中考数学（海南卷）-2024年中考数学第三次模考试

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3、三模考试大概在中考前两周左右，三模是中考前的最后一次考前检验。三模学校会有意降低难度，目的是增强考生信心，难度只能是中上水平，主要也是对初中三年的知识做一个系统的检测，让学生知道中考的一个大致体系和结构。
2024年中考第三次模拟考试（海南卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．如果高于海平面100m记作+100m，那么低于海平面50m应该记作（ ）
A．+50mB．﹣50mC．D．﹣100m
【答案】B
【解析】解：∵高于海平面100m记作+100m，
∴低于海平面50m应该记作﹣50m．
故选：B．
2．我们用大数据分析《全唐诗》中有四季出现的诗篇，发现四个季节出现的次数从大到小排序为：春、秋、夏、冬，出现次数最多的“春”字出现了约21000次．将数字21000用科学记数法表示为（ ）
A．0.21×105B．2.1×104C．2.1×105D．21×103
【答案】B
【解析】解：21000用科学记数法表示为2.1×104．
故选：B．
3．计算（﹣2m）3÷（﹣m）的结果是（ ）
A．8mB．﹣8mC．8m2D．﹣8m2
【答案】C
【解析】解：（﹣2m）3÷（﹣m）＝﹣8m3÷（﹣m）＝8m2，
故选：C．
4．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
5．春节期间，小星从三部热门电影《飞驰人生2》《热辣滚烫》《熊出没•逆转时空》中随机选取一部观看，则恰好选中《热辣滚烫》的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：随机选取一部观看，则恰好选中《热辣滚烫》的概率＝．
故选：B．
6．下列运算中，结果正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．2a2﹣a2＝2C．（3a）2＝3a2D．（a3）2＝a6
【答案】D
【解析】解：A．a2+a3不能计算，故本选项不符合题意；
B.2a2﹣a2＝a2，故本选项不符合题意；
C．（3a）2＝9a2，故本选项不符合题意；
D．（a3）2＝a6，故本选项符合题意；
故选：D．
7．将抛物线y＝x2向左平移一个单位，得到的新抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2﹣1B．y＝x2+1C．y＝（x﹣1）2D．y＝（x+1）2
【答案】D
【解析】解：由题意，根据二次函数的变化规律“左加右减，上加下减”，
又抛物线y＝x2向左平移一个单位，
∴新抛物线的解析式是y＝（x+1）2．
故选：D．
8．房梁的一部分如图所示，其中BC⊥AC，∠B＝60°，BC＝2，点D是AB的中点，且DE⊥AC，垂足为E，则AE的长是（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】A
【解析】解：∵BC⊥AC，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4，
∵点D是AB的中点，且DE⊥AC，
∴∠ADE＝90°，
AD＝AB＝2，
∴DE＝AD＝1，
∴AE＝＝＝，
故选：A．
9．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数是（ ）
A．110°B．115°C．120°D．125°
【答案】A
【解析】解：连接AC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝∠AED＝20°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+20°＝110°．
故选：A．
10．如图，AB∥CD，AD∥BE，AE与CD交于点O，CD＝3OD，若BE＝12，则线段AD的长为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【解析】解：∵AB∥CD，AD∥BE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵CD＝3OD，
