[数学]四川省遂宁市2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版）

这是一份[数学]四川省遂宁市2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A. 是棱台B. 是圆台
C. 不是棱柱D. 是棱锥
【答案】D
【解析】对A，侧棱延长线不交于一点，不符合棱台的定义，所以A错误；
对B，上下两个面不平行，不符合圆台的定义，所以B错误；
对C，将几何体竖直起来看，符合棱柱的定义，所以C错误；
对D，符合棱锥的定义，正确．
故选：D．
2. 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B.
3. 已知，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，且，所以，解得.
故选：A.
4. 我市某中学有高中生1500人，初中生3500人，为了解学生对学校食堂饭菜的满意程度，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从初中生中抽取35人，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因初中生抽取35人，则高中生抽取人，则一共抽取50人.
故选：D.
5. 水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则的外接圆半径长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由直观图可得到原图形如下：
其中，由勾股定理得，
所以Rt的外接圆半径为.
故选：A.
6. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，
所以，所以，
所以
.
故选：B.
7. 在对角线相等的平行四边形中，，，为上一点，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题及图形可知，，
又，
则
.
故选：C.
8. 如图，在正方体中，截去三棱锥，若剩余的几何体的表面积是，那么正方体的内切球的表面积和其外接球的体积分别是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】A
【解析】设正方体棱长为，则剩余几何体的表面积为
所以
则正方体的内切球直径表面积，
正方体的外接球直径，体积.
故选：A.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 某校对高一学生进行了体能测试，在该校高一年级随机选取了甲、乙两个班，并在这两个班各随机抽取10名学生的体能成绩作为样本进行分析。下表是两个班被随机选出的学生的体能分数（满分分）统计表，则下列说法错误的是（ ）
A. 甲、乙两个班的分数的极差相等，方差不相等
B. 甲、乙两个班的分数的平均数相等
C. 乙班的分数的众数为
D. 甲、乙两个班分数的中位数中，乙班的中位数较大
【答案】ABC
【解析】对于A，甲的极差为，乙的极差为，故极差不相等，
故A错误；
对于B，甲的平均数为，
乙的平均数为，故平均数不相等，
故B错误；
对于C，乙班的分数的众数为，故C错误；
对于D，甲、乙两个班分数的中位数分别为和，
所以乙班的中位数较大，故D正确.
故选：ABC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若与是平行向量，则
B. 已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影向量的模为
C. 已知点，在所在平面内，满足且 ，则点，分别是外心，重心
D. 在中，若，则一定是锐角三角形
【答案】BC
【解析】A选项，若，满足与是平行向量，但不满足，故A错误；
B选项，，则，
，故B正确；
C选项，，即点O到A、B、C三点的距离相等，
故点为的外心，
变形得到，取的中点，
则，所以，故点在中线上，且，
故是的重心，C正确；
D选项，在中，若，满足，
但不是锐角三角形，D错误.
故选：BC.
11. 设、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中真命题是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则与是异面直线
C 若，则与一定相交
D. 若，，，则
【答案】AD
【解析】A：若，，，则，正确；
B：若，，，则与平行或者是异面直线，错误；
C：若，则与平行或相交，错误；
D：若，，则，又，所以，D正确．
故选：AD．
12. 在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则有（ ）
A. 函数的对称中心为
B. 若，则
C. 若，则的最大值为
D. 若，且，则圆心角为，半径为的扇形的面积为
【答案】BCD
【解析】对于A选项，
，
令，故对称中心为，A选项错误；
对于B选项，，
，故B选项正确；
对于C选项，，
令，
则，
对称轴为，所以当时，取到最大值，此时，故C选项正确；
对于D选项，，
因为，所以
因为，所以，所以扇形面积.
故选：BCD.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 某中学高一生物课外兴趣小组要对本班同学的睡眠时间进行研究，得到了以下个数据(单位：小时)：，，，，，，，，，，去掉数据_______能很好地提高样本数据的代表性.
【答案】
【解析】因为数据明显低于其它几个数据，是极端值，
所以去掉这个数据，能够更好地提高样本数据的代表性．
故答案为：.
14. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度_______.
【答案】
【解析】由题可得，，则，
则在中，由正弦定理，
有，
又由题可知，，则.
故答案为：.
15. 在正三棱柱中，，是边上的点，且满足，则异面直线与所成角的正切值为_______.
