武邑县第二中学2023届九年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份武邑县第二中学2023届九年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共24页。

注意事项：1．答卷前将密封线左侧的项目填写清楚．
2．答案须用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔书写．
一、选择题（本大题共16个小题，共42分，1~10题，每小题3分：11~16小题，每小题2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1. 下列数学符号中，不是中心对称图形的是（ ）
A. ∽B. C. △D. =
答案：C
解析：
详解：解：A．是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．△不是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．=是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
2. 不等于下列各式中的（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：解∶， ， ，，
选项A不等于，符合题意；
故选∶ A．
3. 如图所示的几何体是由几个大小相同的小正方体搭成的，将正方体①移走后，从左面看到的图形是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：将正方体①移走后，新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，主视图和左视图都没有发生改变．
故选：B．
4. 如果，那么一定有，“□”中应填的符号是（）
A. C. =D. ≥
答案：A
解析：
详解：解：∵，
∴ (不等式的两边乘以同一个负数，不等号的方向改变)，
故选：A．
5. 下面是投影屏上出示的嘉嘉同学的作业内容：
其中，横线上“▲”符号代表的内容是（）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：证明：四边形是平行四边形，
∴，，
又，
，
四边形是平行四边形，
．
故选：C．
6. 与结果不相同的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：，
A. ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，符合题意；
故选：D．
7. 观察下列尺规作图的痕迹：
其中，能够说明是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④
答案：C
解析：
详解：解：如图①为作BC的中垂线，即BD=DC, 由在△ABC中,AD+DC＞AC,即AD+DB＞AC，可判；
如图②为作∠ABC的角平分线，无法判定;
如图③为以AC为半径画弧交AB于D，即;
如图③为作∠ACB的平分线，无法判定;
综上，①③正确．
故选C．
8. 计算，结果用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：原式：
，
，
，
用科学记数法表示为：，
故选：D．
9. 如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，若，，，则点A的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：∵与是以点为位似中心的位似图形，，，
∴，相似比为，
∵，
点A的坐标为，
故选：B．
10. 小明在化简分式时，发现最终结果是整式，则表示的式子可以是（ ）
A. B. C. mD.
答案：A
解析：
详解：解：设里的式子为
∴
令为整式，则有，即
令，则
∴里的式子为
故选：A．
11. 如图，甲、乙两船同时从港口O出发，其中甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处，那么点B位于点A的（ ）
A. 南偏西40°B. 南偏西30°C. 南偏西20°D. 南偏西10°
答案：C
解析：
详解：试题分析：由甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，得出∠BOA的度数，由两船的航行速度相同，得出AO=BO，得出∠BAO=50°，以及求出∠BAD的度数，得出点B位于点A的方向，故本题选C．
12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可取得的最大整数值为（ ）
A. B. C. 0D. 1
答案：A
解析：
详解：解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且
∴且，
∴的最大整数值为，
故选A．
13. 琪琪在对一组样本数据进行分析时，列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（ ）
A. 样本的容量是4B. 样本的中位数是4C. 样本的众数是4D. 样本的平均数是4.5
答案：D
解析：
详解：
这组数据有4个数，分别为：3，4，4，5
样本的容量是4，选项A说法正确，不符合题意；
样本的中位数是，选项B说法正确，不符合题意；
样本的众数是4，选项C说法正确，不符合题意；
样本的平均数是，选项D说法不正确，符合题意；
故选D．
14. 如图，点在内部，点与点关于对称，点与点关于对称．甲、乙两位同学各给出了自己的说法：甲：若，则是等边三角形；乙：若，则．对于两位同学的说法，下列判定正确的是（ ）

A. 甲正确B. 乙正确C. 甲、乙都正确D. 甲、乙都错误
答案：C
解析：
详解：解：连接，如图：

∵点与点关于对称，点与点关于对称，
即是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，，，，
∴，
又∵，
∴，
在等腰三角形中，，
在等腰三角形中，，
则；
若，则，
又∵，
∴为等边三角形，故甲同学的说法正确；
若，
∵，
即，
则，，满足，
∴为直角三角形，
∴，
则，故乙同学的说法正确；
故选：C．
15. 如图，已知正六边形的边长为，分别以其对角线、为边作正方形，则两个阴影部分的面积差的值为（ ）

