数学6.1.5 向量的线性运算课文ppt课件

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1. 掌握向量加法与数乘向量混合运算的运算律．2．理解向量线性运算的定义及运算法则．(重点)3．能利用向量的线性运算解决简单问题．(难点)
向量的加法运算、数乘向量运算，它们的结果都是向量，这就是说，这两者可以进行混合运算.例如，对于任意向量 a，式子(6a)十(2a) 是有意义的. 一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，总是规定要先算数乘向量，再算向量加法。因此，(6a)+(2a) 可以简写成 6a+2a.另外，不难看出 6a+2a=8a.
1.向量的加法与数乘向量的混合运算
一般地，对于实数ℷ与ℳ ，以及向量 a，有
这可以通过对ℷ ，从以及ℷ+ℳ 的符号进行讨论得到. 例如，当ℷ ， ℳ从都是正数时，不难看出ℷ a+ℳa 和 (ℷ+ℳ)a 的方向都与a 的方向相同，而且模都等于 (ℷ + ℳ)丨a丨，所以此时 ℷa+ ℳ a=(ℷ +ℳ)a.
如图 6-1-22 所示，下面我们来考虑 3a+3b 与3(a+b) 之间的关系。
化简:5a+b+2(a+b).
原式=5a+b+2a+2b=5a+2a+b+2b=(5+2)a+(1+2)b=7a+3b.
不难看出，向量的减法也能与向量的加法、数乘向量进行混合运算，向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算. 向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项。 因此，[a-(2b)]+(6a) 可以简单地写成a-2b+6a。
另外，由于向量的加法满足交换律与结合律，减去一个向量可以看成加上这个向量的相反向量，因此 a-2b+6a =a+(-2b)+6a=a+6a+(-2b)-7a+(-2b)-7a-2b. 事实上，当一个向量的线性运算中含有括号时，我们可以用类似多项式运算中拆括号的方式来去掉其中的括号，例如 -(a-2b)=-a+2b.
原式=2a+2-2a+2b=2a-2a+2b+2b=4b.原式=-a-b+c+2a-2b+2c=a-3b+3c.
(3) 原式=2a-b+2a=4a-b.(4) 原式=(ℷ+ℳ)a-(ℷ+ℳ)b+(ℷ-ℳ)a+(ℷ-ℳ)b=[(ℷ+ℳ)+(ℷ-ℳ)]a+[(ℷ-ℳ)-(ℷ+ℳ)]b=2ℷa+(-2ℳ)b=2ℷa-2ℳb.
向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两个有向线段表示的向量共线，必须说明构造的两个向量有公共点，否则两向量所在的基线可能平行，解题时常常会因忽视对公共点的说明而丢分．
已知M 为线段AB 的中点，且0 为任意一点，求证
由为线段AB 的中点可知 因此从而有即
已知 ， 求证: M 为线段AB 的中点.
从而有 ，即M为线段AB 的中点.例 4 与例 5的结果说明，M 为线段AB 中点的充要条件是
已知A，B，C 是三个不同的点， 求证:A，B，C 三点共线.
所以 因此 A，B，C三点共线.
1．由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何定理的应用．2．当用已知向量表示未知向量比较困难时，应考虑方程思想，利用方程的观点进行求解．
2.已知e是单位向量，且a=3e，b=-2e，求|a | ，|b | ， | a-3b |.3.已知 求证:a与b共线.
1.已知求证:M，P，Q三点共线.2 已知|a|=3，|b|=4，求|2a-3b|的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时 a 与b的关系。 3.己知 求证:A，B，C三点共线.4.已知△ABC与△DEF中， 求 的关系，并求出△ABC与△DEF的面积之比.
一、知识总结1．向量的线性运算要注意使用运算律展开括号，合并向量等．2．注意证向量共线与证三点共线的差别．二、方法归纳几何问题代数化．三、常见误区三点共线时有公共点．