福建省泉州市南安市2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份福建省泉州市南安市2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.方程的解为( )
A. B. C. D.
2.已知等式，则下列等式中不一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.如图所示的交通标志为一条高速公路某路段上汽车的最高时速不得超过，若某汽车的时速为，且该汽车没有超速，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
4.如果是关于和的二元一次方程的解，那么的值是( )
A. B. C. D.
5.已知不等式的解集在数轴上表示如图所示，则此不等式的解集是( )
A. B. C. D.
6.小南在解关于的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得为，请根据以上已知条件求出原方程正确的解为( )
A. B. C. D.
7.小明仿照我国古算题编写了一道题：“今有九百元可得鸡兔共十又一只，一百八十元鸡两只，二百四十元兔四只问鸡兔各几何？”设鸡有只，兔有只，则可列方程组为( )
A. B.
C. D.
8.若关于，的方程组的解满足，则等于( )
A. B. C. D.
9.解方程组时，要使解法较为简便，应( )
A. 先消去B. 先消去C. 先消去D. 先消去常数
10.幻方是古老的数学问题，我国古代的洛书中记载了最早的幻方九宫格将个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，例如图就是一个幻方图是一个未完成的幻方，则的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.任意写出一个解为的一元一次方程______．
12.已知方程，用含的代数式表示，则 ______．
13.若，则 ______填“”“”或“”．
14.如果不等式无解，那么的取值范围是______．
15.用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，如：，若其中为有理数，则的值为______．
16.若方程组的解是，则方程组的解是______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解方程：．
18.本小题分
解方程组：．
19.本小题分
解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上．
20.本小题分
已知关于的方程是一元一次方程．
求的值；
若已知方程与方程的解相同，求的值．
21.本小题分
在“践行垃圾分类，助力双碳目标”主题班会结束后，小华和小明一起收集了一些废电池，小华说：“我比你多收集了节废电池”小明说：“如果你给我节废电池，那么我的废电池节数就是你的倍”如果他们说的都是真的，那么小华和小明分别收集了多少节废电池？
请用列方程组解应用题的方法求出问题的解．
22.本小题分
课堂上，老师设计了“接力游戏”，规则：一列同学每人只完成解不等式的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出不等式的解集请根据下面的“接力游戏”回答问题．
在“接力游戏”中，甲是依据______进行变形的．
A.分式的基本性质
B.等式的基本性质
C.不等式的基本性质
D.乘法分配律
在“接力游戏”中，出现错误的是______同学，这一步错误的原因是______；
该不等式的正确解集是______．
23.本小题分
七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．
24.本小题分
为了更好治理河流水质，保护环境，某市治污公司决定购买台污水处理设备，现有，两种型号的设备，其中每台的价格及月处理污水量如表：
经调查：购买一台型设备比购买一台型设备多万元，购买台型设备比购买台型设备少万元．
求，的值；
经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过万元，你认为该公司有哪几种购买方案；
在问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
25.本小题分
已知关于，的方程组．
请直接写出方程的所有正整数解；
无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解；
若方程组的解满足，求的值；
若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值．
答案和解析
1.
解析：解：，
方程两边都除以，得．
故选：．
根据等式的性质方程两边都除以即可．
本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
2.
解析：解：、根据等式的性质，两边同时加，得，故一定成立；
B、根据等式的性质，两边同时减，得，故一定成立；
C、根据等式，两边同时乘以，得，故一定成立；
D、根据等式性质，等式两边都除以时，应加条件，故不一定成立．
故选：．
利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案．
本题主要考查了等式的性质，掌握等式性质：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质：等式的两边都乘以或者除以同一个数除数不为零，所得结果仍是等式是解题的关键．
3.
解析：解：根据题意得：．
故选：．
由该汽车没有超速，即可列出关于的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
4.
解析：解：把代入关于和的二元一次方程中，，
解得，
故选：．
把代入关于和的二元一次方程中即可求出的值．
本题考查了二元一次方程的解，熟知方程的解的定义是解题的关键．
5.
解析：解：表示的数上的点是空心圆点，且曲线向右折，
此不等式的解集是：．
故选：．
根据数轴上不等式解集的表示方法进行解答即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
6.
解析：解：把代入方程，得，
解得：，
把代入方程，得，
去分母，得，
，
，
，
即方程的解是．
故选：．
把代入方程得出，求出，再把代入方程得出，再根据等式的性质求出方程的解即可．
本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
7.
解析：解：根据题意可得：，
故选：．
根据题目中的等量关系列出方程即可．
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意是解题的关键．
8.
解析：解：，
，得，
解得，
，
，
解得，
故选：．
直接让方程组中的两个方程相加即可得出，于是得到，结合即可求出的值．
本题考查了二元一次方程组的解，根据方程组中未知数的系数特点得出是解题的关键．
9.
解析：解：第二个，第三个方程消去，把三元方程组转化为二元方程组，比较简单．
故选：．
根据第一个方程缺少未知数，所以利用第二个，第三个方程消去，解方程组比较简单．
本题考查解三元方程组，解题的关键是熟练掌握解三元方程组的方法．
10.
解析：解：设右下角的空格中的数为，则其它空格中的数如图所示．
根据题意得：，
解得：，
的值为．
故选：．
设右下角的空格中的数为，则其它空格中的数如图所示，根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11.
解析：解：，
根据一元一次方程的一般形式可列方程如：等．
只含有一个未知数元，并且未知数的指数是次的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是是常数且；只要写出一个符合题意的方程即可．
本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是，一次项系数不是，这是这类题目考查的重点．
12.
解析：解：方程，
，
．
故答案为：．
将看作已知数求出即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出．
13.
