高中数学RJB必修第一册 1.1.1 第2课时 集合的表示方法 PPT课件

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第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合1.1.1 集合及其表示方法第2课时　集合的表示方法基础知识列举法把集合中的元素一一列举出来 (相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法。思考1：用列举法可以表示无限集吗？提示：可以。但构成集合的元素必须具有明显的规律，并且表示时要把元素间的规律呈现清楚，如正整数集N＋可表示为{1,2,3,4,5,6，…}．例如，由两个元素 0，1 组成的集合可用列举法表示为{0，1};又如，24的所有正因数1，2，3，4，6，8，12，24 组成的集合可用列举法表示为{ 1，2，3，4，6，8，12，24 };再如，中国古典长篇小说四大名著组成的集合可以表示为{《红楼梦》，《三国演义》，《水浒传》，《西游记》}.用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序，例如，{1，2}与{2，1} 表示同一个集合。但是，如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不至于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示。例如，不大于 100 的自然数组成的集合，可表示为{0，1，2，3，...，100}，无限集有时也可用列举法表示。例如，自然数集 N可表示为 {0，1，2，3，...，n，…}，值得注意的是，只含一个元素的集合{a}也是一个集合，要将这个集合与它的元素 a 加以区别，事实上，a∈{a}描述法尝试与发现以下集合用列举法表示方便吗? 如果不方便，你觉得可以怎样表示?满足x>3的所有数组成的集合 A;(2)所有有理数组成的集合Q.显然，用列举法表示上述集合并不方便，但因为集合 A 中的元素x都具有性质“x 是大于 3 的数”，而不属于集合 A 的元素都不具有这个性质所以可以把集合 A 表示为{x |x 是大于3的数} 或{x| x >3},即A= {x | x是大于3的数)或A= { x | x>3 }.类似地，Q中的每一个元素都具有性质“是两个整数的商”，而不属于Q的元素都不具有这个性质，因此可以把Q表示为Q＝{x |x是两个整数的商} 上述表示集合的方法中，大括号内竖线的左边是元素的形式，竖线的右边是只有这个集合中的元素才满足的性质。一般地，如果属于集合 A 的任意一个元素x都具有性质 p(x)，而不属于集合 A 的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合 A 的一个特征性质。此时，集合 A 可以用它的特征性质p(x)表示为{x | p(x)}这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法。例如，“一组对边平行且相等的四边形”是平行四边形的一个特征性质，因此所有平行四边形组成的集合可以表示为{x| x 是一组对边平行且相等的四边形}又如，所有能被 3 整除的整数组成的集合，可以用描述法表示为{x| x=3n，n∈Z}类似地，所有被 3 除余 1 的自然数组成的集合可以表示为{x| x=3n+1，n∈N}不过这一集合通常也表示为{x∈N | x=3n+1，n∈Z}这就是说，集合{x| p(x)} 中所有在另一个集合 I 中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I | p(x)}典例精析用适当的方法表示下列集合：方程x(x－1)=0的所有解组成的集合A；平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B.(1)因为0和1是方程x(x－1)0的解，而且这个方程只有两个解，所以A={0，1}.(2)因为集合B的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此B={(x，y) | x>0，y>0)}.思考2：用列举法与描述法表示集合的区别是什么？提示：习惯上，如果a0且y>0}　 D．{(x，y)|x>0或y>0}解析：第一象限的点的横坐标和纵坐标都大于0，所以第一象限的点组成的集合可以表示为{(x，y)|x>0且y>0}．C 　 3.能被2整除的正整数组成的集合，用描述法可表示为____________________.4.下列集合：①{1,2,2}；②R＝{全体实数}；③{3,5}；④不等式x－5>0的解集为{x－5>0}．其中，集合表示方法正确的是_____(填序号)．5.(1){x|－1≤x≤2)}可用区间表示为___________；(2){x|12}可用区间表示为____________；(4){x|x≤－2}可用区间表示为______________.{x|x＝2n，n∈N*}　③　[－1,2]　(1,3]　(2，＋∞)　(－∞，－2]　典例剖析用列举法表示集合用列举法表示下列集合：(1)36与60的公约数构成的集合；(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根构成的集合； 思路探究：(1)要明确公约数的含义；(2)注意4是重根； (3)要写成点集形式。 归纳提升：1.用列举法表示集合的三个步骤(1)求出集合的元素。(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次。(3)用花括号括起来。2．在用列举法表示集合时的关注点(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．如本题(4)是点集，而非数集．集合的所有元素用有序数对表示，并用“{}”括起来，元素间用分隔号“，”。(2)元素不重复，元素无顺序，所以本题(1)中，{1,1,2}为错误表示。又如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合。对点训练  用描述法表示集合 思路探究：用描述法表示集合时，关键要先弄清元素的属性是什么，再给出其满足的性质，注意不要漏掉类似“x∈N”等条件。归纳提升：用描述法表示集合应注意的问题1．写清楚该集合中的代表元素，即弄清代表元素是数、点还是其他形式。2．准确说明集合中元素所满足的特征。3．所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的符号。4．用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系。对点训练2．给出下列说法：①在直角坐标平面内，第一、三象限内的点组成的集合为{(x，y)|xy>0}；②所有奇数组成的集合为{x|x＝2n＋1}；③集合{(x，y)|y＝1－x}与{x|y＝1－x}是同一集合．其中正确的有(　　 )A．1个　 B．2个　　C．3个　 D．4个A 　 解析：①正确；②不正确，应为{x|x＝2n＋1，n∈Z}；③不正确，{(x，y)|y＝1－x}表示的是点集，而{x|y＝1－x}表示的为数集．集合与方程的综合问题(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝(　　)A．1　 B．2 C．0　 D．0或1D 　   思路探究：(1)集合只有一个元素，即方程ax2＋2x＋1＝0只有一根； (2)先求出a的值，再求元素之积。  归纳提升：集合与方程综合问题的解题策略(1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题．如对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0，b≠0时，方程有一个解；当a≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数根；若Δ0，则方程有两个不等的实数根。(2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果．需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用。对点训练3．(1)已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值。 (2)若本例(1)中“只有一个元素”变为“至少有一个元素”， 求a的取值范围。解析：(1)由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2,3，因此a=5， b=6(2)A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素。由例题解析可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，Δ＝4－4a>0，即a