专题05 分式与分式方程（考点清单）（原卷版+解析版）

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【考点1 分式的定义】
【考点2分式的有无意义的满足条件】
【考点3分式值为零的满足条件】
【考点4 分式的性质】
【考点6最简分式】
【考点7最简公分母】
【考点8 分式的通分】
【考点9 列代数式（分式）】
【考点10 分式的值】
【考点11 分式的乘除】
【考点12 分式的乘除】
【考点13 分式混合运算】
【考点14 分式化简求值】
【考点15 分式方程定义】
【考点16解分式方程】
【考点17分式方程的解综合】
【考点18分式方程应用】
【考点1 分式的定义】
1．（2023秋•青龙县期末）下列代数式中，是分式的是（ ）
A．B．C．D．x﹣1
【答案】C
【解答】解：A、是单项式，属于整式，故选项不符合题意；
B、是多项式，属于整式，故选项不符合题意；
C、是分式，故选项符合题意；
D、x﹣1是多项式，属于整式，故选项不符合题意．
故选：C．
2．（2023秋•徐闻县期末）下列各式：，，，中，是分式的共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：，，的分母中含有字母，因此是分式；
的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
故分式有3个．
故选：C．
【考点2分式的有无意义的满足条件】
3．（2023秋•江北区期末）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣1B．x≠2C．x≠﹣2D．x＝﹣1
【答案】A
【解答】解：根据题意得：x+1≠0，
解得：x≠﹣1．
故选：A．
4．（2023秋•望花区期末）已知x＝﹣2时，分式无意义，则□可以是（ ）
A．2﹣xB．x﹣2C．2x+4D．x+4
【答案】C
【解答】解：当x＝﹣2时分式无意义，
所以分母□的值应为0，
当x＝﹣2时，2﹣x＝2﹣（﹣2）＝2+2＝4≠0，A选项不符合题意；
x﹣2＝﹣2﹣2＝﹣4≠0，B选项不符合题意；
2x+4＝2×（﹣2）+4＝﹣4+4＝0，C选项符合题意；
x+4＝﹣2+4＝2≠0，D选项不符合题意；
故选：C．
5．（2023秋•绥中县期末）若分式有意义，则x的取值范围是 x≠2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣2≠0，
解得，x≠2，
故答案为：x≠2．
【考点3分式值为零的满足条件】
6．（2023秋•寻乌县期末）若分式的值为零，则a的值为 1 ．
【答案】1．
【解答】解：分式的值为零，则|a|﹣1＝0且a+1≠0，
解得：a＝1．
故答案为：1．
7．（2023秋•高邮市期末）当分式的值为0时，a的值为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：，
∴3﹣a＝0且a+3≠0，
∴a＝3且a≠﹣3，
将a＝3代入原分式方程，有意义，
∴a的值为3，
故答案为：3．
【考点4 分式的性质】
8．（2023秋•五华区期末）下列分式变形从左到右一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：A、，故本选项不符合题意；
B、当c≠0时才成立，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：C．
9．（2023秋•久治县期末）把下列分式中x，y的值都同时扩大到原来的5倍，那么分式的值保持不变的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：A、，分式的值保持不变，符合题意；
B、，分式的值改变，不符合题意；
C、，分式的值改变，不符合题意；
D、，分式的值改变，不符合题意；
故选：A．
10．（2023秋•官渡区期末）将分式中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍B．缩小为原来的一半
C．保持不变D．无法确定
【答案】C
【解答】解：由题意得：＝，分式的值保持不变．
故选：C．
【考点6最简分式】
11．（2024春•兴化市期中）下列是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：A、该分式的分子分母中不含公因式，是最简分式，符合题意；
B、该分式的分子分母中含有公因数3，不是最简分式，不符合题意；
C、该分式的分子分母中含有公因式（a﹣1），不是最简分式，不符合题意；
D、该分式的分子分母中含有公因式（a﹣1），不是最简分式，不符合题意；
故选：A．
12．（2023秋•商丘期末）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：A．是最简分式；
B．＝＝x﹣y，不符合题意；
C．＝＝，不符合题意；
D．＝，不符合题意；
故选：A．
13．（2023秋•海珠区期末）式子和的最简公分母是 （x+y）2（x﹣y） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：两个分式的分母分别为（x+y）2，（x+y）（x﹣y），
所以分式的最简公分母为（x+y）2（x﹣y），
故答案为：（x+y）2（x﹣y）．
【考点7最简公分母】
14．（2023秋•金平区期末）分式与的最简公分母是（ ）
A．abcB．a2b2cC．6a2b2cD．12a2b2c
【答案】C
【解答】解：在分式与中，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积即最简公分母为：6a2b2c，
故选：C．
15．（2023秋•汉川市期末）分式，，最简公分母是（ ）
A．5abxB．15abx5C．15abxD．15abx3
【答案】D
