山西省运城市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份山西省运城市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共26页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡．上将该选项涂黑）
1. 计算的结果为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】A
解析：解：；
故选A．
2. 汽车为我们日常的出行带来方便，汽车的仪表盘是反映车辆各系统工作状况的装置．常见的有安全带警告灯、制动系统警告灯、转向指示灯、燃油警告灯，下列汽车仪表盘上显示的指示灯图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
解析：解：A．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C．该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
D．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
解析：解：，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选B
4. 十四届全国人大第二次会议上的《政府工作报告》中指出：强化义务教育薄弱环节建设，做好“双减”工作，国家助学贷款提标降息惠及1100多万学生．数据1100万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：1100万．
故选C．
5. 如图是某个工件的三种视图，请在图（1）至图（4）中找出与之对应的实物工件（ ）
A. （1）B. （2）C. （3）D. （4）
【答案】D
解析：解：由俯视图可知：（1）的凸起是弧形，不符合题意；（2）的方向是反的，不符合题意；（3）的俯视图原图不同，不符合题意；
故选D．
6. 木工师傅将一个等腰直角三角尺和一个铅锤如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（ ）
A. 垂线段最短
B. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合
C. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
【答案】B
解析：解：能解释这一现象的数学知识是等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合；
故选B．
7. 在平面直角坐标系中，已知直线和直线（其中k，b是常数，，）相交于点M，则交点M的横坐标是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
解析】解：由题意，令，
∴，
∴
∵，，
∴；
故选C．
8. 2024年山西省新的中考政策，初中二年级生物学科也成为中考的必考科目之一，其中包含生物实验操作．为了加强生物实验教学，提高学生动手操作能力，培养学生的学科素养，新学期开始，某学校购进了单目显微镜和双目显微镜共30台，已知购买单目显微镜用了7560元，购买双目显微镜用了4860元，且这批双目显微镜的单价是单目显微镜单价的1.5倍，求这批单目、双目显微镜各购进多少台？若设购进单目显微镜y台，则下列选项中所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
解析：解：设购进单目显微镜y台，则购进双目显微镜台，由题意，得：
；
故选B．
9. 如图，是的外接圆，是的直径，若的半径为13，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：连接，则：，
∵是的直径，的半径为13，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故选A．
10. 如图，等边的边长为，动点D从点B出发，在线段上运动，以为边作，其中，，则在点D从点B开始移动至点C的过程中，点E移动的路径长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
解析：解：将绕点旋转90度，得到，连接，则：，，

∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵等边边长为6，
∴，，
∴，
∴到点在射线上运动，
当点与点重合时，点与点重合，
当点与点重合时，如图，此时，

