初中数学中考二轮复习重难突破专题08 特殊四边形(含答案)

这是一份初中数学中考二轮复习重难突破专题08 特殊四边形(含答案)，共10页。试卷主要包含了平行四边形的性质，矩形的判定等内容，欢迎下载使用。
在中考中，平行四边形主要在选择题，填空题和简单的解答题考查为主，并结合相似，锐角三角函数结合考查；多变形主要在选择题和填空题考查为主。
难点解读
难点一：平行四边形
一、平行四边形的性质
1.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
2.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
3.对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO
平行四边形的判定
与边有关的判定：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
难点二：矩形
一、矩形的概念与性质
概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
性质：（1）矩形的对边平行且相等；
（2）矩形的四个角都是直角；
（3）矩形的对角线相等。
二、矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形；
有三个直角的四边形是矩形。
难点三：菱形性质及判定
菱形的概念和性质
1.概念：一组邻边相等的平行四边形是菱形
2.性质： 边：菱形的四条边都相等．
对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半．
二、菱形的判定
1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）．
2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线）．
3. 四条边相等的四边形是菱形（边）
难点四：正方形性质及判定
一、正方形的概念和性质
1.概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
2.性质：
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
二、正方形的判定
判定方法：
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）对角线相等的菱形是正方形；
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形。
注意：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。
真题演练
1.如图，长方形ABCD中∠DAC＝68°，请依据尺规作图的痕迹，求出∠α等于( )
A. 34°B. 44°C. 56°D. 68°
【答案】C
【解析】
如图，先根据尺规作图的痕迹可知AE是的角平分线，直线是AC的垂直平分线，从而可得，再根据直角三角形的两锐角互余、对顶角相等即可得．
【详解】如图，由尺规作图的痕迹得：AE是的角平分线，直线是AC的垂直平分线，
，
，
，
由对顶角相等得：，
故选：C．
【点拨】本题考查了垂直平分线和角平分线尺规作图、直角三角形的性质等知识点，掌握垂直平分线和角平分线的尺规作图是解题关键．
2.如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（ ）
A．60°B．65°C．75°D．80°
【答案】C
【解析】根据斜边中线等于斜边一半，求出∠MPO=30°，再求出∠MOB和∠OMB的度数，即可求出的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形中，∴∠MBO=∠NDO=45°，
∵点O为MN的中点∴OM=ON，∵∠MPN=90°，∴OM=OP，
∴∠PMN=∠MPO=30°，∴∠MOB=∠MPO+∠PMN =60°，
∴∠BMO=180°-60°-45°=75°，，故选：C．
【点拨】本题考查了正方形的性质和直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用相关性质，根据角的关系进行计算．
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】设CE=x，则BE=3-x由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5，所以AF=4，BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，由勾股定理得(3-x)2+12=x2，解得x的值即可．
【详解】解：设CE=x，则BE=3-x，由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5
在Rt△DAF中，AD=3，DF=5，∴AF=，∴BF=AB-AF=5-4=1，
在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，即(3-x)2+12=x2，解得x=，故选：D．
【点拨】本题考查了与矩形有关的折叠问题，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．
4.如图，点O是对角线的交点，EF过点O分別交AD，BC于点E，F．下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先可根据平行四边形的性质推出△AEO≌△CFO，从而进行分析即可．
【详解】∵点O是对角线的交点，∴OA=OC，∠EAO=∠CFO，
∵∠AOE=∠COF，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE=OF，A选项成立；
∴AE=CF，但不一定得出BF=CF，则AE不一定等于BF，B选项不一定成立；
若，则DO=DC，由题意无法明确推出此结论，C选项不一定成立；
由△AEO≌△CFO得∠CFE=∠AEF，但不一定得出∠AEF=∠DEF，
则∠CFE不一定等于∠DEF，D选项不一定成立；故选：A．
【点拨】本题考查平行四边形的性质，理解基本性质，利用全等三角形的判定与性质是解题关键．
5.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O做ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【解析】先证明，再证明四边形MOND的面积等于，的面积，继而解得正方形的面积，据此解题．
【详解】解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC，
又
四边形MOND的面积是1，正方形ABCD的面积是4，故选：C．
【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6.下列命题正确的是（ ）
A．每个内角都相等的多边形是正多边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线 D．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分