【解答】解：因为各分母都是单项式，所以最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里，
因此，所求分式的最简公分母为15abx3．
故选：D．
【考点8 分式的通分】
16．（2023秋•石河子校级期末）把，，通分的过程中，不正确的是（ ）
A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】解：A、最简公分母为最简公分母是（x﹣2）（x+3）2，正确，不符合题意；
B、通分正确，不符合题意；
C、通分正确，不符合题意；
D、通分不正确，分子应为2×（x﹣2）＝2x﹣4，符合题意；
故选：D．
【考点9 列代数式（分式）】
17．（2023秋•平原县期末）小强上山和下山的路程都是s千米，上山的速度为v1千米/时，下山的速度为v2千米/时，则小强上山和下山的平均速度为（ ）
A．千米/时 B．千米/时C．千米/时 D．千米/时
【答案】D
【解答】解：2s÷（+）＝2s÷＝2s×＝千米/时．故选D．
18．（2022秋•泰山区校级期末）设一项工程的工程量为1，甲单独做需要a天完成，乙单独做需要b天完成，则甲、乙两人合做一天的工作量为（ ）
A．a+bB．C．D．
【答案】D
【解答】解：甲的工作效率为，
乙的工作效率为，
∴甲、乙两人合做一天的工作量为（）×1＝，
故选：D．
【考点10 分式的值】
19．（2023秋•乐东县期末）若xay2与2xyb是同类项，则的值是（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】D
【解答】解：由此可知：，
所以．
故选：D．
20．（2023秋•惠州期末）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：∵，
∴设a＝2k，b＝5k，
∴
＝
＝
＝
＝．
故选：A．
21．（2023秋•商南县校级期末）若2n＝m﹣1，则的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【答案】B
【解答】解：∵2n＝m﹣1，
∴2n﹣m＝﹣1，
∴．
故选：B．
22．（2023秋•钢城区期末）已知，则分式的值等于 ．
【答案】．
【解答】解：∵，设a＝3k，b＝2k（k≠0），
∴；
故答案为：．
【考点11 分式的乘除】
23．（2023秋•曾都区期末）化简的结果是（ ）
A．mB．C．m﹣1D．
【答案】B
【解答】解：
＝
＝，
故选：B．
24．（2023秋•黔南州期末）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．x
【答案】A
【解答】解：•
＝•
＝，
故选：A．
25．（2023秋•白云区期末）化简的结果是（ ）
A．B．aC．D．
【答案】B
【解答】解：原式＝＝a．
故选：B．
【考点12 分式的加减】
26．（2023秋•红桥区期末）计算的结果是（ ）
A．1B．x+1C．D．
【答案】A
【解答】解：原式＝
＝
＝1，
故选：A．
27．（2023秋•曹县期末）计算：的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝，
故选：B．
28．（2023秋•陇县期末）计算的结果为（ ）
A．1B．﹣1C．D．
【答案】A
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝1．
故选：A．
【考点13 分式混合运算】
29．（2022秋•宽城区期末）计算：．
【答案】．
【解答】解：
＝•
＝．
30．（2023春•朝阳区校级期末）计算：（2﹣）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝•
＝•
＝．
31．（2023秋•沙坪坝区校级期末）计算：
（1）4x（x+y）+（x﹣2y）2；
（2）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）4x（x+y）+（x﹣2y）2
＝4x2+4xy+x2+4y2﹣4xy
＝5x2+4y2；
（2）
＝•
＝•
＝a+1．
【考点14 分式化简求值】
32．（2023秋•浉河区期末）先化简，再求值：，其中m＝﹣1．
【答案】，．
【解答】解：
＝
＝•
＝，
当m＝﹣1时，原式＝＝．
33．（2023秋•凉州区期末）先化简：，再从﹣3，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：
＝•
＝•
＝，
∵x+3≠0，x﹣1≠0，
∴x≠﹣3，x≠1，
∴当x＝2时，原式＝＝2．
34．（2023秋•新宾县期末）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝3．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝[﹣]•
＝•
＝，
当x＝3时，原式＝＝2．
35．（2022秋•易县期末）已知a2+2a﹣1＝0，求代数式（）÷的值．
【答案】1．
【解答】解：原式＝[]•a（a﹣1）
＝（+）•a（a﹣1）
＝•a（a﹣1）
＝a2+2a，
∵a2+2a﹣1＝0，
∴a2+2a＝1，
∴原式＝1．
【考点15 分式方程定义】
36．（2023秋•巴彦淖尔期末）下列方程中是分式方程的是（ ）
A．B．2x﹣5＝3xC．x2﹣1＝0D．
【答案】D
【解答】解：A．是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B．是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D．是分式方程，故此选项符合题意．
故选：D．
37．（2023秋•梁园区期末）下列方程中是分式方程的是（ ）
A．﹣2x＝1B．2x2＝x﹣3C．＝2D．＝2
【答案】C
【解答】解：A、该方程是整式方程，故此选项不符合题意；
B、该方程是整式方程，故此选项不符合题意；
