初中数学中考二轮复习重难突破专题09 圆(含答案)

这是一份初中数学中考二轮复习重难突破专题09 圆(含答案)，共26页。

圆的基本性质是中考考查的重点，常以选择题，填空题和解答题考查为主；其中选择题和填空题的难度不会太大，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来于生活，又应用于生活。
难点解读
难点一：圆的有关概念
圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形
成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
确定圆的条件：1）圆心；2）半径。
备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。
【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A,B为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距。
难点二：弧长，扇形与圆锥的有关计算
设的半径为R，圆心角所对弧长为l，
弧长公式： （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）
扇形面积公式：
圆锥的侧面积公式： (其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径)
母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
圆锥体表面积公式： QUOTE （l为母线）
【备注】1）圆锥的表面积=扇形面积=底面圆面积
2）扇形的弧长为圆锥的底面圆周长2πR
难点三：阴影部分面积的计算
求阴影部分面积的几种常见方法：
1）公式法；2）割补法；3）拼凑法；4）等积变形构造方程法；5）去重法。
难点四： 正多边形与圆
正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形。
正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
【解题思路】
1.正边形半径、边心距和构成直角三角形。
2.已知其中两个值，第三个值可以借助勾股定理求解。
正多边形的对称性：
1）正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
2）一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形．对称中心就是这个正多边的中心。
【小结】正n变形的内角为，外角为，中心角为 内角和为（ n-2 ）×180°。
真题演练
1.如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点（不与A，B重合），下列符合条件的OP的值是（ ）
A. 6.5B. 5.5C. 3.5D. 2.5
【答案】C
【解析】
连接OB，作OM⊥AB与M．根据垂径定理和勾股定理，求出OP的取值范围即可判断．
【详解】解：连接OB，作OM⊥AB与M．
∵OM⊥AB，
∴AM=BM=AB=4，
在直角△OBM中，∵OB=5，BM=4，
∴．
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解．
2.如图，半圆O的直径，将半圆O绕点B顺针旋转得到半圆，与AB交于点P，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. 8πD.
【答案】A
【解析】
根据旋转的性质可证明是等腰直角三角形，再由结合扇形面积公式及三角形面积公式解题即可.
【详解】解：由题意得，
是等腰直角三角形
故选：A.
【点拨】本题考查扇形的面积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
3.如图，的直径为26，弦的长为24，且，垂足为，则的长为（ ）
A. 25B. 8C. 5D. 13
【答案】B
【解析】
连接OA，由垂径定理得到M为AB中点，求出AM的长，在直角三角形AOM中，利用勾股定理求出OM的长，再由求出CM的长即可．
【详解】解：连接OA．
∵直径，，
∴,
在中，,,
根据勾股定理得：．
则
故选：B．
【点拨】此题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
4.如图，点，，，在上，是的一条弦，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D(0，3)，C(4，0)，得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形OCD中利用三角函数即可求出答案．
【详解】连接CD，
∵D(0，3)，C(4，0)，
∴OD=3，OC=4，
∵∠COD=90°，
∴，
∵∠OBD=∠OCD，
∴sin∠OBD=sin∠OCD=，
故选：D．
【点拨】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
5.如图，已知是的直径，与相切于点，连接，．若，则的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
根据切线的性质得到AB⊥BC，设BC＝x，AC＝3x，根据勾股定理得到AB＝，于是得到结论．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵，
∴设BC＝x，AC＝3x，
∴AB=
∴OB＝AB＝，
∴tan∠BOC＝，
故选C．
【点拨】本题考查了切线的性质，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
6.如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
先根据圆周角定理得到∠，再根据等弧所对的弦相等，得到，∠，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到∠CAD=，∠BAG=，即可求解．
【详解】解：∵是的直径
∴∠
∵
∴
∴∠
∵
∴∠
∴∠
∴∠
故选：B．
【点拨】此题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题关键．
7.如图，扇形中，，平分交于点，点，分别是，上的动点，若，当最小时阴影部分的面积为_____________．
【答案】．
【解析】
当A.D.E三点共线时，AE取得最小值，，算出和即可求．
【详解】解∶连接AD，
∵OC平分∠AOB
∴扇形BOC与扇形AOC关于OC对称
∴BD+DE=AD+DE
即：当A.D.E三点共线时，AD+DE取得最小值AE
∴当AE⊥OB时，AE取得最小值
∵∠AOB=60°，则OE=OAcs60°=
∵OA=OB=
∴OE=BE
∵DE⊥OB，OE=BE
∴△BDO为等腰三角形，OD=BD，∠DOB =∠DBO=30°
∴DE=OEtan30°=1
∴
．
故答案为：
【点拨】本题主要考查最值问题与图形面积，三角函数的使用与计算，了解三点共线时线段和最小是解题的关键．
8.如图，以为直径作为圆周上的点，，若点为垂直平分线上的一动点，则阴影部分周长的最小值为_________．
【答案】
【解析】
根据CD固定求出PC+PD最小时阴影部分周长的最小，再利用对称性即可求最小值.
