边三角形的性质】
【考点5 等边三角形的性质与判定】
【考点6 含30°的直角三角形】
【考点7 直角三角形的性质】
【考点8 直角三角形的判定】
【考点9 勾股定理的性质和应用】
【考点10 勾股定理的证明】
【考点11 勾股定理的逆定理】
【考点12四种命题及其关系】
【考点13 垂直平分线的性质】
【考点14 角平分线的性质】
【考点1 等腰三角形的性质】
1．（2023秋•章贡区期末）已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．7cmB．9cm
C．12cm或者9cmD．12cm
2．（2023秋•广安期末）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角
B．等角对等边
C．垂线段最短
D．等腰三角形“三线合一”
3．（2021秋•射阳县校级期末）若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A．50°B．80°C．65°或50°D．50°或80°
4．（2023秋•龙岗区期末）随着钓鱼成为一种潮流，如图1所示的便携式折叠凳成为热销产品，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图，已知OC＝OD，∠BOD＝108°，则凳腿与地面所成的角∠ODC为（ ）
A．36°B．50°C．54°D．72°
5．（2022秋•新乡期末）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，一含30°角的三角板如图放置（一直角边与BC边重合，斜边经过△ABC的顶点A），则∠α的度数为（ ）
A．15°B．20°C．30°D．40°
6．（2023秋•自贡期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，连接AD．若∠B＝40°，BA＝BD，则∠DAC为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
7．（2023秋•利辛县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D和点E分别在BC和AC上，AD＝AE，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠1+2∠2＝90°B．∠1＝2∠2
C．2∠1+∠2＝90°D．∠1+∠2＝45°
8．（2023秋•怀仁市期末）如果等腰三角形的底边长4cm，那么这个等腰三角形腰长x的取值范围是（ ）
A．x＞2cmB．2cm＜x＜4cmC．4cm＜x＜8cmD．x＞4cm
【考点2 等腰三角形的判定】
9．（2023秋•隆阳区期末）如图，已知点A（1，0）和点M（0，1），在x轴上确定点P，使得△AMP为等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
10．（2023秋•和平区期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，若点C也在格点上，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的格点数为（ ）
A．8个B．9个C．10个D．11个
11．（2023秋•潮安区期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），B（﹣3，2），点C在坐标轴上，若△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
12．（2023秋•新兴县期末）如图，C为两个直角三角板的公共顶点，∠A＝∠B＝30°，则图中等腰三角形共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
13．（2023秋•黄石港区期末）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
14．（2023秋•临高县期末）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝9，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为（ ）
A．16B．17C．18D．19
15．（2023秋•隆回县期末）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则图中等腰三角形共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
16．（2023秋•冠县期末）如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒．
17．（2023秋•环江县期末）（1）如图1，∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC．
求证：AB＝AC．
证明：
（2）如图2，∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AB＝AC．
求证：AD∥BC．
证明：
18．（2023秋•历下区期末）在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF．
求证：△ABC是等腰三角形．
19．（2023秋•怀集县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）BP＝ （用t的代数式表示）．
（2）当点Q在边BC上运动时，出发 秒后，△PQB是等腰三角形．
（3）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是等腰三角形？
【考点3 等腰三角形的性质和判定综合】
20．（2023秋•和田地区期末）已知：如图△ABC中AC＝6cm，AB＝8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F．
（1）求证：△DFC是等腰三角形；
（2）求△AEF的周长．
21．（2023秋•乌鲁木齐期末）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．
（1）求海岛B到灯塔C的距离；
（2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？
22．（2023秋•秦安县校级期末）如图1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB、AC于D、E．
（1）请写出图1中线段BD，CE，DE之间的数量关系？并说明理由．
（2）如图2，△ABC若∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于O，过点O作BC平行线交AB于D，交AC于E．那么BD，CE，DE之间存在什么数量关系？并证明这种关系．
23．（2022秋•封开县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【考点4 等边三角形的性质】
24．（2023秋•老河口市期末）如图所示，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF＝（ ）
A．5B．10C．15D．20
25．（2023秋•万州区期末）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A．B．C．D．
26．（2023秋•沐川县期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（ ）
A．25°B．20°C．15°D．7.5°
27．（2023秋•莱西市期末）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝38°，则∠2的度数为（ ）
A．142°B．128°C．98°D．92°
28．（2023秋•岑溪市期末）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A9B9A10的边长为（ ）
A．32B．64C．128D．256
29．（2023秋•海南期末）如图，在等边△ABC中AB＝4，BD是AC边上的高，点E在BC的延长线上，∠ACB＝2∠E，则BE的长为（ ）
A．4.5B．5C．6D．9
【考点5 等边三角形的性质与判定】
30．（2023秋•崆峒区期末）如图，在等边三角形ABC中，点B、P、Q三点在同一条直线上，且∠ABP＝∠ACQ，∠BAP＝∠CAQ．判断△APQ是什么形状，并说明理由．
