中考数学（吉林卷）-2024年中考数学第三次模考试

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第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．如图，数轴上的两个点分别表示数和，则可以是（ ）
A．0B．C．D．2
【答案】．C
【解析】由数轴上点的位置可知，
∴四个选项中只有C选项符合题意，故选：C．
2．2024年清明小长假期间，长春站客流主要以短途流为主，预计发送旅客505000人次．505000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：505000这个数用科学记数法表示为，故选：C．
3．如图，是由五块相同的小正方体搭成的几何体，若移走标号中的一块小正方体，几何体的俯视图没有发生改变，则移走的小正方体是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】A
【解析】观察图形可知，若移走标号中的一块小正方体，
几何体的俯视图没有发生改变，则移走的小正方体是①．故选：A．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：B．
5．如图，在中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由图知，平分，垂直平分
∴，故A选项正确，不符合题意；
∴，，
中，
∴
∴，故B项正确，不符合题意；
∵，
∴
∴，故C项正确，不符合题意；
∴
∴，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
6．如图，四边形内接于，过点B作于点H，若，，则的长度为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】解：∵四边形内接于，，
∴，
∵，，
∴，故选B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
7．计算 ．
【答案】5
【解析】．
故答案为：5．
8．把多项式分解因式的结果是 ．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
9．化简： ．
【答案】
【解析】原式
．
故答案为：．
10．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值是 ．
【答案】
【解析】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得．
故答案为：．
11．我国古代数学著作《孙子算经》中记载“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何?其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少?设共有车x辆，可求得x的值为 ．
【答案】15
【解析】根据题意得：，解得：，的值为15．
故答案为：15．
12．同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与“小孔”的距离是光屏与“小孔”距离的一半，且蜡烛与光屏始终垂直于水平面，当蜡烛火焰的高度为时，所成的像的高度为 ．
【答案】
【解析】由题意得，，
∴，
∵蜡烛与“小孔”的距离是光屏与“小孔”距离的一半，
∴，
∴，
故答案为：．
13．图中的交通禁令标志是停车让行标志，此标志形状为各角均相等的八角形，在中间加停字，红底白字白边，表示车辆必须在停止线以外停车瞭望，确认安全后，才准许通行，该标志中八角形的一个内角是 度．
【答案】135
【解析】正八边形的内角和为：，
正八边形一个内角为：，
故答案为：135．
14．在中；．将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，点在内，当时，过点作于点．若，，则的长为 ．

【答案】
【解析】由旋转可得，，，，，
，，
，
，
，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，即，
解得：，即，
，
，，
，
，即，解得：，
故答案为：．
三、解答题（本大题共12个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（5分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】，
将代入原式
16．（5分）2023年9月5日，长春市第一届运动会开幕式在长春奥林匹克公园体育场举行．本次赛会以 “同享市运精彩，共创长春未来”为主题，会徽取抽象的运动人物造型和长春的首位字母“C”融合变形塑造，吉祥物“鹿娃”充分展现了“宽容大气、自强不息”的长春城市精神．现有三张不透明卡片，其中一张卡片的正面图案为会徽，另外两张卡片的正面图案都为吉祥物“鹿娃”，卡片除正面图案不同外其余均相同，将这三张卡片背面向上并搅匀．
(1)若小明从中随机抽取一张，“抽到卡片上的图案是会徽”是______事件（填“随机”“不可能”或“必然”）．
(2)若小明从中随机抽取一张，记下卡片上的图案后背面向上放回，重新搅匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“鹿娃”的概率．（图案为会徽的卡片记为A，图案为吉祥物的两张卡片分别记为、）
【答案】(1)随机(2)
【解析】（1）解：“抽到卡片上的图案是会徽”可能发生也可能不发生，是随机事件，
故答案为：随机；
（2）画出树状图如图：