【详解】解：∵长为定值
∴当PC+PD最小时阴影部分周长的最小.
如图,连接BD，BD 与MN的交点,即为点P．
∵ ，
∴ ∠BAD = 120°．
∵ AB=AD =1，
∴∠ABD =∠ADB = 30°，
过点A作AE上BD于点E，
在Rt△ABE中， BE= AB · cs30° =
∴BD=2BE=，
∵MN是BC的垂直平分线，
∴BP= PC，
∴PC +PD = BP + PD = BD =，
即PC +PD的最小值为，
连接OD，
∵∠ABC = 60°，∠ABD = 30°，
∴∠DBC = 30°
∴∠DOC =60°
∴ OD=OC=1，
∴
∴阴影部分周长的最小值为
【点拨】本题考查圆中弧长计算，解题的关键是看出PC+PD最小时阴影部分周长的最小.
9.如图，等边三角形的边长为2，以为圆心，1为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，长为半径作圆交边于，连接，，那么图中阴影部分的面积为________.

【答案】 .
【解析】
过作于，于，根据等边三角形的性质得到，求得，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】过A作于，于，
等边三角形的边长为2，，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积
，
故答案为．
【点拨】本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
10.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=4，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧点D.E，则阴影部分的面积为_____．
【答案】π﹣2
【解析】
根据题意和图形，作出合适的辅助线，即可求得阴影部分的面积．
【详解】解：连接OE，如图，
∵CE∥OA，
∴∠BCE=90°，
∵OE=4，OC=2，
∴CE=OC=2，
∴∠CEO=30°，∠BOE=60°，
∴S阴影部分=S扇形BOE﹣S△OCE﹣S扇形BCD= ﹣ ×2×2 ﹣=π﹣2．
故答案为π﹣2
【点拨】本题考查扇形面积的计算、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点，，（O为坐标原点）的半径为1，点P在直线AB上，过点P作的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为_______．
【答案】．
【解析】
连接OP．根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短．
【详解】解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
又∵A（﹣2，0），B（0，2），
∴OA＝OB＝2，
∴AB＝，
∴OP＝AB＝2，
∴PQ＝．
故答案为：．
【点拨】本题考查了切线的性质、垂线段最短、勾股定理等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题．
12.在中，为直径，为上一点．
（Ⅰ）如图①，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的大小；
（Ⅱ）如图②，为优弧上一点，且的延长线经过的中点，连接与相交于点，若，求的大小．
【答案】（Ⅰ）26°；（Ⅱ）69°．
【解析】
（Ⅰ）连接OC，如图①，根据切线的性质得∠OCP=90°，再根据等腰三角形的性质得到∠OCA=∠CAB=32°，则利用三角形外角性质可计算出∠POC，然后利用互余计算∠P的度数；
（Ⅱ）如图②，根据垂径定理的推论，由点E为AC的中点得到OD⊥AC，则利用三角形外角性质得∠AOD=∠CAB+∠OEA=106°，再根据圆周角定理得到
，然后利用三角形外角性质可计算出∠DPA的度数．
详解】（Ⅰ）连接，如图①，
为切线，
，
，
，
，
，
；
（Ⅱ）如图②，
点为的中点，
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．
13.如图，AB为的直径，CD是弦，且于点E，连接AC,OC,BC．
（1）求证：．
（2）若，，求的直径．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，可求得，又因为是等腰三角形，即可求证；
（2）设的半径为，则，，利用垂径定理得到 ，在中，利用勾股定理即可得到的半径为，进而即可得到直径．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）设的半径为，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