31．（2023秋•新抚区期末）在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED．
（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE；
（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．
32．（2023秋•太和县期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
33．（2023秋•宣化区期末）已知：如图所示，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1.5cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t s．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
34.（2023春•毕节市期末）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．
（1）求证：AN＝BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形．
【考点6 含30°的直角三角形】
35．（2023秋•阜平县期末）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）
A．6米B．9米C．12米D．15米
36．（2023秋•虞城县期末）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB，∠BCD＝30°，BD＝2，则AB的长为（ ）
A．2B．4C．8D．16
37．（2023秋•斗门区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠B＝2∠A，BD＝1，则AD＝（ ）
A．2B．3C．2.5D．1.5
【考点7 直角三角形的性质】
38．（2023秋•东阳市期末）在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝90°﹣∠CB．∠A＝∠B﹣∠C
C．∠A＝2∠B＝3∠CD．∠A＝∠B＝∠C
39．（2023秋•衡山县期末）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
40.（2023秋•淅川县期末）如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△PBC的面积为 cm2．
41．（2023秋•武城县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝ ．
【考点8 直角三角形的判定】
42．（2023秋•浦北县期末）如图所示，在△ABC中，CB⊥AB，∠BAC＝45°，F是AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．
43．（2023春•平江县期末）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
44．（2023秋•乾安县期末）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．
【考点9 勾股定理的性质和应用】
45．（2023秋•二道区期末）一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（ ）
A．10B．13C．7D．14
46．（2023秋•和平县期末）三个正方形的面积如图，中间三角形为直角三角形，则正方形B的面积为（ ）
A．9B．144C．81D．12
47．（2023秋•化州市期末）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2
48．（2023秋•榆阳区校级期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝7，则AB2+CD2等于（ ）
A．45B．49C．50D．53
49．（2023秋•成都期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD是斜边的高，则CD的长为（ ）
A．B．C．5D．10
【考点10 勾股定理的证明】
50．（2023秋•乌当区期末）如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝10，大正方形面积为25，则小正方形边长为（ ）
A．B．2C．D．3
51．（2023秋•商水县期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
52．（2023秋•如皋市期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝2，BC＝1，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．B．C．D．
【考点11 勾股定理的逆定理】
53．（2023秋•泗阳县期末）下列各组线段，能组成直角三角形的是（ ）
A．a＝1，b＝2，c＝2B．a＝2，b＝3，c＝5
C．a＝2，b＝4，c＝5D．a＝3，b＝4，c＝5
54．（2023秋•衡南县期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．
55．（2023秋•新安县期末）如图，每个小正方形的边长为1．
（1）求四边形ABCD的面积和各边边长．
（2）∠BCD是直角吗？说明理由．
【考点12四种命题及其关系】
56．（2023秋•渌口区期末）命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为 ．
57．（2023秋•杭州期末）命题“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
【考点13垂直平分线的性质】
58．（2013秋•钦州期末）如图，已知AC﹣BC＝3，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长是15，则AC的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
59．（2023秋•定陶区期末）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ ）
A．三个角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
60．（2023秋•丹江口市期末）如图，∠BAC＝140°，若DM和EN分别垂直平分AB和AC，则∠DAE等于（ ）
A．100°B．90°C．80°D．70°
【考点14 角平分线的性质】
61．（2023秋•广州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若CD＝4cm，则点D到AB的距离DE是（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
62．（2023秋•东胜区校级期末）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
63．（2023秋•义乌市期末）如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若△ABC面积为30cm2，AB＝8cm，AC＝7cm，则DE的长为（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．5cm
64．（2023秋•韶关期末）如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（ ）cm2．
A．24B．27C．30D．33
65．（2023秋•铜官区期末）如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（ ）
A．一处B．二处C．三处D．四处
66．（2023秋•梨树县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
67．（2023秋•金山区期末）如图，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，过E作EG⊥BA交BA的延长线于点G，EF⊥AC交AC于点F．
（1）求证：EG＝EF；
（2）联结AE，求证：∠AEG＝∠AEF．