解析：解：，
，
即．
故答案为：．
根据，应用不等式的性质，不等式的两边同时减去，判断出与的关系即可．
此题主要考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
14.
解析：解：由不等式无解，得．
故答案为：．
根据大大小小无处找，可得答案．
本题考查了不等式的解集，确定不等式组解集的方法：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小无处找．
15.
解析：解：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
先根据题意得出方程为，再移项，合并同类项，系数化成即可．
本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
16.
解析：解：将方程组每个方程的左右两边同时除以，
可得，
的解是，
，
解得，
方程组的解是．
故答案为：．
首先将方程组化为，然后根据方程组的解是，求出方程组的解即可．
此题主要考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组的方法，解答此题的关键是将方程组化为．
17.解：，
，
，
，
．
解析：按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
18.解：，
，可得，
把代入，可得：，
解得，
原方程组的解是．
解析：应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
19.解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

解析：按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
20.解：关于的方程是一元一次方程，
且，
且，
；
把代入方程，得，
解方程，得，
，
，
方程与方程的解相同，
，
，
，
．
解析：根据一元一次方程的定义得出且，再求出即可；
把代入方程得出，再根据等式的性质求出方程的解，再根据同解方程得出方程，再求出即可．
本题考查了一元一次方程的定义，绝对值和同解方程等知识点，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
21.解：设小明收集了节废电池，则小华收集了节废电池，
根据题意得：，
解得：，
．
答：小华收集了节废电池，小明收集了节废电池．
解析：设小明收集了节废电池，则小华收集了节废电池，根据“如果小华给小明节废电池，那么小明的废电池节数就是小华的倍”，可列出关于的一元一次方程，解之可得出小明收集废电池的节数，再将其代入中，即可求出小华售价废电池的节数．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
22. 戊 不等号方向没改变
解析：解：在“接力游戏”中，甲是依据不等式的基本性质进行变形的；
故答案为：；
在“接力游戏”中，出现错误的是戊同学，这一步错误的原因是不等号方向没改变；
故答案为：不等号方向没改变；
，
，
，
，
，
该不等式的正确解集是．
故答案为：．
根据分式的基本性质，即可解答；
根据分式的基本性质，即可解答；
结合解不等式时容易出错的地方即可得出答案．
本题考查分式的基本性质和解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键．
23.
解析：解：探索：根据题意得：
秒．
答：动点从点运动至点需要秒；
故答案为：；
探索：
秒．
根据题意得：当时，点表示的数为，
当动点运动至点和点之间时，点表示的数为；
探索：，，，
共两种情况．
当点在点和点之间，即时，点表示的数为，
，，
，
解得：；
当点在点的右侧，即时，点表示的数为，
，，
，
解得：．
答：动点的运动的时间是秒或秒．
探索：利用时间路程速度，即可求出结论；
探索：求出点运动到点所需时间，当时，利用点表示的数点表示的数点在线段段的运动速度运动时间，即可用含的代数式表示出点表示的数；
探索：由，及的长，可得出共有种情况，当点在点和点之间，即时，点表示的数为，进而可得出，，结合，可列出关于的一元一次方程，解之可求出的值；当点在点的右侧，即时，点表示的数为，进而可得出，，结合，可列出关于的一元一次方程，解之可求出的值．
本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及数轴，解题的关键是：探索：根据各数量之间的关系，列式计算；探索：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出点表示的数；探索：找准等量关系，正确列出一元一次方程．
24.解：根据题意得：，
解得：．
答：的值是，的值是；
设该公司购买台型设备，则购买台型设备，
根据题意得：，
解得：，
又，均为自然数，
可以为，，，
该公司共有种购买方案，
方案：购买台型设备；
方案：购买台型设备，台型设备；
方案：购买台型设备，台型设备；
根据题意得：，
解得：，
该公司共有种购买方案，
方案：购买台型设备，台型设备，此时该公司购买污水处理设备的资金为万元；
方案：购买台型设备，台型设备，此时该公司购买污水处理设备的资金为万元．
，
最省钱的购买方案为：购买台型设备，台型设备．
解析：根据“购买一台型设备比购买一台型设备多万元，购买台型设备比购买台型设备少万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可求出，的值；
设该公司购买台型设备，则购买台型设备，利用总价单价数量，结合总价不超过万元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为自然数，即可得出各购买方案；
根据每月要求处理的污水量不低于吨，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，结合的结论，可得出各购买方案，再求出各方案所需资金，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.解：在中，当时，，当时，，
所以方程的正整数解有，或；
无论数取何值，方程总有一个固定的解，也就是这个解与的值无关，
所以，
当时，，解得，
所以这个解为，
方程组的解为，
把代入，
解得；
，
由得，，由得，，
所以，
即，
，
为整数，为整数，
或，
解得或，
即或．
解析：根据二元一次方程解的定义以及整数解的意义进行计算即可；
根据“固定解”的意义以及方程的固定解与无关，确定的值，进而确定的值即可；
写成方程组求出、的值，再代入方程求出的值即可；
由方程组解的定义，以及是整数，是整数进而确定的值即可．
本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法，理解“整数解”，“固定解”的意义是正确解答的关键．接力游戏
老师：
甲：
乙：
丙：
丁：
戊：
探索“折线数轴”
素材
如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”图中点表示，点表示，点表示，点表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为．
素材
动点从点出发，以个单位长度秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动当运动到点与点之间时速度变为初始速度的；当运动到点与点之间时速度变为初始速度的倍；经过点后立刻恢复初始速度．
问题解决
探索
动点从点运动至点需要______秒；
探索
动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数用含的代数式表示；
探索
动点从点出发，运动至点的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间．
型
型
价格万元台
处理污水量吨月