[数学]河南省开封市2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版）

这是一份[数学]河南省开封市2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由复数，所以的虚部为.
故选：B.
2. 在中，，设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，可得，
整理可得.
故选：A.
3. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“2枚硬币都是正面朝上”，事件“2枚硬币朝上的面相同”，则下列与的关系中正确的个数为（ ）
①；②互斥；③互为对立；④相互独立.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】由题意可知：一枚硬币有两个等可能结果：正面朝上、反面朝上，
两枚硬币有两个等可能结果：正正、正反、反正、反反，
事件“2枚硬币都是正面朝上”包含的情况为：正正，
事件“2枚硬币朝上的面相同”包含的情况为：正正，反反，
故，故①正确；②错误；
事件的对立事件为：正反、反正、反反，故③错误；
则，，所以，故④错误.
故选：A.
4. 已知为空间中两条直线，为空间中两个平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】对于A，若，则或，A错；
对于B，若，则或相交，B错；
对于C，若，则相交或或异面，C错；
对于D，若，，则或，当，又，可得；
当时，如图，平面内必然有一条直线设为与平行，由，则，
由面面垂直的判定可得，所以D正确．
故选：D．
5. 从长度为的5条线段中任取3条，这三条线段不能构成一个三角形的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】取出3条线段的情况有，
，共10种，
不能构成三角形的有，
共8种，
故概率.
故选：D.
6. 已知分别是圆柱上､下底面圆的圆心，分别是上､下底面圆周上一点，若，且直线与垂直，则直线与所成的角的正切值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】如图，过点作圆柱的母线，交圆柱的上底面于点，连接，
则平面，则，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为，所以，
设，则，
因为平面，平面，所以，
则，
即直线与所成的角的正切值为.
故选：B.
7. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，则塔高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在中，，
所以，
所以，
由正弦定理，可得，
在直角中，因为
所以，即塔高为．
故选：C．
8. 如图，在平面四边形中，为等边三角形，当点在对角线上运动时，的最小值为（ ）
A. -2B. C. -1D.
【答案】B
【解析】由题意，，，
，所以，
所以，即平分，
由可得
，
所以当时，有最小值为.
故选：B.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知复数满足，则（ ）
A.
B. 在复平面内对应的点位于第四象限
C.
D.
【答案】ABD
【解析】由，得，则，故A正确；
在复平面内对应的点为，位于第四象限，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.
故选：ABD.
10. 某学校为普及安全知识，对本校1000名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动（满分为100分）.现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，根据该直方图，下列结论正确的是（ ）
A. 图中的值为
B. 该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为130人
C. 该校高一学生竞赛得分上四分位数估计大于80
D. 该校高一学生竞赛得分的平均数估计为74.6
【答案】ACD
【解析】由频率分布直方图性质可得：
，解得，故A正确；
得分不小于90的频率为，故得分不小于90的人数估计为
人，故B错误；
得分介于50至80之间的频率为，
所以该校高一学生竞赛得分的上四分位数估计大于80，故C正确；
该校高一学生竞赛得分的平均数估计为
，
故D正确.
故选：ACD.
11. 若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.已知，与的夹角为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 与的夹角为
C. 与的夹角为D.
【答案】AC
【解析】如图所示，设分别为，
将向量进行平移，平移至，将反向延长至点D，
则，，
在中，由余弦定理得，
，
所以，即，故A正确；
显然，在中，，即，
所以，
所以与的夹角，故B错误；
与的夹角，故C正确；
，故D错误.
故选：AC.
12. 如图，在棱长为1的正方体中，为面对角线上的一个动点（包含端点），则下列选项中正确的有（ ）
A. 三棱锥体积为定值
B. 线段上存在点，使平面
C. 当点与点重合时，二面角的余弦值为
D. 设直线与平面所成角为，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为三棱锥的体积，
易得平面平面，平面，
所以到平面的距离为定值，又为定值，
所以三棱锥体积为定值，故A正确；
对于B，如图所示，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设，所以，，
设平面，，，
则，取，则，则，
要使平面，即，，此时，故B正确；
对于C，当点与点重合时，此时，
设平面，，，
则，取，则，则，
设平面，设二面角所成角为，
所以，
因为为锐二面角，，所以，故C不正确；
对于D，，，
设平面，
设直线与平面所成角为，，
所以
，
因为在上单调递增，
所以当取得最大值时，取得最大值，
当时，，此时，
所以，所以D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，若，则______.
【答案】
【解析】因为，，，所以，解得.
故答案为：.