∴点运动的路径为的长，
∵，
∴此时为等边三角形，
∴；
故选D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：________．
【答案】3
解析：解：原式=．
故答案为：．
12. 中央广播电视总台2023主持人大赛已于2023年10月6日晚8点在央视综合频道和央视频、央视网等平台播出，深受广大观众的喜爱．下面是半决赛中某位选手的专家评审团得分情况（17位专家评委具体打分如表格所示），这位选手在半决赛中，专家评审团得分的众数是______分．
【答案】98.4
解析：解：由表可知，98.4出现的次数最多，
故众数为：98.4；
故答案为：98.4．
13. 如果你可以只用一种图形没有重叠、没有间隙地铺满一个平面，那么这种图形就被称为可以“镶嵌”这个平面，完美五边形就是这种图形．如图的五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形．若度，则______度．
【答案】285
解析：解：由题意，得：，
∵度，
∴；
故答案为：285
14. 如图，在平面直角坐标系中，坐标原点O为直角三角形的一个顶点，在x轴上，，，，将绕点A逆时针旋转90°，旋转后的斜边的中点C恰好落在反比例函数的图象上，则k的值为______．
【答案】
解析：解：∵在x轴上，，，，
∴，设，则，
∴，
解得：（负根舍去），，
∴点A的坐标为，
∵将绕点A逆时针旋转90°，
∴，，且轴
∴点的坐标为，
∵为的中点，
∴，
∵点恰好落在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为15．
15. 如图，在中，，，点D为边的中点，点E为边上一动点，连接并延长，交的延长线于点F，当点A恰好为的中点时，的长为______．
【答案】
解析：解：取的中点H，连，过A作于点P，过点D作于点Q，
∵分别为的中点
∴为的中位线，
设，则
∴，
∵点D为边的中点，
∴
又
∴
∴
∵，
∴，
在中，
∵
∵
∴，
即
∴
则
∴
在中，
即的长为．
故答案为：
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）先化简再求值：，其中x满足不等式组且x为正整数．
【答案】（1）0（2），1
解析：解：（1）原式；
（2）原式；
解，得：，
∴，
∴不等式组的正整数解为：，
∵，
∴，
∴当时，原式．
17. 为了提高师生们的安全意识，使青少年学生安全、健康成长，某校组织学生防火、防食物中毒、防交通事故等一系列演练活动，并组织了一次“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：，，，，并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取______人；条形统计图中的______．
（2）将条形统计图补充完整；在扇形统计图中，求C等级所在扇形圆心角的度数；
（3）如果80分及以上成绩为“优秀”，该校共有2000名学生，估计该校学生答题成绩为“优秀”的共有多少人；
（4）已知甲、乙、丙、丁四名学生的答题成绩均为A等级，并且他们又有较强的表达能力，学校决定从他们四人中随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两名同学恰好能被同时选中的概率．
【答案】（1）
（2）图见解析，
（3）1120人 （4）
【小问1解析】
解：（人）；（人）；
故答案为：；
【小问2解析】
C等级的人数为（人），补全条形图如图：
等级的圆心角度数为：；
【小问3解析】
（人）；
【小问4解析】
列出树状图如图：
共12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学恰好能被同时选中的结果有2种，
∴．
18. 如图，在中，，以直角边为直径作，交斜边于点D，过点D作的切线，交于点E．
（1）试确定与的大小关系，并说明理由；
（2）若，，求、与所围成的阴影部分的面积．
【答案】（1），理由见解析
（2）
【小问1解析】
解：，理由如下：
如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2解析】
连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴
∴
．
19. 随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，可绕着点O旋转，为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得，．
（1）求此时液压杆的长度；
（2）若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将伸长到最大长度，云梯绕着点O逆时针旋转，即，过点作，垂足为G，过点C作，垂足为E，，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即），求伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，，）
【答案】（1）3米 （2）伸长到的最大长度为6米
【小问1解析】
解：过点作，
在中，，，
∴，
在中，，
∴；
【小问2解析】
由题意，得：，
在中，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故：伸长到的最大长度为6米．
20. 阅读与思考
阅读以下材料，并按要求完成相应任务：
反比例函数是初中函数学习的重要组成部分，它与物理、化学等密切相关，函数本身又是一个重要的数学思想，利用函数的思想和方法可以加深对一些代数问题的理解，现从反比例函数系数k的几何意义出发来探究反比例函数的一些规律．
逐梦学习小组在熟练掌握k的几何意义基础之上又进行了深入的探究后发现：如图1，以矩形的顶点O为坐标原点，射线为x轴正半轴、射线为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，当时，则，在老师指导下逐梦学习小组进行了如下推理，证明了这一结论是正确的．
证明：在图1中，过点E作轴，垂足为G，过点F作轴，垂足为H
根据k的几何意义，易知，
∵，
∴，
∴，
∴，即．
任务：
（1）在图1中，已知，若反比例函数的系数，则矩形的面积______；
（2）逐梦学习小组继续探究后发现，如图2，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则，请帮助逐梦学习小组完成证明；
（3）如图3，反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则图中阴影部分（即四边形）的面积______．
【答案】（1）2 （2）见解析
（3）3
【小问1解析】
解：由题意知，，
∵
∴，
解得，，
故答案为：2；
【小问2解析】
证明：如图2，作于，于，
根据k的几何意义，易知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问3解析】
解：如图3，作于，于，
根据k的几何意义，易知，
∵，
∴，
解得，，
∴，，
∴，
故答案为：3．
21. 项目化学习
项目主题：滑雪运动中的函数知识
项目背景：北京冬奥会上的中国运动员们，用竞技成绩和精神风貌的优异表现，进一步向世界展示了自信、包容、进取的中国形象，其中雪上项目屡传捷报，中国的冬季项目发展之路越走越宽，一时间冰雪运动成了最受青少年喜欢的健身运动方式综合实践活动小组以单板滑雪运动中运动员起跳后的飞行路线为主题开展项目学习．
驱动任务：探究滑雪运动中运动员起跳后的飞行路线中的函数关系
研究步骤：
（1）选定合适位置建立平面直角坐标系，确定x轴、y轴的位置；
（2）利用高清设备在运动员起跳后的路线上选定几个特殊位置作为测量点，并借助相关仪器测出每个点的水平距离与相应的竖直高度；
（3）数据分析，形成结论．
实验数据：从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组对应数据如下表所示：
绘制图表：从起跳点到最后着陆点的示意图如图所示：
问题解决：根据此项目实施的相关材料，完成下面的任务：
（1）根据表中信息可知，起跳后运动员的竖直高度y（单位：m）是水平距离x（单位：m）的______函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x的函数关系式为______．
（2）通过分析实验数据，你认为运动员在本次起跳中竖直高度的最大值是______m；
（3）若运动员最后着陆点与起跳点的水平距离为，求运动员最后着陆点的竖直高度．
【答案】（1）二次，
（2）
（3）运动员最后着陆点的竖直高度为．
【小问1解析】
解：根据表中信息可知，起跳后运动员竖直高度y（单位：m）是水平距离x（单位：m）的二次函数；
设抛物线为：，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：二次，；
【小问2解析】
∵与时，函数值，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，最大高度为，
故答案为：；
【小问3解析】
把代入可得：
，
∴运动员最后着陆点的竖直高度为．
22. 综合与实践
数学活动课上，王老师带领学生利用手头的三角板进行了如下的探究：