C、该方程是分式方程，故此选项符合题意；
D、该方程是整式方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
【考点16解分式方程】
38．（2023秋•南岗区期末）方程＝的解为（ ）
A．x＝﹣6B．x＝﹣3C．x＝4D．x＝6
【答案】A
【解答】解：去分母得：3x＝2x﹣6，
移项合并得：x＝﹣6，
经检验x＝﹣6是分式方程的解，
故选：A．
39．（2023秋•赣县区期末）解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（ ）
A．1﹣2＝﹣3xB．1﹣2（x﹣1）＝﹣3x
C．1﹣2（1﹣x）＝﹣3xD．1﹣2（x﹣1）＝3x
【答案】B
【解答】解：解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为：1﹣2（x﹣1）＝﹣3x，
故选：B．
40．（2023秋•城关区校级期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）x＝﹣1；
（2）．
【解答】解：（1），
去分母得：5+x﹣2＝1﹣x，
移项合并同类项得：2x＝﹣2，
系数化为1得：x＝﹣1，
检验：把x＝﹣1代入x﹣2得：﹣1﹣2＝﹣3≠0，
∴x＝﹣1是原方程的解；
（2），
去分母得：3（x+3）﹣4＝0，
去括号得：3x+9﹣4＝0，
移项合并同类项得：3x＝﹣5，
系数化为1得：，
检验：把代入x2﹣9得：，
∴是原方程的解．
41．（2023秋•房山区期末）解方程：﹣＝．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：去分母得：2x﹣3﹣（x﹣1）＝2（x+1），
解得：x＝﹣4，
检验：把x＝﹣4代入得：（x+1）（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣4．
【考点17分式方程的解综合】
42．（2023秋•福山区期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．2D．3
【答案】B
【解答】解：去分母得：2+m＝x﹣3，
由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入2+m＝x﹣3得，2+m＝3﹣3，
解得m＝﹣2．
故选：B．
43．（2023秋•保定期末）若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜1B．m＞1C．m＜1且m≠﹣2D．m＞1且m≠3
【答案】D
【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：m﹣3＝x﹣2，
解得x＝m﹣1，
∵分式方程的解为正实数，
∴m﹣1＞0且m﹣1≠2，
解得m＞1且m≠3．
故选：D．
44．（2023秋•滨州期末）若关于x的分式方程＝1无解，则a的值为（ ）
A．0B．1C．1或5D．5
【答案】B
【解答】解：+＝1，
方程两边同时乘以x﹣5得，
2﹣（a+1）＝x﹣5，
去括号得，2﹣a﹣1＝x﹣5，
解得x＝6﹣a，
∵原分式方程无解，
∴x＝5，
∴m＝1，
故选：B．
【考点18 分式方程应用】
45．（2009春•沈阳期末）“5•12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修x米，所列方程正确的是（ ）
A．+4＝B．＝﹣4
C．＝﹣4D．﹣4＝
【答案】B
【解答】解：原来所用的时间为：，实际所用的时间为：．
故所列方程为：＝﹣4．
故选：B．
46．（2023秋•大洼区期末）2023年8月世界机器人“开放创新，聚享未来”大会在北京召开，某工厂为促进智能化发展，引进了A，B两种型号的机器人搬运货品，已知每个A型机器人比每个B型机器人每小时多搬运30kg，每个A型机器人搬运1200kg所用的时间与每个B型机器人搬运900kg所用的时间相等．求A，B两种机器人每个每小时分别搬运多少kg货品？
【答案】A种机器人每小时搬运120kg货品，B种机器人每小时搬运90kg货品．
【解答】解：设A种机器人每小时搬运x kg货品，则B种机器人每小时搬运（x﹣30）kg货品，
根据题意得：＝，
解得：x＝120，
经检验，x＝120是所列方程的解，且符合题意，
∴x﹣30＝120﹣30＝90．
答：A种机器人每小时搬运120kg货品，B型机器人每小时搬运90kg货品．
47．（2023秋•牡丹江期末）2024年是中国农历甲辰龙年．元旦前，某商场进货员预测一种“吉祥龙”挂件能畅销市场，就用6000元购进一批这种“吉祥龙”挂件，面市后果然供不应求，商场又用12800元购进了第二批这种“吉祥龙”挂件，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了4元．
（1）该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”挂件每件的进价分别是多少元？
（2）若两批“吉祥龙”挂件按相同的标价销售，要使两批“吉祥龙”挂件全部售完后获利不低于7300（不考虑其他因素），且最后的50件“吉祥龙”挂件按八折优惠售出，那么每件“吉祥龙”挂件的标价至少是多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是x元/件，则第二批“吉祥龙”挂件的进价是（x+4）元，
根据题意得：＝×2，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意，
∴x+4＝60+4＝64（元/件）．
答：该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是60元/件，第二批“吉祥龙”挂件的进价是64元；