∴OC＝2OD，
∵AD∥BE，
∴△AOD∽△EOC，
∴＝＝，
∴CE＝2AD，
∵BE＝12，
∴BC+CE＝AD+2AD＝3AD＝12，
∴AD＝4，
故选：C．
11．如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点E，交OB于点F，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P，点T在射线OP上，过点T作TM⊥OA，TN⊥OB，垂足分别为点M，N，点G，H分别在OA，OB边上，TG＝TH．若OM＝3，则OG+OH的值为（ ）
A．B．6C．D．9
【答案】B
【解析】解：由作法得OT平分∠AOB，
∵TM⊥OA，TN⊥OB，
∴TM＝TN，
在Rt△OTM和Rt△OTN中，，
∴Rt△OTM≌Rt△OTN（HL），
∴OM＝ON，
在Rt△TNH和Rt△TMG中，，
∴Rt△TNH≌Rt△TMG（HL），
∴NH＝GM，
∴OG+OH＝OM﹣GM+ON+NH＝OM﹣NH+OM+NH＝2OM＝2×3＝6．
故选：B．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边OA，OB分别在y轴和x轴上，已知对角线OC＝5，tan∠BOC＝．F是BC边上一点，过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与AC边交于点E，若将△CEF沿EF翻折后，点C恰好落在OB上的点M处，则k的值为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】D
【解析】解：过点E作ED⊥OB于点D，
∵对角线OC＝5，tan∠BOC＝，
∴BC＝3，BO＝4，
∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的M点处，
∴∠EMF＝∠C＝90°，EC＝EM，CF＝MF，
∴∠DME+∠FMB＝90°，
而ED⊥OB，
∴∠DME+∠DEM＝90°，
∴∠DEM＝∠FMB，
∴Rt△DEM∽Rt△BMF；
又∵EC＝AC﹣AE＝4﹣，CF＝BC﹣BF＝3﹣，
∴EM＝4﹣，MF＝3﹣，
∴＝＝；
∴ED：MB＝EM：MF＝4：3，而ED＝3，
∴MB＝，
在Rt△MBF中，MF2＝MB2+BF2，即（3﹣）2＝（）2+（）2，
解得：k＝，
故选：D．
第Ⅱ卷
填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．如果代数式在实数范围内有意义，那么实数x的取值范围是 ．
【答案】x≠3．
【解析】解：由题意得：x﹣3≠0，
解得：x≠3，
故答案为：x≠3．
14．9的算术平方根是 ．
【答案】3．
【解析】解：9的算术平方根是3．
故答案为：3．
15．如图，点A在曲线y1＝（x＞0）上，点B在双曲线y2＝（x＜0）上，AB∥x轴，点C是x轴上一点，连接AC、BC，若△ABC的面积是6，则k的值为 ．
【答案】﹣10．
【解析】解：如图，连接OA，OB，AB与y轴交于点M，
∵AB∥x轴，点A双在曲线y1＝（x＞0）上，点B在双曲线y2＝（x＜0）上，
∴S△AOM＝×|2|＝1，S△BOM＝×|k|＝﹣k，
∵S△ABC＝S△AOB＝6，
∴1﹣k＝6，
∴k＝﹣10．
故答案为：﹣10．
16．如图，某兴趣小组运用数学知识设计徽标，将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，取名为“火箭”，并过该图形的A，B，C三个顶点作圆，则该圆的半径长是 ．
【答案】．
【解析】解：∵将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，如图，连接OB，
∴AD＝2+4+2+2＝10，BC＝2+2+2＝6，
∴．
设该圆的半径长是x，则OB＝x，OD＝10﹣x，
在Rt△OBD中，由勾股定理得x2＝（10﹣x）2+32，
解得．
∴该圆的半径长是，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（12分）（1）计算：﹣（﹣2）2×3﹣1﹣（﹣2+5）．