由图知，共有9种等可能的结果，其中小明两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“鹿娃”的结果有4种，
∴．
17．（5分）如图，，，，与交于点，与交于点，求证：．
【答案】见解析
【解析】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
18．（5分）刚过去的冬天最热门的地方莫过于哈尔滨冰雪大世界了，冰天雪地的环境吸引着众多游客的到来．春节期间李老师一家从长春乘坐高铁去哈尔滨，返回时乘坐大巴车．已知去时高铁行驶的路程为，比返回时大巴车行驶的路程多，而高铁的平均速度比大巴车平均速度的2倍还多，乘坐大巴车所花时间是乘坐高铁时间的2倍．求大巴车的平均速度．
【答案】大巴车的平均速度为．
【解析】解：设大巴车的平均速度为，
由题意，得，解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：大巴车的平均速度为．
19．（7分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方的边长均为1，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，要求所画的三角形的顶点及线段的端点均在格点上，不要求写出画法，保留必要的作图痕迹．
(1)在图①中，以为腰画一个等腰直角三角形；
(2)在图②中，作线段（画一条即可）；
(3)在图③中，画线段，使与的夹角为（画一条即可）．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析
【解析】（1）解：如图①，即为所求；
（2）如图②，线段即为所求（答案不唯一）；
（3）如图③，线段即为所求（答案不唯一）．
20．（7分）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和，点在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的解析式和点的坐标．
(2)直接写出不等式的解集．
(3)连接，直接写出的面积．
【答案】(1)，(2)或(3)
【解析】（1）解：把点和代入得，，，
，，
点，，
反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和，
，
反比例函数的解析式为，
点在反比例函数的图象上．
，
；
（2）由图象可知：不等式的解集或；
（3）如图：过点作轴的垂线，交于点，则，
，
，
．
21．（7分）九年级一班邀请A、B、C、D、E五位评委对甲、乙两位同学的才艺表演打分，并组织全班50名同学对两人进行民意测评投票，绘制了如下的统计表和不完整的条形统计图，并求得了五位评委对甲同学才艺表演所打分数的平均分和中位数：（分）；中位数是91分．
五位评委的打分表
(1)求五位评委对乙同学才艺表演所打分数的平均分和中位数；
(2)________，并补全条形统计图；
(3)为了从甲、乙二人中选拔出一人去参加艺术节演出，班级制定了如下的选拔规则：选拔综合分最高的同学参加艺术节演出，其中：才艺分五位评委所打分数中去掉一个最高分和去掉一个最低分，再算平均分；测评分“好”票数分“较好”票数分“一般”票数分；综合分才艺分测评分（）；当时，通过计算说明应选拔哪位同学去参加艺术节演出？
【答案】（1)平均数是91分；中位数是90分；(2)8，见解析
(3)应选拔甲同学去参加艺术节演出，计算见解析
【解析】（1）（分）；中位数是90分．
（2），补全条形统计图如图．
（3）甲的才艺分（分），
甲的测评分（分），
甲的综合分（分）；
乙的才艺分（分）
乙的测评分（分），
乙的综合分（分）．
∵甲的综合分乙的综合分，
∴应选拔甲同学去参加艺术节演出．
22．（7分）如图①是一台电脑支架，图②是其侧面示意图，、可分别绕、转动，测量知，，当、转动到，时，求点到的距离的长（参考数据：，，）．
【答案】点到的距离的长为
【解析】解：过点作，，垂足分别为、，
，，，
四边形是矩形，，
，，
，
在中，
，
，
在中，，
，
，
，
答：点到的距离的长为．
23．（8分）子涵同学在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为的柜子里．她把碗按下图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里．
【探究发现】子涵同学测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如下表：
【建立模型】
（1）请根据表中信息，在如图②的平面直角坐标系中描出对应点，并指出这些点的分布规律．
（2）求与的函数关系式，并求当碗的个数量为12个时这摞碗的总高度．
【结论应用】请帮子涵同学算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？
【答案】[图见解析]；（1）这些点在一条直线上
（2）当碗的个数为12个时，这摞碗的总高度为22厘米
[结论应用]：一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里
【解析】[建立模型]
（1）如图，
这些点在一条直线上．
（2）设与之间的函数关系式为．
将点、代入，得
解得
与之间的函数关系式为．
时，．
当碗的个数为12个时，这摞碗的总高度为22厘米．
[结论应用]
时，，
所以一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里．
24．（8分）【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图所示，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E．将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有：角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：如图所示，是的平分线，点P是上的任意一点，，，垂足分别为点D和点E．
求证：．
分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．
（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
【定理应用】
（2）如图②，已知是的平分线，点P是上的任意一点，点D、E分别在边上，连结，．若，，则的长为______．
（3）如图③，在平行四边形中，，平分交于点E，连结，将绕点E旋转，当点C的对应点F落在边上时，若，则四边形的面积为______．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）
【解析】（1）证明：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）作，垂足分别为点M和点N，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故答案为：5；
（3）作，垂足分别为点M和点N，
由于绕点E旋转，点C的对应点F落在边上，即，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形的面积，
故答案为：．
25．（10分）如图，在中，，，，点M为边的中点．点Q从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度先沿运动到点B，再沿向终点A运动，以为邻边构造，设点Q运动的时间为t秒．
(1)当点E落在边上时，求t的值；
(2)当点P在边上运动时，设的面积为，求S与t之间的函数关系式；
(3)连接，直接写出将分成的两部分图形面积相等时t的值．
【答案】(1)；(2)当时，；当时，
(3)当点E落在线段上时，将分成的两部分图形面积相等．有两种情形：秒，秒
【解析】（1）当点E落在边上时，，
，，
∵，∴，∴，∴；
（2）①如图1，当时，作于N，
∵，
∴，则，
∴
②如图2，
当时，同法可得；
（3）当点E落在直线上时，将分成的两部分面积相等，有两种情况：
①当点E在上，且点P在上时，如图，
过点E作于G，过点M作于H，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
当点P在上时，此时点E在上符合题意，作于F，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，解得，
综上：当点E落在线段上时，将分成的两部分图形面积相等．
有两种情形：秒，秒．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，点P、点Q均在此抛物线上，其横坐标分别为m、，抛物线上点P、Q之间的部分记为图像G（包括点P、点Q）．连接，以为对角线作矩形，且矩形的各边均与坐标轴平行或垂直．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当时，该二次函数的最大值是______，最小值是______；
(3)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围；
(4)当矩形的面积被坐标轴平分，且该抛物线的最低点是图像G的最低点时，求m的值．
【答案】(1)；(2)，；(3)或；(4)或
【解析】（1）将点代入可得，解得：，
所以此抛物线的解析式．
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为：，
∵，
∴当时，有最小值，
∵，
∴当时，有最大值．
故答案为：，．
（3）解： ∵点P、点Q均在此抛物线上，其横坐标分别为m、，
∴，，
∴,，
∵抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，
∴，或
解得：或；
（4）解：∵点P、点Q均在此抛物线上，其横坐标分别为m、，
∴，，
∴,，
∵矩形的面积被坐标轴平分，且该抛物线的最低点是图像G的最低点时，
①当矩形的面积被x轴平分，则，
∴点P、点Q的纵坐标互为相反数，
∴，解得：（不符合题意）或，
②当矩形的面积被y轴平分，则，
∴点P、点Q的横坐标互为相反数，
∴，解得：
∴当或时，矩形的面积被坐标轴平分，且该抛物线的最低点是图像G的最低点．A
B
C
D
E
甲
89
91
93
94
86
乙
88
87
90
98
92
碗的个数（个）
1
2
3
4
5
这摞碗的总高度（厘米）
5.5
7
8.5
10
11.5