专题05 二元一次方程组（考点清单）（原卷版+解析版）

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题型一：二元一次方程组的概念
题型二：解二元一次方程组
题型三：解二元一次方程组的应用
题型四：列二元一次方程组
题型五：工程问题和行程问题
题型六：方案问题
题型七：数字问题
题型八：分配问题
题型九：销售 利润问题
题型十：和差倍问题
题型十一：古代问题
题型十二：几何问题
【题型归纳】
题型一：二元一次方程组的概念
【典例1】（2023上·广东揭阳·八年级统考期末）若是关于，的方程的一个解，则的值是( )
A．B．5C．D．8
【专训1-1】 （2023上·河北保定·八年级统考期末）下列关于方程的解的说法错误的是（ ）
A．是它的解B．它只有一个解
C．以它的解为坐标的点组成的图象是一条直线D．它有无数多个解
【专训1-2】．（2022上·陕西西安·八年级校考期末）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（ ）
A．B．C．2D．4
题型二：解二元一次方程组
【典例2】（2023上·山东菏泽·八年级统考期末）解下列方程组：
(1)；(2)．
【专训2-1】 （2023上·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期末）解方程组．
(1)(2)
【专训2-2】（2023上·山东枣庄·八年级统考期末）解方程（组）：
(1)
(2)阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把，看成一个整体，设，，
原方程组可化为，
解得，∴ ∴原方程组的解为
请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组
题型三：解二元一次方程组的应用
【典例3】（2023·山东聊城·统考一模）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【专训3-1】（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）已知是二元一次方程组的解，则的立方根为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【专训3-2】．（2022上·重庆·八年级校联考期中）若关于x的不等式组的解集为，且关于y、z的二元一次方程组的解满足，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．B．C．0D．3
【典例4】（2023上·河北保定·八年级统考期末）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何?”题目大意是；甲、乙两人各带了若干钱如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．间：甲，乙两人各带了多少钱?设甲，乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【专训4-1】（2021上·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长为厘米，宽为厘米，则依题意列二元一次方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
【专训4-2】（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，共分三卷，在卷下中记载了这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”译文大致为：“甲、乙两人带着钱，不知道是多少．若甲得到乙钱数的，则甲的钱数为48．若乙得到甲钱数的，则乙的钱数也为48．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱x，乙持钱y，则根据题意可以列出方程组为（ ）
A．B．C．D．
题型五：工程问题和行程问题
【典例5】（2023上·河北保定·八年级校考期末）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离与步行的时间之间的函数关系式如图中折线段所示．在步行过程中，小明先到达甲地．有下列结论：
①甲、乙两地相距；
②两人出发后相遇；
③小丽步行的速度为，小明步行的速度为；
④小明到达甲地时，小丽离乙地还有．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【专训5-1】（2020上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道天，工程小组整治河道天，依题意可列方程组（ ）
A．B．
C．D．
【专训5-2】（2020·浙江绍兴·统考中考真题）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km．它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（ ）
A．120kmB．140kmC．160kmD．180km
题型六：方案问题
【典例6】（2021上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐步成为人们喜爱的交通工具．某汽车公司计划正好用190万元购买，两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），其中型汽车进价为20万元/辆，型汽车进价为30万元/辆，则，型号两种汽车一共最多购买（ ）
A．9辆B．8辆C．7辆D．6辆
【专训6-1】（2020上·浙江杭州·八年级统考期末）小聪去商店购买笔记本和钢笔，共用了60元钱，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，若笔记本和钢笔都需购买，且笔记本的数量多于钢笔的数量，则小聪的购买方案有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
【专训6-2】（2023下·云南玉溪·八年级统考期末）某校计划送370名师生（其中学生362人、教师8人）到全国中小学生研学实践教育基地之一的澄江化石地世界自然遗产博物馆进行科普研学活动．现有甲、乙两种大客车，甲客车每辆可坐35人，乙客车每辆可坐50人，租用一辆甲客车和一辆乙客车共需700元，租用3辆甲客车和2辆乙客车共需1700元．
(1)租用甲、乙两种客车每辆各需多少元？
(2)要使每辆客车上至少要有1名教师，所有参与活动的师生都有车坐，则租用客车总数为8辆，设租用辆甲客车，租车的总费用为元，则共有几种不同的租车方案？哪种方案租车的总费用最少？
题型七：数字问题
【典例7】（2022下·黑龙江大庆·八年级统考期末）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是，如果把这个两位数加上，所得的两位数的个位数字，十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字，则这个两位数是（ ）
A．B．C．D．
【专训7-1】（2021上·陕西西安·八年级校考期末）有一个两位数和一个一位数若在这个一位数后面多写一个0，则它与这个两位数的和是139；若用这个两位数除以这个一位数，则商7余3，则这个两位数为（ ）
A．59B．69C．79D．89