（2）化简．
【答案】（1）﹣；
（2）．
【解析】解：（1）﹣（﹣2）2×3﹣1﹣（﹣2+5）
＝﹣4×﹣3
＝﹣﹣3
＝﹣；
（2）÷（1﹣）
＝÷
＝÷
＝•
＝．
18．（10分）随着昆明地铁的不断修建完善，极大程度地改善和方便了广大市民的出行，有效缓解了城市交通拥堵情况．从昆明地铁2号线甲站到乙站，市民张先生由原来地面自驾车辆改为乘坐地铁，路程由原来的15千米缩短为10千米，而张先生乘坐地铁比自驾车辆少花15分钟，已知乘坐地铁的平均速度是自驾车辆平均速度的1.5倍．求张先生乘坐地铁的平均速度是每小时多少千米？
【答案】50千米/时．
【解析】解：设张先生自驾车辆的平均速度是每小时x千米，则张先生乘坐地铁的平均速度是每小时1.5x千米，
根据题意得：﹣＝，
解得：x＝，
经检验，x＝是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×＝50（千米/时）．
答：张先生乘坐地铁的平均速度是每小时50千米．
19．（10分）2021年4月，教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中明确要求保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间．某校为了解本校学生校外体育活动情况，随机对本校160名学生某天的校外体育活动时间进行了调查，并按照体育活动时间分A，B，C，D四组整理如下：
根据以上信息解答下列问题：
（1）制作一个适当的统计图，表示各组人数占所调查人数的百分比；
（2）小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如上折线统计图．请计算小明本周内平均每天的校外体育活动时间；
（3）若该校共有2400名学生，请估计该校每天校外体育活动时间不少于1小时的学生人数．
【答案】（1）见解析；
（2）60；
（3）1680．
【解析】解：（1）由于各组人数占所调查人数的百分比，因此可以采用扇形统计图；
（2）＝64（分），
答：小明本周内平均每天的校外体育活动时间为64分钟；
（3）2400×＝1680（名），
答：该校2400名学生中，每天校外体育活动时间不少于1小时的大约有1680名．
20．（10分）如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4m．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2m的通道，试判断距离B点4m的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（结果精确到0.01m，已知≈1.41，≈1.73，≈2.45）
【答案】见试题解析内容
【解析】解：（1）在Rt△ABD中，AD＝ABSin45°＝4×＝2（m），
在Rt△ABD中，∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD＝4≈5.64（m），
答：新传送带AC的长度约为5.64m；
（2）在Rt△ABD中，BD＝ABcs45°＝4×＝2（m），
在Rt△ACD中，CD＝ABcs30°＝4×＝2（m），
∴CB＝CD﹣BD＝2﹣2≈2.08（m），
∵PC＝PB﹣CB≈4﹣2.08＝1.92＜2，
∴货物MNQP需要挪走．
21．（15分）【综合运用】如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（4，3），点P，Q分别是线段OA，AC上的动点，在运动过程中保持AP＝CQ，连接PC，PQ，BQ．
（1）当∠CQP＝90°时，求点P的坐标；
（2）设△APQ的面积为S，求S的最大值；
（3）设BQ+PC＝d，求d的最小值及此时点P的坐标．
【答案】（1）P（，0）；（2）S有最大值为；（3）d的最小值为，此时点P的坐标为（，0）．
【解析】解：（1）∵点B的坐标为（4，3），四边形OABC为矩形，
∴OA＝BC＝4，OC＝AB＝3，
∴AC＝＝5．
当∠CQP＝90°时，设OP＝a，则AP＝CQ＝4﹣a，
∴AQ＝AC﹣CQ＝a+1．
∵∠AQP＝∠O＝90°，∠PAQ＝∠CAO，
∴△APQ∽△ACO，
∴，
∴，