即，，
解得，，
所以直径为．
【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等、垂径定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握运用以上知识点．
14.如图，等边三角形内接于，是上一动点，连接，，，延长到点，使，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）填空：
①若，，则的长为____________；
②当的度数为_________时，四边形为菱形．
【答案】（1）证明见解析；（2）①3；②30°．
【解析】
（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，根据圆周角定理可得∠CBD=∠CAD，∠ABC=∠ADC，根据角的和差关系及外角性质可得∠ABD=∠ACE，利用SAS可证明△ABD≌△ACE，可得AD=AE，即可得△ADE是等边三角形；
（2）①根据线段的和差关系可得DE的长，由（1）可知△ADE是等边三角形，可得AD=DE，即可得答案；②如图，连接OB.OC，根据圆周角定理可知∠BOC=2∠BAC=120°，根据等腰三角形的性质可得∠OCB=30°，根据菱形的性质可得∠BCD=30°，根据圆周角定理可得∠BAD=∠BCD=30°，可得答案．
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∵∠CBD与∠CAD是所对的圆周角，
∴∠CBD=∠CAD，
同理可得：∠ABC=∠ADC=60°，
∵∠ACE=∠CAD+∠ADC，
∴∠ACE=∠ABC+∠CBD=∠ABD，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，
∴△ADE是等边三角形．
（2）①∵BD=CE=1，DE=CD+CE，CD=2，
∴DE=3，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=3．
故答案为：3
②如图，连接OB.OC，
∵∠BAC和∠BOC分别是所对的圆周角和圆心角，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=30°，
∵四边形为菱形，
∴∠BCD=∠OCB=30°，
∵∠BAD和∠BCD都是所对的圆周角，
∴∠BAD=∠BCD=30°，
∴当的度数为30°时，四边形为菱形．
故答案为：30°
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质及菱形的性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
15.古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．
【答案】（1）见解析；（2），解析
【解析】
本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．（1）连接OD，DB，由已知可得DE垂直平分OB，于是DB＝DO，而OB＝OD，所以DB＝DO＝OB，即△ODB是等边三角形，于是∠BDO＝60°，再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得∠CDB＝30°，从而可得∠ODC＝90°，所以OD⊥CD，所以CD是⊙O的切线；（2）连接OP，由已知条件得OP＝OB＝BC＝2OE，再利用“两组边成比例，夹角相等”证明△OEP∽△OPC，最后由相似三角形的对应边成比例得到结论．
【详解】解：（1）如答图，连接OD，DB，∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，∴DE垂直平分OB，∴DB＝DO．∵DO＝OB，∴DB＝DO＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠BDO＝∠DBO＝60°．∵BC＝OB＝BD，且∠DBE为△BDC的外角，∴∠BCD＝∠BDC＝∠DBO．∵∠DBO＝60°，∴∠CDB＝30°．∴∠ODC＝∠BDO＋∠BDC＝60°＋30°＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；
（2）这个确定的值是．
证明：如答图，连接OP，∵OP＝OB＝BC＝2OE，∴＝＝，又∵∠COP＝∠POE，∴△OEP∽△OPC，∴＝＝．
【点拨】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