A. 0B. 1C. 3D. 2
答案：B
解析：
详解：解∶如图，取正六边形的中心，连接，令交于点

∵正六边形的边长为，
∴，
∴、与都是边长为的等边三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴为边的正方形的面积为，为边的正方形的面积为，
∴．
故选∶B．
16. 如图，现要在抛物线上找点；针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下，
甲：若，则点的个数为0；
乙：若，则点的个数为1；
丙：若，则点的个数为1.
下列判断正确的是（ ）
A. 乙错，丙对B. 甲和乙都错C. 乙对，丙错D. 甲错，丙对
答案：C
解析：
详解：解：，
∴抛物线的顶点坐标为（3，9），
∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为9，
∴甲、乙的说法正确；
若，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，
∴丙的说法不正确；
故选：C．
二、填空题（本大题共3个小题：每小题2个空，每空2分，共12分．）
17. 已知关于x、y的方程组其中是实数．
（1）若，则=_________；
（2）若方程组的解也是方程的一个解，则_________．
答案： ①. ②. 1
解析：
详解：解：（1）∵，
∴由可得，
解得：，
故答案为：；
（2），
②－①得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18. 如图，在中，，点是的内心，
（1） = ；
（2）若的延长线与的外角的平分线交于点，当 时，．
答案：（1）
（2）
解析：
小问1详解：
解：∵在中，，
∴，
∵点是的内心，
∴、分别平分、，
∴，，
∴
；
故答案为：；
小问2详解：
解：∵是的外角，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵当时，，
∴此时，
∴．
故答案为：．
19. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，连接，过点作双曲线交线段于点（不与点、重合），已知．
（1）______．
（2）若，则的取值范围是______．
答案： ①. 12 ②.
解析：
详解：（1）由题意可知点A在双曲线上，
∴将点A坐标代入双曲线解析式得：，
解得：．
故答案为：12．
（2）由（1）可知该双曲线解析式为，
∵D点纵坐标为a，代入双曲线解析式得：，
即，
∴D点坐标为．
∵线段BC与双曲线有交点且与点B、C不重合，
∴，
解得：．
∵，，且．
∴．
∴．
综上可知．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题：共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 对于任意的有理数a、b，定义一种新的运算，规定：，，等式右边是通常的加法、减法运算，如，时，，．
（1）求的值；
（2）若，求x的值．
答案：（1）7 （2）
解析：
小问1详解：
由题意，得：
．
小问2详解：
由题意，得，
整理，得，
解得．
21. 甲、乙两个长方形的边长如图所示（为正整数），其面积分别为，．
（1）用含的代数式表示出和；
（2）比较和的大小，________（用“＞”“＜”或“＝”进行连接）；
（3）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，求该正方形的面积（用含的代数式表示）．
答案：（1），；（2）＜；（3）
解析：
详解：解：（1）S1=（m-5）（m-1）
=m2-m-5m+5
=m2-6m+5；
S2=（m-4）（m-2）
=m2-2m-4m+8
=m2-6m+8；
（2）∵S1-S2
=m2-6m+5-（m2-6m+8）
=m2-6m+5-m2+6m-8
=-3＜0，
∴S1＜S2，
故答案为：＜．
（3）甲、乙两个长方形的周长之和为：2（m-1+m-5）+2（m-4+m-2）=8m-24，
∴正方形的边长为：
（8m-24）÷4=2m-6．
该正方形的面积为：（2m-6）2=4m2-24m+36．
答：该正方形的面积为4m2-24m+36．
22. 一个不透明的口袋中装有4个分别标有数1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小红先从口袋里随机摸出一个小球记下数为x，小颖在剩下的3个球中随机摸出一个小球记下数为y，这样确定了点P的坐标（x，y）．
（1）小红摸出标有数3的小球的概率是 ．
（2）请你用列表法或画树状图法表示出由x，y确定的点P（x，y）所有可能的结果．
（3）求点P（x，y）在函数y＝﹣x+5图象上的概率．
答案：（1）；（2）共12种情况；（3）
解析：
详解：解:
(1)小红摸出标有数3的小球的概率是；
(2)列表或树状图略：
由列表或画树状图可知,P点的坐标可能是(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,3)，
(24)(3,1)(3,2)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)共12种情况，
(3)共有12种可能的结果,其中在函数y=−x+5的图象上的有4种,即(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)
所以点P(x,y)在函数y=−x+5图象上的概率==.