（1）问题发现：如图1，将一个足够大的三角板的直角顶点D放在三角板的斜边中点处转动，该三角板的两直角边与等腰直角三角板的两直角边，分别交于E、F两点，则线段与的数量关系是______；
（2）拓展探究：如图2，将一个足够大的三角板的角（）顶点D放在三角板的斜边中点处转动，且，该三角板的两边与，的延长线分别交于E、F两点，当时，试确定与的数量关系，并说明理由；
（3）类比提升：如图3，将一个足够大的三角板的直角顶点D放在三角板的斜边中点处转动，且，该三角板的两直角边与，分别交于E、F两点，请直接写出线段与的数量关系（无需证明）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1解析】
解：连接，

∵为等腰直角三角形，为的中点，
∴，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问2解析】
连接，

∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
【小问3解析】
过点作，则：，

∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
在中，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴．
23. 综合与探究
如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作交直线于点Q，连接、、，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求四边形面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线上任意一点，是否存在点M，使得，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2），
（3）存在，或
【小问1解析】
把，代入解析式，得：
，解得，
∴；
【小问2解析】
∵，当时，，解得：，
∴，
设直线的解析式为，则：
，解得：，
∴，
∵点P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作交直线于点Q，
∴，
∴，
设与交于点，
则：四边形的面积
，
∴当时，四边形的面积最大，为；此时；
【小问3解析】
存在；
∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴，
取的中点，连接，过点O作于点F，
则：，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，过点作于点，则：，，
∴，
当在下方时：，
解得：（舍去）或，经检验是原方程的解；
∴；
当在上方时：，
解得：（舍去）或，经检验是原方程的解；
∴；
综上：或．
评委
专家一
专家二
专家三
专家四
专家五
专家六
专家七
专家八
专家九
得分
97.6
98.0
98.0
98.8
95.6
98.4
98.4
99.2
98.8
评委
专家十
专家十一
专家十二
专家十三
专家十四
专家
十五
专家十六
专家十七
得分
98.4
97.6
96.0
980
96.8
98.8
97.2
98.4
x/m
0
2
4
6
8
11
14
y/m
20.00
21.40
22.40
23.00
23.20
22.75
21.40