（2）该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的数量是6000÷60＝100（件），
该商场购进第二批“吉祥龙”挂件的数量是12800÷64＝200（件）．
设每件“吉祥龙”挂件的标价是y元，
根据题意得：（100+200﹣50）y+50×0.8y﹣6000﹣12800≥7300，
解得：y≥90，
∴y的最小值为90．
答：每件“吉祥龙”挂件的标价至少是90元．
48．（2023秋•湖南期末）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．
（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？
（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？
【答案】（1）购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为15元；
（2）购买吊兰的数量最多是17盆．
【解答】解：（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为（x+5）元，
由题意得：＝，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
则x+5＝15，
答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为15元；
（2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为2m盆，
由题意得：15m+10×2m≤600，
解得：m≤，
∵m为正整数，
∴m的最大值为17，
答：购买吊兰的数量最多是17盆．
49．（2023秋•大足区期末）某工厂加工生产A、B两种型号的零件，每名工人每天只能生产一种型号的零件，一名熟练工每天生产的B零件的数量是A零件数量的，并且生产240个A零件所用的时间比生产同样数量的B零件要少用5天．
（1）求一名熟练工每天可以生产多少个A零件；
（2）该工厂原有10名熟练工，由于订单激增，工厂需要招聘一批新工人，已知新工人每人每天可以生产5个A零件或3个B零件，工厂决定派4名熟练工带领一部分新工人一起生产A零件，其余工人全部生产B零件，已知2个A零件与3个B零件刚好配套．若一共招聘了30名新工人，问安排多少名新工人生产A零件，才能使得该工厂每天生产的A、B两种型号的零件刚好配套？
【答案】（1）一名熟练工每天可以生产24个A零件；
（2）安排4名新工人生产A零件，才能使得该工厂每天生产的A、B两种型号的零件刚好配套．
【解答】解：（1）设一名熟练工每天可以生产x个A零件，则一名熟练工每天可以生产x个B零件，
由题意得：＝﹣5，
解得：x＝24，
经检验，x＝24是原方程的解．且符合题意，
答：一名熟练工每天可以生产24个A零件；
（2）由（1）可知，x＝×24＝16，
设安排y名新工人生产A零件，则安排（30﹣y）名新工人生产B零件，
由题意得：（4×24+5y）×3＝[（10﹣4）×16+（30﹣y）×3]×2，
解得：y＝4，
答：安排4名新工人生产A零件，才能使得该工厂每天生产的A、B两种型号的零件刚好配套．
50．（2023秋•红桥区期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电柱．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等．
（Ⅰ）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（Ⅱ）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问A，B型充电桩各购买多少个可使购买总费用最少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价（x+0.3）万元，
根据题意得：
＝，
解得x＝0.9，
经检验x＝0.9是原方程的解，
∴x＝0.9．
答：A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为1.2万元；
（Ⅱ）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩（25﹣m）个，
根据题意，得：，
解得：≤m≤．
∵m为整数，
∴m＝14，15，16．
∴该停车场有3种购买机床方案，
方案一：购买14个A型充电桩、11个B型充电桩；
方案二：购买15个A型充电桩、10个B型充电桩；
方案三：购买16个A型充电桩、9个B型充电桩．
∵A型充电桩的单价低于B型充电桩的单价，
∴购买方案三总费用最少，最少费用＝16×0.9+1.2×9＝25.2（万元）．
51．（2023秋•黄石港区期末）外出时佩戴口罩可以有效防控流感病毒，某药店用4000元购进若干包医用外科口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批同种口罩，第二批购进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包的进价多0.5元，请解答下列问题：
（1）求购进的第一批医用口罩有多少包？
（2）政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持不变，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设购进的第一批医用口罩有x包，则购进的第二批医用口罩有（1+50%）x包，
依题意得：﹣＝0.5，
解得：x＝2000，
经检验，x＝2000是原方程的解，且符合题意．
答：购进的第一批医用口罩有2000包．
（2）设药店销售该口罩每包的售价是y元，
依题意得：[2000+2000×（1+50%）]y﹣4000﹣7500≤3500，
解得：y≤3．
答：药店销售该口罩每包的最高售价是3元．