14. 中岳嵩山是著名的旅游胜地，天气预报6月30日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，利用计算机进行模拟试验，产生之间的整数随机数，假定表示当天下雨，表示当天不下雨，每4个随机数为一组，产生如下20组随机数：
据此用频率估计四天中恰有三天下雨的概率的近似值为__________.
【答案】0.4
【解析】由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3181，8425，
2436，0753，共8组，所以估计四天中恰有三天下雨的概率为.
故答案为：0.4.
15. 已知三角形中，内角的对边分别为，且，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】，
由余弦定理可得：，所以，
所以，所以，
所以，
所以，又因为，所以，
所以的取值范围是.
故答案为：.
16. 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图乙），若勒洛四面体能够容纳的最大球的表面积为，则正四面体的棱长为______.
【答案】
【解析】设正四面体的棱长为a，根据题意，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，如图，点为该球与勒洛四面体的一个切点，为该球球心，
由正四面体的性质可知该球球心为正四面体的中心，
即为正四面体外接球的球心（内切球的球心），
则为正四面体的外接球的半径，勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为，
连接，则三点共线，此时，由题意，所以，
所以，
如图：
记为的中心，连接，由正四面体的性质可知在上，
因为，所以，则，
因为，即，
解得，所以，解得，
即正四面体的棱长为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 某校高一年级有学生1000人，其中男生600人，女生400人.为了获得该校全体高一学生的身高信息，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取一个容量为50的样本.
（1）求抽取男生､女生的人数；
（2）观测样本的指标值（单位：），计算得到男生样本的均值为170，方差为14，女生样本的均值为160，方差为34，求总样本的方差，并估计高一年级全体学生的身高方差.
解：（1）由题意，高一年级有学生1000人，其中男生600人，女生400人，
采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取一个容量为50的样本，
所以抽取男生人数为，女生人数为.
（2）记男生身高为，其均值记为，方差记为；
女生身高为，其均值记为，方差记为，
把总样本数据的均值记为，方差记为，
所以总样本的均值为，
总样本的方差为
，
所以总样本的方差为46，据此估计高一年级学生身高的总体方差为.
18. 如图，在直四棱柱中，，，点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）设是直线上的动点，求三棱锥的体积.
解：（1）如图所示，分别取的中点，连接，
由题意得，且，且，
所以且，所以四边形是平行四边形，
所以，又因为，所以，
又因为平面平面，所以平面.
（2）由（1）平面，
所以上任意一点到平面的距离都相等，所以，
由题意，又，平面，
所以平面，又，所以平面，即平面，
因为，
所以，
所以三棱锥的体积为.
19. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标.设向量在斜坐标系中的坐标分别为.
（1）求；
（2）求向量在向量上的投影向量在斜坐标系中的坐标.
解：（1）由题可知：，
则.
（2）
记与的夹角为，
则向量在向量上的投影向量为，
所以向量在向量上的投影向量在斜坐标系中的坐标为.
20. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.已知在某局双方平后，甲先发球.
（1）若两人又打了2个球该局比赛结束的概率为，求的值；
（2）在（1）的条件下，求两人又打了4个球且甲获胜的概率.
解：（1）由题意可知，甲先发球，两人又打了2个球该局比赛结束，
所对应的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，
所以，
解得，即的值为.
（2）由题意可知，若两人又打了4个球且甲获胜，
所对应的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”，
因为甲发球时甲得分的概率为，乙得分的概率为，
乙发球时甲得分的概率为，乙得分的概率为，
所以.
21. 在中，内角的对边分别为.已知.
（1）求；
（2）若的面积为，且为的中点，求线段的长.
解：（1）由正弦定理，可得，
即，
又因为，得，
所以.
（2）由（1）可知，
由，得，
所以，得，
又因为，
所以，
即线段的长为3.
22. 三棱锥中，底面为正三角形，平面，为棱的中点，且（为正常数）.
（1）若，求二面角的大小；
（2）记直线和平面所成角为，试用常数表示的值，并求的取值范围.
解：（1）底面为正三角形，为棱的中点，所以，
因为平面平面，所以，
又因为平面，所以平面，
又平面，所以，
所以二面角的平面角是，
而，
又，所以，
故二面角的大小为.
（2）在平面内作，连接，
由平面平面，
所以平面平面，
又平面平面，平面，
所以平面，
所以直线和平面所成的角，
在中，根据等面积法可得，
所以，
因为，所以，即，
所以，即，
因为，所以，
所以直线和平面所成角的取值范围为.