16. 如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C且与边AE，CE分别交于点D，F，点 B是上一点，且＝ ，连接AB，BC，CD．
（1）求证：△CDE≌△ABC；
（2）若AC为⊙O的直径，填空：
①当∠E＝_______时，四边形OCFD为菱形；
②当∠E＝_______时，四边形ABCD为正方形．
【答案】（1）见解析；（2）① 60°；② 45°．
【解析】
（1）先判断出，进而得出，即可得出结论；
（2）①先判断出点是的中点，再利用，点是 的中点，即可得出，即可得出结论；
②先判断出，，进而得出，再判断出，即可得出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴∠DCE＝∠BAC，
∵∠CDE是圆内接四边形ABCD的外角，
∴∠CDE＝∠ABC，
在△CDE和△ABC中，
∴△CDE≌△ABC(AAS)；
（2）如图1，①连接，
是直径，
，，
四边形是菱形，
，，
，
（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），
，
（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），
，
（垂直平分线上的点到两端点的距离相等），
，
，
是等边三角形，
∴；
②四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形．
∴．
【点拨】本题是圆的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和等腰直角三角形的判定，三角形的中位线，判断出是解本题的关键．
17.如图，已知∠MAN，按下列要求补全图形．（要求利用没有刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
①在射线AN上取点O，以点O为圆心，以OA为半径作⊙O分别交AM、AN于点C.B；
②在∠MAN的内部作射线AD交⊙O于点D，使射线AD上的各点到∠MAN的两边距离相等，请根据所作图形解答下列问题；
（1）连接OD，则OD与AM的位置关系是 ，理论依据是 ；
（2）若点E在射线AM上，且DE⊥AM于点E，请判断直线DE与⊙O的位置关系；
（3）已知⊙O的直径AB＝6 cm，当弧BD的长度为 cm时，四边形OACD为菱形．
【答案】（1）平行；内错角相等，两直线平行；（2）相切，理由见解析；（3）π
【解析】
（1）根据角平分线的定义、圆的性质可得，根据内错角相等，两直线平行即可得证；
（2）利用切线的定义即可判定；
（3）根据菱形的性质、圆的半径相等可得是等边三角形，利用等边三角形的性质可得，可得，利用弧长公式即可求解．
【详解】解：补全图形如下：
；
（1），
∵根据作图可知AD平分∠MAN，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（内错角相等，两直线平行）；
（2）相切，理由如下：
∵DE⊥AM，，
∴，
∴直线DE与⊙O相切；
（3）∵四边形OACD菱形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴ ．
【点拨】本题考查尺规作图、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、弧长公式等内容，掌握上述基本性质定理是解题的关键．
18.如图，在中，，，以边上上一点为圆心，OA为半径作，恰好经过边的中点，并与边相交于另一点．
（1）求证:是的切线．
（2）若，是半圆上一动点，连接，，．填空：
①当的长度是________时，四边形是菱形；
②当的长度是___________时，是直角三角形．
【答案】（1）见解析 （2）① ②或
【解析】
（1）首先连接OD，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，⊙O恰好经过边BC的中点D，易得AB=BD，继而证得∠ODB=∠BAC=90°，即可证得结论；
（2）①易得当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形，然后求得∠AOE的度数，半径OD的长，则可求得答案；
②分别从∠ADE=90°，∠DAE=90°，∠AED=90°去分析求解即可求得答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵在中，，，
∴，
∵是的中点，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，即，
∴是的切线.