【答案】
【解析】取的中点，连接，，，
由，得为的中点，
在正三棱柱中，，，且，，
所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，所以即为异面直线与所成角，
设，则，
所以，，，
所以，
所以，所以异面直线与所成角的正切值为.
故答案为：.
16. 已知函数，若在区间上有两个不同的使得，则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】，即：，，
或，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
在区间上，，
两个不同的使得成立，
，.
故答案为：.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17. 解决下列问题.
（1）已知向量与的夹角，且，.求和；
（2）已知向量，，，且∥，，求的值.
解：（1）因为向量与夹角，且，，
则，
.
（2）因为向量，，，所以，又∥，
所以，即，
又，，所以，即，
所以解得，所以.
18. 某中学（含初高中6个年级）随机选取了名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值及样本中男生身高在（单位:）的人数；
（2）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；
（3）根据频率分布直方图估计该校男生身高的75%分位数.
解：（1）根据题意，，解得 ，
所以样本中学生身高在内的人数为.
（2）设样本中男生身高的平均值为，
则
，
估计该校男生的平均身高为.
（3）由，根据频率分布直方图，
因为，
，
所以样本中的75%分位数落在内，
设75%分位数为，则，解得，
所以估计该校男生身高的75%分位数为.
19. 如图，为等腰三角形，且，平面，∥，，点为的中点.求证：
（1）∥平面；
（2）平面平面.
解：（1）取的中点，连接，，
又因为点为的中点，所以为的中位线，
所以∥，，
因为∥，所以∥，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面.
（2）因为为等腰三角形，且，又点为的中点，所以，
因为平面ACD，平面ACD，所以，
因为，平面，所以平面，
由（1）知∥，所以平面，
因为平面，所以平面平面，又平面即是平面，
所以平面平面.
20. 已知函数，且 .从以下①②③三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题：①函数图像中相邻的两条对称轴之间的距离为；②函数图像与直线的两个相邻交点之间的距离为；③点在上.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将的图像向上平移个单位，接着向左平移个单位，再将所得图像所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数的图像，求函数的最小正周期和对称轴及时的值域.
解：（1）选①，依题意，，
函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，因此函数的周期，
有，
则有，
由得：，
所以函数的单调递增区间是.
选②，依题意，，显然，
因函数图像与直线的两个相邻交点之间的距离为，
因此函数的周期，有，则有，
由得：，
所以函数的单调递增区间是.
选③，依题意，，
，即，则，
即有，而，则，
则有，
由得：，
所以函数的单调递增区间是.
（2）由（1）知，所以将的图像向上平移个单位，
接着向左平移个单位，得到，
再将所得图像所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标保持不变，
则，所以函数的最小正周期为；
对称轴为；因为，所以，
则的值域为.
21. 如图，直四棱柱中，底面为矩形，且.
（1）求直线与平面所成的角的大小；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求直线到平面的距离.
解：（1）因为在直四棱柱中，底面为矩形，
所以直四棱柱是长方体，
即在长方体中，平面，
即 平面，则 即为直线与平面所成的角，
因为，
所以在中，，，故，
即直线与平面所成的角为.
（2）由（1）知直四棱柱是长方体，则在长方体中，
平面，
因为，平面，所以，，
又平面，平面，
由二面角的平面角的定义知为二面角的平面角，
因为，所以在中，
，，
故，则 ，
即二面角的余弦值为.
（3）由（1）知直四棱柱是长方体，则在长方体中，
由于∥ ，故四边形是平行四边形，
故∥，
而平面，平面，
故∥平面，
则点B到平面的距离即为直线到平面的距离，
而，
故，
设点B到平面的距离为h，则，即，
则 ，即直线到平面的距离为.
22. 中，，，是角，，所对的边，已知，且.
（1）若的外接圆半径为，求的面积；
（2）若，在的边，上分别取，两点，使沿线段折叠到平面后，顶点正好落在边上，求此情况下的最小值.
解：（1）因为，即，
所以由正弦定理边角互化得，
因为，所以，即，
所以，
因为，所以，所以，所以，即，
又由正弦定理得，
再由余弦定理得，即，
整理得，解得或（舍去），
由面积公式得.
（2）因为顶点正好落在边上，设为点，又，，
所以为等边三角形，即，
如图，
设，则，
所以在中，由余弦定理得，
整理得，
设，
所以，由于，
故，
所以，当且仅当，
即时等号成立，
所以的最小值为.甲
75
79
82
84
86
87
90
91
93
98
乙
73
81
81
83
87
88
95
96
97
99