【专训7-2】（2020上·江西萍乡·八年级统考期末）小颖和小亮在做一道关于整数减法的作业题，小亮将被减数后面多加了一个0，得到的差为750；小颖将减数后面多加了一个0，得到的差为-420，则这道减法题的正确结果为（ ）
A．-30B．-20C．20D．30
题型八：分配问题
【典例8】（2022下·山东德州·七年级统考期末）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？若设生产螺栓x人，生产螺帽y人，则列方程组得（ ）
A．B．C．D．
【专训8-1】
23．（2023下·黑龙江大庆·八年级校考期末）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，．
(1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？
(2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．
①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？
②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？
【专训8-2】24．（2023上·四川雅安·八年级统考期末）今年月，某城市受疫情影响，为了人民健康采取了一系列措施，某公司安排大、小货车共辆，分别从两地运送吨物资到该城市，支援抗击疫情，每辆大货车装吨物资，每辆小货车装吨物资，这辆货车恰好装完这批物资，已知这两种货车的运费如表：
要安排上述装好物资的辆货车中的辆从地出发，其余从地出发．
(1)这辆货车中，若大货车辆、小货车辆，请求出与的值．
(2)若从地出发的大货车有辆（大货车不少于辆）这辆货车的总运费为元，求总运费的最小值．
题型九：销售 利润问题
【典例9】（2020上·辽宁辽阳·八年级统考期末）元旦期间，灯塔市辽东商业城“女装部”推出“全部服装八折”，男装部推出“全部服装八五折”的优惠活动．某顾客在女装部购买了原价元，在男装部购买了原价元的服装各一套，优惠前需付元，而她实际付款元，根据题意列出的方程组是（ ）
A．B．
C．D．
【专训9-1】．（2023下·云南红河·八年级统考期末）红星超市销售每台进价分别是160元，120元的Ⅰ、Ⅱ两种型号的吹风机，下表是近两周的销售情况．
(1)求Ⅰ、Ⅱ两种型号的吹风机的销售单价．
(2)若红星超市准备用不多于7500元的资金再购进这两种型号的吹风机共50台，请设计出能取得最大利润的购进方
【专训9-2】
（2023下·河南安阳·八年级校考期末）某商店销售1台A型和2台B型电脑的利润为400元，销售2台A型和1台B型电脑的利润为350元．
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍．设购进A掀电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y与x的关系式；
②该商店购进A型、B型各多少台，才能使销售利润最大？
(3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m元，且限定商店最多购进A型电脑70台．若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
题型十：和差倍问题
【典例10】（2012·浙江温州·中考真题）楠溪江某景点门票价格：成人票每张70元，儿童票每张35元.小明买20张门票共花了1225元,设其中有张成人票，张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是【 】
A．B．C．D．
【专训10-1】．
．（2020上·广东深圳·八年级校考期末）已知甲校原有1016人，乙校原有1028人，寒假期间甲、乙两校人数变动的原因只有转出与转入两种，且转出的人数比为1：3，转入的人数比也为1：3.若寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，问：乙校开学时的人数与原有的人数相差多少?（ ）
A．6B．9C．12D．18
【专训10-2】
（2022上·重庆綦江·八年级统考期末）新学期伊始，綦江区某中学的学子们积极响应学校的“书香校园”活动，踊跃捐出自己喜爱的书籍，互相分享，让阅读成为一种习惯．据调查，某年级甲班、乙班共60人捐书，丙班有50人捐书，已知乙班人均捐书数量比甲班人均捐书数量多5本，而丙班的人均捐书数量是甲班人均捐书数量的一半，若该年级甲、乙、丙三班的人均捐书数量恰好是乙班人均捐书数量的，且各班人均捐书数量均为正整数，则甲、乙、丙三班共捐书 本．
题型十一：古代问题
【典例10】（2023上·四川成都·八年级统考期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安.今乙发已先二日，甲仍发长安.问：几何日相逢?译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安.现乙先出发2日，甲才从长安出发.问：多久后甲、乙相逢?设甲出发日，乙出发日后甲、乙相逢，则所列方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
【专训10-1】．（2023上·辽宁锦州·八年级统考期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”题目大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短了5尺．设竿长为x尺，绳索长为y尺，则符合题意的方程组是（ ）
A．B．C．D．
【专训10-2】（2023上·广东揭阳·八年级校考期末）《九章算术》中记载：“今有共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱，每人出7钱，还缺4钱．问人数和鸡的价钱各是多少？”设人数有x人，鸡的价钱是y钱，可列方程组为（ ）．
A．B．C．D．
题型十二：几何问题
【典例12】（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有60张正方形纸板和140张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，设做x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，则可列方程组（ ）
A．B．C．D．
【专训12-1】（2022上·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期末）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，则阴影部分图形的总面积为（ ）
A．27B．29C．34D．36
【专训12-2】（2022上·陕西咸阳·八年级统考期末）如图所示的是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低30 cm，两块竖放的墙砖比两块横放的墙砖高50 cm，则每块墙砖的截面面积是（ ）
A．400 cm2B．600 cm2C．800 cm2D．900 cm2购进的台数
购进所需要的费用（元）
A型
B型
第一次
10
20
3000
第二次
15
10
4500
目的地
车型
地（元/辆）
地（元/辆）
大货车
小货车
销售时间
销售型号
收入
Ⅰ型
Ⅱ型
第一周
台
台
元
第二周
台
台
元