【答案】B
【解析】分别根据正多边形的判定、平行四边形的判定、线段垂直平分线的判定以及三角形中线的性质逐项进行判断即可得到结论．
【详解】解：A.每个内角都相等，各边都相等的多边形是正多边形，故选项A的说法错误，不符合题意；
B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形,说法正确，故选项B符合题意；
C. 过线段中点且垂直这条线段的直线是线段的垂直平分线，故选项C的说法错误，不符合题意；
D. 三角形的中位线将三角形的面积分成1∶3两部分，故选项D的说法错误，不符合题意．故选：B．
【点拨】此题主要考查了对正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断以及三角形中线性质的认识，熟练掌握正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断是解答此题的关键．
7.下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】B
【解析】A.根据平行四边形的判定定理作出判断；B.根据矩形的判定定理作出判断；C.根据菱形的判定定理作出判断；D.根据正方形的判定定理作出判断．
【详解】解：A.对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意；
B.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意；
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意；
D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意；故选：B．
【点拨】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．
8.如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，，则的长为_______．
【答案】
【解析】
延长DC交EF于点M（图见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM是等边三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C，G是DM和DE的中点，根据中位线的性质，可得出CG=，代入数值即可得出答案．
【详解】解：如下图所示，延长DC交EF于点M，，，
平行四边形的顶点C在等边的边上，
，
是等边三角形，
．
在平行四边形中，，，
又是等边三角形，
，
．
G为的中点，，
是的中点，且是的中位线，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长DC交EF于点M，利用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出是的中位线是解题的关键．
9.如图，边长为4的菱形ABCD中，∠C＝60°，点M为AD的中点，E，F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，则线段MF＋AE的最小值为________．
【答案】
【解析】
取CD，BC中点N、G，连接FN，NG，EG，先根据菱形的性质、中位线的性质以及平行四边形的判定及性质证得MF＝EG，进而根据勾股定理求线段AG的长即可．
【详解】解：如图，取CD.BC中点N、G，连接FN，NG，EG，
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠C＝60°，
∴BCD.ABD为等边三角形，
∴BD＝BC＝CD＝AB＝AD＝4，∠ADC＝∠BDC＝∠C＝60°，∠ABC＝120°，
∵点N、G为CD.BC中点，点M为AD的中点，
∴NG∥BD，NG＝BD＝2，DM＝DN，BG＝BC＝2，
又∵EF＝2，
∴NG＝ EF，NG∥EF，
∴四边形EFNG为平行四边形，
∴EG＝FN，
∵DM＝DN，∠ADC＝∠BDC，DF＝DF，
∴DMF≌DNF（SAS）
∴MF＝NF，
∴MF＝EG，
∴MF＋AE＝EG＋AE，
∵点A.G为定点，点E为线段BD上的动点，
∴当点A，E，G在同一直线上时，EG＋AE即可取得最小值，为AG的长，此时MF＋AE的值最小，
如图，当点A.E.G在同一直线上时，
过点G作GH⊥AB，交AB的延长线于点H，
∴∠H＝90°
∵∠ABC＝120°，
∴∠BGH＝∠ABC－∠H＝30°，
∴BH＝BG＝1，
∴AH＝AB＋BH＝5，
∵在RtBGH中，GH2＝BG2－BH2＝3，
∴在RtBGH中，AG＝＝，
∴MF＋AE的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定及性质、中位线的性质、平行四边形的判定及性质以及勾股定理，此题较难，能够灵活运用各种图形的性质及判定是解决本题的关键．
10.如图，在平行四边形中，E是的中点，则下列四个结论：①；②若，，则；③若，则；④若，则与全等．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】依次分析各选项，进行推理论证即可；其中①可通过证明，进一步转换后可以得到结论，②可先得到该平行四边形是矩形，利用矩形的性质等得到MN垂直平分BC，即可完成求证，③可以先证明两个三角形的共线边上的高的关系，再利用三角形面积公式即可完成证明，④可以先证明后可进一步证明，即可完成求证．
【详解】解：∵平行四边形中，E是的中点，∴，，，
∴,,∴,
∴，∴，故①正确；若，则平行四边形是矩形，
由矩形的对角线相等，而点E是矩形的对角线的交点可知，E点到B.C两点的距离相等，
∴E点在BC的垂直平分线上，由，可得BN=CN，所以N点是BC的中点，
∴MN垂直平分BC，∴，故②正确；若，则BN=2CN，
如图1，分别过D.E两点向BC作垂线，垂足分别为Q点和P点，
∵E点是BD中点，∴DQ=2EP，∵，
∴，故③正确；
若，因为，所以，分别过N、C两点向AD作垂线，垂足分别为H、K，
由平行线间的距离处处相等可知：NH=CK，∴，
∴，∴,∴，
又∵，∴,故④正确；故选：D．
【点拨】本题综合考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、线段的垂直平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与性质，能熟练运用全等三角形的判定与性质进行角或边之间关系的转化等，本题对推理分析能力要求较高，属于中等难度偏上的题目，对学生的综合分析能力有一定的要求．
11.如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，的中点，连接，点是上一点，且，则的长度为_____________．
【答案】1
【解析】
利用构造等腰直角三角形解决问题
【详解】如图，连接过作垂足为
，分别是边，的中点，正方形边长为
正方形
故答案为：1
【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理，利用已知条件构造等腰直角三角形是解题的关键．