[数学]辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高二下学期期中考试试卷（解析版）

这是一份[数学]辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高二下学期期中考试试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题共58分）
一、单项选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 记等差数列的前n项和为，则（ ）
A. 98B. 112C. 126D. 140
【答案】B
【解析】因为数列为等差数列，，所以，
所以.
故选：B
2. 已知公比为的等比数列的前项和，，且，则（ ）
A 48B. 32C. 16D. 8
【答案】C
【解析】因为公比为的等比数列的前项和①，
当时，
当时②，
①②得，
所以，则，又，所以，解得，
所以，则；故选：C
3. 已知函数的导函数为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，令，则，．
故选：C
4. 已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
因为在上是增函数，故在上恒成立.
若，则恒成立，符合题意；
若，则或，解得，
综上，.
故选：C
5. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数的定义域为，
因为函数有两个不同的极值点，
所以有两个不同正根，
即有两个不同正根，
所以解得，
故选:A.
6. 已知，为的导函数，则的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵，∴，
∵，
∴为奇函数，其图象关于原点对称，故B，D错误；
将代入得：，故C错误．
故选：A．
7. 某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，记选“初心”队为事件，选“使命”队为事件，该单位获胜为事件，
则,
因此，
所以选“使命”队参加比赛的概率.
故选：D
8. 中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（ ）
附：若：，则，，．
A. 0.0027B. 0.5C. 0.8414D. 0.9773
【答案】D
【解析】骰子向上的点数为偶数的概率，故，
显然，其中，，
故，
则，
由正态分布的对称性可知，估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为
.
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为0.95
B. 已知随机变量，若，则
C. 在列联表中，若每个数据a，b，c，d均变成原来的2倍，则也变成原来的2倍
D. 分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件“第一枚骰子正面向上的点数是奇数．“2枚骰子正面向上的点数相同”，则A，B互为独立事件
【答案】BCD
【解析】对于选项A：若所有样本点都在直线上，且，
所以这组样本数据的样本相关系数为，故A错误；
对于选项B：如，则，
因为，
即
所以，故B正确；
对于选项C：在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，
则，
所以也变成原来倍，故C正确；
对于选项D：分别抛掷2枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个，
事件“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，则事件包含的基本事件数为个，
事件“2枚骰子正面向上的点数相同”，则事件包含的基本事件数为个，
所以，，
又因为包含的基本事件有个，
所以，
所以，
则A、互为独立事件，故D正确；
故选：BCD.
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 在定义域上是增函数
B. 的值域为
C.
D. 若，，，则
【答案】BD
【解析】对于A，函数的定义域为，
，
则在上均单调递增，
由于函数图象在处不连续，故不能说在定义域上是增函数，A错误；
对于B，结合函数的单调性，作出函数的大致图象，
结合图象可知的值域为，B正确；
对于C，由于，故，
故，
故，C错误；
对于D，由题意知，
又，即
而，，故，结合在上单调递增，
可得，D正确，
故选：BD
11. 如图，该形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法・商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……设第层有个球，从上往下层球的总数为，则下列结论正确的是（ ）

A.
B. （）
C.
D. 数列的前100项和为
【答案】ACD
【解析】对于A，，，，，A正确．
对于B，由每层球数变化规律可知（），B错误．
对于C，当时，，
当时，满足，（）．
，
，
C正确．
对于D，，则其前100项和为，
D正确．
故选:ACD．
第II卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知数列的前n项和，则____________．
【答案】56
【解析】由题意
.
故答案为：56.
13. 某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x（单位：）与水生植物的株数y（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合x与y的关系，设，x与z的数据如表格所示：
得到x与z的线性回归方程，则___________.
【答案】
【解析】由已知可得，，，
所以，有，解得，
所以，，
由，得，
所以，，则.
故答案为：
14. 设函数，已知，且，若的最小值为，则的值为__________．
【答案】1
【解析】令，则．

因为，则，，
可得，则．
令，则，
当时，即时，在内恒成立，
可知在上单调递减，
则，解得，经检验满足题意；
当时，即时，令，解得；令，解得；
可知在上单调递减，在上单调递增，
则，解得
这与矛盾，舍去；
综上所述：．
故答案为：1.
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15. 已知函数在处取得极值．
（1）求的值；
（2）求过点且与曲线相切的切线方程．
解：（1），依题意，，即，
解得；
（2）曲线方程为，点不在曲线上．
设切点为，则点的坐标满足．
因，故切线的方程为，
注意到点在切线上，有，
化简得：，解得．
所以，切点为，切线方程为．
16. 已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，设数列的前项和为，求.
解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），
由，，，，得，
解得，，
所以，.
（2）由（1）知，，
因此当为奇数时，，当为偶数时，，
所以
.
17. 在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯．某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有45人．经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．

（1）请完成下列2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的条件下，认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关．
（2）现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中合格的人数为，求的分布列和数学期望．
（3）若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为，求的期望和方差．
附：，其中．
解：（1）
抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有45人，2×2列联表如图所示，
所以能在犯错概率不超过0.01的条件下认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关.
（2）根据频率分布直方图大于600分的频率为，
小于600分的频率为，
故由分层抽样知，抽取的10人中合格有人，优秀的为人，
则从这10人中随机抽取5人，合格人数服从超几何分布，
由题意的取值范围为，
故，，
，，
故分布列为
.
（3）由题意随机抽取1人则其上课转笔的概率为，
故根据题意，
，.
18. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时（为大于0的常数），求的最大值；
（3）若当时，不等式恒成立，求的取值范围．
解：（1）由题意可知：的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由（1）可知：函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
当时，，所以；
当时，在上单调递减，所以．
（3）当时，不等式，
即恒成立，
令，则，可知在上单调递减，
可得，即恒成立，
易知在内单调递减，所以，
可得，所以的取值范围为.
19. 已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验.
（1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量，求的分布列和数学期望；
（2）若规定试验者乙至多可进行轮试验（若第轮不成功，也停止试验），记乙在第轮使得试验成功的概率为，则乙能试验成功的概率为，证明：.
解：（1）由题意得，的可能取值为，
在第一轮中，试验者每次抽到白球的概率为，
，
依题意，在第二轮中，盒中有一个白球，两个红球和一个黄球，每次摸到白球的概率为，，
易知，
的分布列为：
的数学期望.
（2）当时，不难知道，
，
，
由（1）可知，又，
，
.
即.
x
3
4
6
7
z
2
2.5
4.5
7
上课转笔
上课不转笔
合计
合格
25
优秀
10
合计
100
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
上课转笔
上课不转笔
合计
合格
25
45
70
优秀
20
10
30
合计
45
55
100
2
3
4
5
1
2
3