（2）解：①当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形；
如图2，设DE交AC于点M，连接OE，则DE=2DM，
∵∠C=30°，
∴CD=2DM，∴DE=CD=AB=BC，
∵∠BAC=90°，
∴DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵AB=BD，
∴四边形ABDE是菱形；
∵AD=BD=AB=CD=BC=，
∴△ABD是等边三角形，OD=CD•tan30°=1，
∴∠ADB=60°，
∵∠CDE=90°-∠C=60°，
∴∠ADE=180°-∠ADB-∠CDE=60°，
∴∠AOE=2∠ADE=120°，
∴的长度为：；
故答案为：；
②若∠ADE=90°，则点E与点F重合，此时
的长度为：=π；
若∠DAE=90°，则DE是直径，则∠AOE=2∠ADO=60°，此时
的长度为：π；
∵AD不是直径，∴∠AED≠90°；
综上可得：当的长度是π或π时，△ADE是直角三角形．
故答案为：π或π．
【点拨】本题属于圆的综合题．考查了切线的判定与性质、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及弧长公式等知识．注意准确作出辅助线，利用分类讨论思想求解是解题的关键．
19.如图，是的直径，是半圆上任意一点，连接并延长到点，使得，连接，点是弧的中点．
（1）证明：．
（2）①当 时，是直角三角形；
②当 时，四边形是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）①135，②60
【解析】
（1）根据，，可证得；
（2）①根据是直角三角形，可得，由，可求出的度数；
②由四边形是菱形可得，均为等边三角形，则，得，即可求出.
【详解】（1）是的直径，
，
又，，
；
（2）①∵是直角三角形，，
，
，
；
②∵四边形是菱形，，
∴，均为等边三角形，
∴，
∵，
，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆内接四边行的性质，灵活运用各性质定理进行推理计算是解题的关键．
20.如图，已知为的直径，点在上，的平分线交于点，过点作的垂线，垂足为，直线与的延长线交于点．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）．
【解析】
(1) 是的平分线，所以，证明，推出，即可得出结论；
(2)由，推出，即，解得，由，，由此即可计算．
【详解】解：（1）证明：连接，如图所示：
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为切线；
（2）连接，
在中，，，
，
∴，，设半径为，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∵是直径，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查直线与圆的位置关系、切线的判定、解直角三角形、平行线的性质、锐角三角函数等知识，学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识是解题的关键．
21.如图，点在直线上，点沿着直线以厘米/秒的速度由点向右运动，以为边作，使，，点在点右侧，厘米，过点作直线，过的外接圆圆心作于点，交右侧的圆弧于点．在射线上取点，使，以、为邻边作矩形．设运动时间为秒．
（1）直接用含的代数式表示、；
（2）当时，求矩形的最大面积；
（3）点在整个运动过程中，当矩形为正方形时，求的值．
【答案】（1），；（2）；（3）的值为或
【解析】
（1）根据AQ=3t，利用三角函数求得，然后利用勾股定理求出，过点O作OM⊥AQ于M，则，由三角形中位线定理得出，得出；
（2）设矩形DEGF的面积为S，根据，，即可得到，然后利用矩形面积公式和二次函数的性质求解即可；
（3）根据四边形DEGF是正方形，得到DE=DF，然后分和时进行讨论求解即可.
【详解】解：（1）∵点Q沿着直线l以3厘米/秒的速度由点A向右运动，
∴AQ=3t，
∵∠BAQ=90°，
∴，
∴，
∴，
过点O作OM⊥AQ于M，则，
∴∠DOM=90°，OM为三角形ABQ的中位线，
∴
又∵OD⊥CD，AQ⊥CD，
∴∠QCD=∠QDC=90°，
∴四边形OMCD是矩形，
∴，OD=CM
∴；
（2）设矩形DEGF的面积为S，
∵，，
∴，
∴，
∴当时，矩形DEGF的最大面积为；
（3）当矩形DEGF为正方形时，则DE=DF，分两种情况：
①当时，如图所示，，
∴，
解得；
②当时，，
∴，
解得；
∴综上所述，当矩形DEGF为正方形时t的值为或3.
【点拨】本题主要考查了垂径定理，三角函数，勾股定理，矩形的性质与判定，正方形的性质，二次函数的最值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.