[数学]辽宁省七校协作体2023-2024学年高二下学期期中试题（解析版）

这是一份[数学]辽宁省七校协作体2023-2024学年高二下学期期中试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A. 12B. 10C. 8D. 6
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，
因为，，可得，解得，
所以.
故选：B.
2. 相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析．方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下的数据得到回归直线方程，相关系数为．则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由散点图可知这两个变量为负相关，所以．
因为剔除点后，剩下点的数据更具有线性相关性，更接近1，
所以 ．
故选：D．
3. 下列求导运算中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A选项：，故A正确；
B选项：，故B正确；
C选项：，故C错误；
D选项：，故D正确.
故选：C
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17
B. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
C. “事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件
D. 若随机变量，满足，则
【答案】B
【解析】A选项，，故从小到大选取第8个和第9个数的平均数作为第80百分位数，即，A错误；
B选项，，故可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，B正确；
C选项，事件A，B互斥不能推出事件A，B对立，但事件A，B对立，则一定有事件A，B互斥，
故“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的必要不充分条件，C错误；
D选项，若随机变量，满足，则，D错误.
故选：B
5. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《胁子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?现有这样一个相关的问题：被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（ ）
A. 60B. 61C. 75D. 76
【答案】B
【解析】被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为，公差为的等差数列，
所以，
∴，
当且仅当，即时取等号，
∴当时取最小值为．
故选：B.
6. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】设，函数的定义域为，求导得，
当曲线在点处的切线平行于直线时，，
则，而，解得，于是，
平行于的直线与曲线相切的切点坐标为，
所以点到直线的最小距离即点到直线的距离．
故选：D
7. 下列说法错误的是（ ）
A. 若随机变量，则
B. 若随机变量服从两点分布，且，则
C. 若随机变量的分布列为，则
D. 若随机变量，则的分布列中最大的只有
【答案】D
【解析】A选项，，由正态分布的对称性可知，A正确；
B选项，若随机变量服从两点分布，且，
即分布列为：
所以
故，则，B正确；
C选项，分布列中概率之和为1，即，
解得，C正确；
D选项，随机变量，令，
即，解得，
因为，所以或3，
则的分布列中最大的有或，D错误.
故选：D
8. 意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列说法正确的是（ ）
A. B. 是偶数
C. D.
【答案】D
【解析】由已知得数列满足递推关系，，
对选项A：
，故A错误；
对选项B：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，
，不能被3整除，且为奇数，
所以也为奇数，故B错误；
对选项C：若选项C正确，又，
则，
同理，依次类推，
可得，显然错误，故C错误；
对选项D：，
所以，故D正确.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则是等差数列
B. 若，，则是等比数列
C. 若等差数列，则，，成等差数列
D. 若等比数列，则，，成等比数列，
【答案】BC
【解析】对于A，若，当时，，
当时，，
且不满足上式，则，则不是等差数列，故错误；
对于B，由条件变形可得，所以，
且，所以数列是首项为5，公比为2的等比数列，故正确；
对于C，设等差数列的首项为，公差为，则，
同理，
所以，所以成等差数列，故正确；
对于D，设，则，，所以此数列不是等比数列，故错误；
故选：BC
10. 一工厂将两盒产品送检，甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品．先从甲盒中随机取出一个产品放入乙盒，分别以，和表示由甲盒取出的产品是一等品，二等品和三等品的事件；再从乙盒中随机取出一产品，以表示由乙盒取出的产品是一等品的事件．则下列结论中正确的是（ ）
A. ；B. ；
C. 事件与事件相互独立；D. ，，是两两互斥的事件．
【答案】ABD
【解析】因为甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，
则,
乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品,
则,
则
，故A，B正确；
因为,
又，，
则，则两事件不相互独立，
故C错误；
根据互斥事件的定义可知，，，是两两互斥的事件，
故D正确，
故选：ABD.
11. 设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 是数列中的最大项D.