∴a＝．
∴P（，0）；
（2）过点Q作QH⊥OA于点H，如图，
设OP＝a，则AP＝CQ＝4﹣a，
∴AQ＝AC﹣CQ＝a+1．
∵QH⊥OA，OC⊥OA，
∴QH∥OC，
∴△AQH∽△ACO，
∴，
∴，
∴QH＝a+．
∴S＝AP•QH
＝（4﹣a）（）
＝﹣．
∵＜0，
∴当a＝时，S有最大值为；
（3）在AC上截取AE＝BC，作出点C关于x轴的对称点C′，连接PE，PC′，EC′，过点E作EM⊥OC于点M，如图，
则点C′（0，﹣3），
∵点C′，点C关于x轴对称，
∴PC＝PC′．
∵OA∥BC，
∴∠OAC＝∠BCA．
在△APC和△CQB中，
，
∴△APC≌△CQB（SAS），
∴PE＝BQ．
∴d＝BQ+PC＝PE+PC′．
∵PE+PC′≥C′E，
∴当点C′，P，E三点在一条直线上时，PE+PC′取得最小值为C′E，即d的最小值为C′E．
∵AE＝BC＝4，AC＝5，
∴CE＝1．
∵EM∥OA，
∴△CEM∽△CAO，
∴，
∴，
∴CM＝，EM＝，
∵OC＝3，C′（0，﹣3），
∴CC′＝6，
∴C′M＝6﹣＝．
∴C′E＝＝＝．
∵OC＝3，CM＝，
∴OM＝，
∴E（，）．
设直线CC′的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴．
∴直线CC′的解析式为y＝x﹣3．
令y＝0，则x﹣3＝0，
∴x＝．
∴P（，0）．
∴d的最小值为，此时点P的坐标为（，0）．
22．（15分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q，连接BP，当时，求点P的坐标；
（3）点M为抛物线上的点，当∠BCM＝∠ACO时，直接写出点M的坐标．
【答案】（1）y＝﹣2+x+4；（2）P（2，4）；（3）（8，﹣20）或（．
【解析】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，
∴，
∴，
∴y＝﹣2+x+4；
（2）如图1，
∵，
∴，
作PD∥y轴，交BC于D，
∴，
∵OC＝4，
∴PD＝2，
∵B（4，0），C （0，4），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
设P（m，﹣m2+m+4），则D（m，﹣m+4），
∴PD＝（﹣+m+4）﹣（﹣x+4）＝﹣+2m＝2，
∴m1＝m2＝2，
当m＝2时，y＝﹣＝4，
∴P（2，4）；
（3）如图2，
设CM交x轴于D，作DG⊥CM，交直线AC于G，过点D作EF∥y轴，作CE⊥EF于E，作GF⊥EF于F，
∵∠ACO＝∠BCM，
∴∠ACO+∠DCO＝∠BCM+∠DCO＝45°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠CGD＝90°﹣∠ACD＝45°，
∴∠ACD＝∠CGD，
∴CD＝DG，
∵∠CDG＝90°，
∴∠CDE+∠GDF＝90°，
∵∠E＝∠F＝90°，
∴∠GDF+∠DGF＝90°，
∴∠CDE＝∠DGF，
∴△CDE≌△DGF（AAS），
∴FG＝DE＝4，DF＝CE，
设OD＝a，
∴DF＝CE＝OD＝a，
∴G（a﹣4，﹣a），
∵C（0，4），A（﹣2，0），
∴直线AC的解析式为y＝2x+4，
∴2（a﹣4）+4＝﹣a，
∴a＝，
∴D（，0），
∴直线CM的解析式为y＝﹣3x+4，
由﹣3x+4＝﹣+x+4得，
x1＝0（舍去），x2＝8，
当x＝8时，y＝﹣3×8+4＝﹣20，
∴M1（8，﹣20），
如图3，
设射线CM交x轴于T，
∵OC＝OB＝4，∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
由上知：tan∠OCD＝，∠BCD＝∠ACO，∠BCD+∠OCD＝45°，
∵∠BCM+∠CTB＝∠OBC＝45°，∠BCM＝∠ACO，
∴∠CTB＝∠OCD，
∴tan∠CTB＝，
∴，
∴OT＝3OC＝12，
∴直线CT的解析式为y＝﹣x+4，
由﹣x+4＝﹣2+x+4得，
x1＝0（舍去），x2＝，
当x＝时，y＝﹣＝，
∴M2（，
综上所述：M（8，﹣20）或（．组别
体育活动时间/分钟
人数
A
0≤x＜30
10
B
30≤x＜60
40
C
60≤x＜90
94
D
x≥90
16