23. 甲乙两车在高速公路上同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，乙车第一次确认与前方甲车的距离为．后再次确认与前方甲车的距离为，乙车开始均匀减速，每秒减少．设行驶的时间为t（单位：），甲乙两车之间的距离为y（单位：），甲乙两车的车速与t的关系如图1所示，y与t的关系如图2所示，请解决以下问题：
（1）______，________；
（2）求c的值，并说出点M的实际意义；
（3）如果甲乙两车从开始一起均匀减速，甲车每秒减少，乙车每秒减少，要保持与前方甲车至少有的安全距离，d的最小值为多少？
提示：距离=平均速度×时间，平均速度（其中是开始时的速度，是t秒时的速度）：
答案：（1）20，15；（2），点M表示当行驶时间为15秒时乙车的速度降到与甲车相同，均为，此时两车之间的距离为；（3）2.2
解析：
详解：（1）根据题意可知后再次确认与前方甲车的距离为
可得：200-100=10×（30-a）
解得：a=20，
∵每秒减少 2m/s
∴（30-20）÷2=5
b=10+5=15
故答案为：20，15．
（2）∵乙车在后降到与前方甲车速度相同
而减速过程中，乙车的平均速度为：
∴．
点M表示当行驶时间为15秒时乙车速度降到与甲车相同，均为，此时两车之间的距离为．
（3）设经过x秒后两车速度相同，则，
∴，
∴甲车的平均速度为：，
乙车的平均速度为：，
∴
得
∵
即：．
解得：，
∴d的最小值为2.2．
24. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上任意一点（可与B，D重合），将线段AM绕点A逆时针旋转90°得到线段AN，连接MN，设BM＝x．
（1）求证：△ABM≌△ADN；
（2）当时，求MN的长；
（3）嘉淇同学在完成（1）后有个想法：“△ABM与△MND也会存在全等的情况”，请判断嘉淇的想法是否正确，请直接写出△ABM与△MND全等时x的值；若不正确，请说明理由．
答案：（1）见解析 （2）MN的长为
（3）正确；当△ABM与△MND全等时
解析：
小问1详解：
证明：在正方形中，，
由旋转性质知：，
，
，
在和中，
，
；
小问2详解：
解：是正方形的对角线，且，
，，
，
由得：，，
，
在中，；
小问3详解：
解：正确；；
理由如下：
如图：
当，易得和是全等的等腰直角三角形，
，，
正方形中，，
，
，
四边形为矩形，
又，
矩形为正方形，
，
（全等传递性），
此时．
当与全等时．
25. 某小区发现一名新型冠状病毒无症状感染者，政府决定对该小区所有居民进行核酸检测．从上午起第x分钟等候检测的居民人数为y人，且y与x成二次函数关系（如图所示），已知在第10分钟时，等候检测的人数达到最大值150人．
（1）求分钟内，y与x的函数解析式并写出此二次函数中的的值．
（2）若起检测人员开始工作，共设两个检测岗，已知每岗每分钟可让检测完毕的5个居民离开，问检测开始后，
①第几分钟等候检测的居民人数最多，是多少人？
②第几分钟时等候检测的居民人数是0．
答案：（1），；（2）①第5分钟等候检测的居民人数最多，为75人；②第分钟
解析：
详解：解：（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，
设分钟内，y与x的函数解析式为，
将代入上式，得：，
解得，
即，
分钟内，y与x的函数解析式为，
此时．
（2）∵两个检测岗，每岗每分钟可让检测完毕的5个居民离开，
∴每分钟共可检测10人，
∴第x分钟等候检测的居民人数为：
即
①可变型为，
∴当时，y有最大值，最大值为75．
检测开始后，第5分钟等候检测的居民人数最多，为75人．
②根据题意得：．
解得（舍）
∴检测开始后，第分钟等候检测的居民人数为0．
26. 已知：如图1，中，，，动点P从点C出发沿线段以的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿线段以的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t，以点Q为圆心，长为半径的圆Q与射线、线段分别交于点D、E．
尝试：当是等腰三角形时，求t的值；
探究：设，求与t的函数解析式，且写出t的取值范围；
拓展：如图2，连接，当t何值时，线段与相切？
延伸：如图2，若与线段只有一个公共点，求t的取值范围．

答案：尝试：t的值为或5或8；探究：；拓展：，线段与相切；延伸：当或时，与线段只有一个公共点
解析：
详解：解：尝试：①当时，如图1，，过点A作于点N，过点P作于点M，

∵，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴，
∴，
∴；
②当时，如图2，
∵，
∴；
③当点P到达点B时，此时，

∴．
∴．
综上，当是等腰三角形时，t的值为或5或8．
探究：∵，
∴．如图3，过点A作于点N，连接，

∵，，
∴．
∵是的直径，
∴．
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
拓展：∵，
∴．
如图4，过点A作于点N，则．

∵线段与相切，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
解得，
经检验，是分式方程的解，
∴当时，线段与相切．
延伸：①出发后到与圆相切时，与线段只有一个公共点，
∴．
②当点P与点E重合后，点P在内，此时与线段只有一个公
共点，
∵点P与点E重合时，，
解得，
∴．
综上，当或时，与线段只有一个公共点．如图，在平行四边形中，点E、F分别在，上，．
求证：．
证明：∵四边形是平行四边形，

∴，．
∵，
∴ ▲
∴四边形是平行四边形，
∴．