【答案】AB
【解析】由，或，
而，，同号，则，，即数列前项大于，从第项开始小于1，
对于A，，又，则，A正确；
对于B，由，得，则，B正确；
对于C，显然是递减正项数列，且，，因此是数列中的最大项，C错误；
对于D，，D错误.
故选：AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等比数列中，，，则______.
【答案】
【解析】由等比中项的性质可得，
设等比数列的公比为，因为，
所以，
故答案为：6.
13. 设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则___________.
【答案】
【解析】由题意，，，令解得，
又，故的对称中心为.
故当时，.
故答案为：
14. 已知件次品和件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为_____（用数字作答）．
【答案】
【解析】由题意可知，2次检测结束的概率为，
3次检测结束的概率为，
则恰好检测四次停止的概率为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记为等差数列的前n项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．
解：（1）设数列的公差为d，由，
得，解得，
∴；
（2）由（1）知，，∴，
∴，
∴
．
16. 已知函数（，）的图象过点，且．
（1）求，的值；
（2）求曲线过点的切线方程．
解：（1）因为函数图象过点，所以①．
又，，所以②，
由①②解得，．
（2）由（1）知，
设所求切线在曲线上的切点为，则，
所以切线方程为，
又切线过点，所以，
可得，，，解得，
所以切点为，切线方程为．
故曲线过点的切线方程为．
17. 某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为
了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下：
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）若年收入的附加额与投入额的比值大于，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望．
参考数据：，，．
附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，．
解：（1）依题意，，
，
，
，
所以y关于x的线性回归方程为.
（2）由题意，7个年收入的附加额与投入额的比值大于0.1的有3个，
所以X的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
X的分布列如下：
所以X的期望是.
18. 某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质量的满意程度，从使用了5G手机的市民中随机选取了200人进行了问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组：，，，…，，统计结果如图所示：

（1）由直方图可认为A市市民对5G网络满意度得分z（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得．若A市恰有2万名5G手机用户，试估计这些5G手机用户中满意度得分位于区间的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；
（2）该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有10轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为．每一轮抽奖，若中奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束，现小王参与了此次抽奖活动．
①求小王获得900元话费的概率；
②求小王所获话费总额X的数学期望（结果精确到0.01）．
参考数据：若随机变量z服从正态分布，即，
则，．
解：（1）依题意，样本平均数为，
即，
由，得，
而
所以2万名5G手机用户中满意度得分位于区间人数约为（人）．
（2）①小王获得900元话费表明其前9轮连续中奖且第10轮未中奖，所以所求的概率为．
②依题意，X的可能取值有0，100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000，即，，，
当，时，，说明小王前i轮连续中奖且第轮未中奖，此时，
又满足，，
因此，
于是，
令，则，
两式相减得，
化简得，则（元），
所以小王所获话费总额X的数学期望为99.90元．
19. 设数列的前项和为，，，数列满足：对于任意的，都有成立.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式；
（3）设数列，问：数列中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.
解：（1）由， ①
得， ②
由①-②得，即，
对①取得，，所以，所以为常数，
所以为等比数列，首项为1，公比为，
即，；
（2）由，可得对于任意有
， ③
则， ④
则， ⑤
由③-⑤得，
对③取得，也适合上式，
因此，，
（3）由（1）（2）可知，
则，
所以当时，，即，
当时，，即在且上单调递减，
故…，
假设存在三项，，成等差数列，其中，，，
由于…，可不妨设，则（*），
即，
因为，，且，
则且，
由数列的单调性可知，，即，
因为，所以，
即，化简得，
又且，所以或，
当时，，即，由时，，此时，，不构成等差数列，不合题意，
当时，由题意或，即，又，代入（*）式得，
因为数列在且上单调递减，且，，所以，
综上所述，数列中存在三项，，或，，构成等差数列.
0
1
0
2
年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
投入额
10
30
40
60
80
90
110
年收入的附加额
7．30
X
0
1
2
3
P