[数学]江苏省南京市江宁区2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版）

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这是一份[数学]江苏省南京市江宁区2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1. 已知复数，（i为虚数单位），则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，所以.
故选：D.
2. 已知点，，若，则点的坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，，得，设，则，
因为，所以，
解得，所以点的坐标为.
故选：A.
3. 一个口袋中装有个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次从口袋中摸出个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程次，共摸出红球次，根据上述数值，估计口袋中大约有黄球（）个．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设黄球的个数为，由古典概型的概率公式可得，解得.
故选：B.
4. 在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在正方体中，，
所以异面直线与所成角为，
设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，
则.
故选C.
5 已知，则（）
A. B. 2C. D. 7
【答案】D
【解析】由得，
所以.
故选：D.
6. 从这个整数中随机选择两个不同的数，设“选到的两个数的和能被整除”为事件，“选到的两个数的和能被整除”为事件，则事件发生的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，事件为“选到的两个数的和能被或整除”，
从这个整数中随机选择两个不同的数，所有的基本事件有：、、
、、、、、、、，共种，
事件所包含的基本事件有：、、、、、，共种，
因此，.
故选：C.
7. 在中，，边上的高等于，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，边上的高等于，
又，则，
由余弦定理可得，
，
所以．
故选：D．
8. 已知正四棱锥的体积为，底面边长为，正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】正四棱锥的外接球的球心在正四棱锥的高所在直线上，
如图，连接交于点，连接，
正四棱锥的底面边长为，设高为，
∴，解得，
设球的半径为，，
则，解得，
则球的体积为.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分．
9. 随机抽取某班20名学生在一次数学测验中的得分如下：50，58，65，66，70，72，75，77，78，78，80，81，81，83，84，85，88，90，95，98下面说法正确的是（）
A. 这组数据极差为48
B. 为便于计算平均数，将这组数据都减去70后得到的平均数与原数据的平均数相差70
C. 为便于计算方差，将这组数据都减去70后得到的方差与原数据的方差相差70
D. 这组数据的上四分位数是84.5
【答案】ABD
【解析】对于A，这组数据的极差为，故A正确；
对于B，原数据的平均数为：
，
将这组数据都减去70后得到的平均数为：
，
所以这组数据都减去70后得到的平均数与原数据的平均数相差70，故B正确；
对于C，原数据的方差为：
，
将这组数据都减去70后得到的方差为：
，
所以将这组数据都减去70后得到的方差与原数据的方差相等，故C错误；
对于D，这组数据的上四分位数是第百分位数，即，
所以，则这组数据的上四分位数是84.5，故D正确.
故选：ABD.
10. 下列说法正确的是（）
A. 已知复数、，则
B. 已知复数、，则
C. 复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内所对应点的集合是一条直线
D. 设（为虚数单位），则
【答案】ACD
【解析】对于A选项，设，，
则，
所以，
，A对；
对于B选项，取，，则，，
此时，B错；
对于C选项，设，则，，
由可得，化简可得，
因此，复数在复平面内所对应点的集合是一条直线，C对；
对于D选项，，则，D对.
故选：ACD.
11. 已知，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】由，得，
即，A选项正确，C选项错误；
，两边同时平方，得，
即，化简得，
由，则，，所以，
B选项正确，D选项错误.
故选：AB.
12. 如图，多面体的所有棱长均为，则（）
A.
B 平面平面
C. 直线与平面所成的角为
D. 点到平面的距离为
【答案】ACD
【解析】对于A选项，如图，设，连接、，
则为、的中点，
因为，为的中点，则，同理，
因为，、平面，所以，平面，
同理可证平面，因为、有公共点，则、、三点共线，
且，
又因为为的中点，所以，四边形为平行四边形，故，A对；
对于B选项，取中点为，在、中，
由正三角形的性质可得，，，平面平面，
平面，平面，则为二面角的平面角，
易知四边形是边长为的正方形，则，，
所以，，
，同理可得，
所以，，故，B错；
对于C选项，由条件可知四棱锥、四棱锥均为正四棱锥，
连接、交点为正方形的中心，则平面，
即为直线与平面所成的角，
由，，可得，
则为等腰直角三角形，所以，，C对；
对于D选项，因为，且，则，
因为平面，则，
因为是边长为的等边三角形，则，
设点到平面的距离为，由，即，
则，
因为为的中点，所以，点到平面的距离为，D对.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中第16题第一空2分，第二空3分．
13. __________．
【答案】
【解析】
.
故答案为：.
14. 如图，用，，三种不同的元件并联连接成系统，每个元件是否正常工作不受其他元件影响．当元件，，中至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件，，正常工作的概率分别为，，，则系统正常工作的概率为__________．
【答案】
【解析】记事件：“系统正常工作”，则：“元件，，均不正常工作”，
因为每个元件是否正常工作相互独立，
则，所以.
故答案为：.
15. 已知正方体棱长为2，为棱中点，过，，三点的平面截正方体，所得截面面积为__________．
【答案】
【解析】取的中点为，连接，则，又，
故，则梯形梯形即为截面四边形，
由于，
，
所以梯形为等腰梯形，则高为，
所以面积为.
故答案为：.
16. 以为钝角的中，，，
①当时，面积为__________．
②当最大时，面积为__________．
【答案】
【解析】过作，垂足为，如图，
则，
所以，又，所以，
所以的面积为，
设，则在直角三角形中，
，
由于，所以，
当且仅当，即时取“=”，由正切函数的单调性知此时也最大，
此时的面积为.
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知向量，的夹角为，且，．
（1）求．
（2）（其中），当取最小值时，求与的夹角的大小．
解：（1），
所以．
（2），
故当时，最小，
此时，；
，，
因为与的夹角范围为，故与的夹角为．
18. 在平面四边形中，，，，．
（1）求；
（2）若，求．
解：（1）在中，由正弦定理得，
由题设知，，所以，
由题设知，，所以．
（2）由题设及（1）知，，
在中，由余弦定理得
，
所以．
19. 海水养殖场更新了某水产品的网箱养殖方法，收获时随机抽取100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如下：
（1）求频率直方图中的值，并估计箱产量的众数和中位数（精确到0.01）．
（2）若先用分层抽样的方法从箱产量在和的网箱中抽取6个网箱，然后再从抽出的这6个网箱中任意选取2个网箱做进一步检测，求这2个网箱中至少有1个箱产量在的概率．
解：（1）由频率分部直方图可得，
解得．
众数为；
前三组的频率为，
设中位数为，则，
故．
（2）箱产量在和的比值为2：1，故6个网箱中有4个在中，
将4个网箱记为，有2个在中，记为，
从6个中抽出2个网箱，
共有
15种方法，都在中的有这1种，
故这2个网箱中至少有1个箱产量在的概率为．
20. 已知，，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
解：（1）因为，，
因为，即，
展开可得，
若，则，这与矛盾，
所以，，因此，.
（2）因为，所以，，展开得，
即，
即，即，解得．
21. 如图，三棱柱中，，，，，．
（1）证明：．
（2）求三棱柱的体积．
（3）求二面角的平面角余弦值大小．
解：（1）取中点，连接，，，
，，
是正三角形，，
，，
，平面平面，
∴平面，
又平面，.
（2）由题设知与都是边长为2的等边三角形，所以，
又，则，故，
因为，
所以平面，即为三棱柱的高，
又的面积，
故三棱柱的体积．
（3）过作于点，连接，
因为，，，平面，
所以平面，所以，
又，，平面，
所以平面，
因为平面，
故，，
则即为二面角的平面角，
在中：，，
所以，
所以．
22. 如图，设中角、、所对的边分别为、、，为边上的中线，已知，，．
（1）求边、的长度；
（2）求的面积；
（3）点为上一点，，过点直线与边、（不含端点）分别交于、．若，求的值．
解：（1）因为，
所以，，即，
所以，，即，即，
又因为，所以，.
（2）设，因为为边上的中线，
所以，，
则，
，
，①
整理得，即，
得或，
由①，得，所以，，则，
故，
因此，．
（3）由（2）知，，为的中点，则，
设，，其中、，
所以，得，
又、、三点共线，则、共线，
设，则，所以，
因为、不共线，则，即，
由，得，
又，
所以，
即，
又因为，
所以，，所以，，解得，
所以：，，
所以．