[数学]安徽省六安市2024年中考模拟试题（解析版）

这是一份[数学]安徽省六安市2024年中考模拟试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1. 在实数，，0，四个数中，最小的是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】，，
四个数中，最小的是；
故选：A．
2. 华为海思麒麟990（5G）采用的是7纳米工艺制程，纳米是一个长度单位，7纳米是指芯片线路宽度，其宽度越小，对制作工艺要求越高，已知1纳米是千分之一微米，一微米是百万分之一米，如果将纳米换算成国际标准长度单位米，那么7纳米用科学记数法可表示为（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】A
【解析】由题意可得1纳米等于米，故7纳米等于米．
故选：A
3. 中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意得：它的左视图为一个三角形，如图：
故选：C．
4. 如图，四边形的对角线，相交于点，，，则下列说法错误的是（ ）
A. 若，则四边形是矩形
B. 若平分，则四边形菱形
C. 若且，则四边形是正方形
D. 若且，则四边形是正方形
【答案】D
【解析】∵，∴，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
、若则四边形是矩形， 故此选项不符合题意；
、若平分，∴，∴，
则四边形是菱形，故此选项不符合题意；
、若且，则四边形是正方形，故此选项不符合题意；
、若且，则四边形是菱形，故此选项符合题意；
故选: .
5. 如图，是的外接圆，若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】中，，，
∴，
∴．
故选：B．
6. 两个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点．若，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
7. 3张分别标有数字2，3，4的卡片，背面都一样，背面朝上洗匀，从中随机摸两次（第一次摸出卡片后记下数字，再放回洗匀），两次数字之和为奇数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】列表如下，
共有种可能，其中和为奇数的有4种，
∴两次数字之和为奇数的概率是，
故选：C．
8. 若实数满足，则关于的方程根的情况是（ ）
A. 有两个相等实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】B
【解析】，
，
，
关于的方程根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：B．
9. 二次函数与一次函数（，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵二次函数
∴对称轴为直线，故B，D不符合题意；
∵当时，，，
∴二次函数与一次函数交于y轴上的点，故C不符合题意，A符合题意．
故选：A．
10. 已知是边长为4等边三角形，点D为高上的一个动点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接和，则下列说法错误的是（ ）
A. 的面积为
B. 的最小值为1
C. 周长的最小值为
D. 为直角三角形时，的面积为
【答案】D
【解析】由题意得：
∵
∴
∴的面积，故A正确；
当点与点重合时，将绕点A顺时针旋转得到，作如图所示：

由题意可知：点在线段上运动
∴当时，有最小值
∵
∴，
∵
∴,
∴
∵
∴
∴
∵，中点
∴，故B正确；
作点关于的对称点，连接，如图所示：

∵
又
∴
∵
∴
∵，∴是等边三角形，
∴，
∴，故C正确；
由以上分析可知：,
若，如图所示：

则，
∴的面积
若，如图所示：

则
∴的面积
故D错误；
故选：D
二、填空题（每小题5分，共20分）
11. 计算: =_________．
【答案】1
【解析】原式=3-2=1，
故答案为1．
12. 因式分解：______．
【答案】
【解析】==.
13. 如图，的顶点A在x轴的负半轴上，反比例函数（，）的图象经过点B，反比例函数（，）的图象经过C，D两点，D为的中点，连接．若的面积为6，则的值为_____________．
【答案】
【解析】∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵点D在反比例函数上，
∴设点D的坐标为，
∵D为的中点，
∴点B的坐标为，
∵点B在反比例函数上，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴A点的坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，
∵点C在上，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
14. 在矩形ABCD（AB＜ BC）的边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若∠CBE＝15°，则＝ ________；
（2）如图2，延长EF，与∠ABF的平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN＋FD时，＝_________．
【答案】
【解析】（1）根据折叠的性质，得BF=BC，∠FBE=∠CBE=15°
∴∠FBC=∠FBE+∠CBE=30°
∵四边形ABCD是矩形
∴BC∥AD
∴∠AFB=∠FBC=30°
∵∠A=90°
∴BF=2AB
∴BC=2AB
∴.
（2）过N作NG⊥BF于点G，如图
∵BM平分∠ABF，AD⊥AB，NG⊥BF
∴AN=GN
∵BN=BN
∴Rt△ABN≌Rt△GBN
∴BG=AB
∵∠NGF=∠A=90°，∠NFG=∠BFA
∴△NGF∽△BAF
∴
∵NF=AN+FD
∴AD=BC=2NF
∴AB=2GN
设AN=GN=a，FD=b，则NF=a+b，AB=2a，AD=BF=BC=2a+2b
∴FG=BF-BG=2b
在Rt△NFG中，由勾股定理得：
即
即
∴BC=
∴
故答案为:．
三、（本大题共小题，每小题8分，满分16分）
15. 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
解：（1）根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②，③；
（2）甲同学的解法：
原式
；
乙同学的解法：
原式
．
16. 为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加．投篮得分规则：在三分线外投篮，投中一球可得分，在三分线内（含三分线）投篮投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球（只有分球和分球）．所得总分不少于分，该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？
解：设该班级这场比赛中至少投中了个分球，根据题意得，
，
解得：，
答：该班级这场比赛中至少投中了个分球．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的13×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的．
（1）以点C为中心，将在网格上放大到原来的2倍，得到．点A，B对应点分别是，画出；
（2）以点为中心，将线段逆时针旋转，得到线段，画出线段；
（3）填空： °．
解：（1）根据位似比为2，画图如下：
则即为所求．
（2）根据旋转的性质，画图如下：
则即为所求．
（3）如图，连接，
根据题意，得，且，
∴四边形是正方形，
∴，
故答案为：．
18. 发现：一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是20的倍数．
如：，160是20的8倍；，640是20的32倍．
（1）我们知道32可以写成，那么十位数字为1，个位数字为的两位数可表示为__________；
（2）若题（1）中两位数的平方与其个位数a的平方的差是20的7倍，则__________；
（3）设一个两位数的十位数字为x，个位数字为y（，），且x，y为正整数，请用含x，y的式子论证“发现”的结论是否正确．
解：（1）十位数字为1，个位数字为的两位数可表示为，
故答案为：；
（2）由该两位数平方与a的平方的差是20的7倍可得，解得，
故答案为：2；
（3）一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是20的倍数这个结论正确，
理由如下：
设一个两位数的十位数字为x，个位数字为y，
，
又，，且x，y为整数，
是正整数，
是20的倍数．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 大别山旅游资源丰富，某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图1景区内修建观光索道，设计示意图如图2所示，以山脚A为起点，沿途修建，；两段长度相等的观光索道；最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台，长度为．索道与的夹角为，与水平线的夹角为．A，B两处的水平距离为，，垂足为F（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上，计算结果精确到，参考数据：，，，）

（1）求索道的长．
（2）求水平距离的长．
解：（1）A，B两处的水平距离为，索道与的夹角为，
；
（2）如图，延长交于点G，

，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
．
20. 如图，⊙O为△ABC的外接圆，直线MN与⊙O相切于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．
（1）求证：∠CAB=∠CBD；
（2）若BC=5，BD =8，求⊙O的半径．
解：（1）连接OC，交BD于点F

∵直线MN与⊙O相切于点C，
∴OC ⊥ MN，
∵BD∥ MN，
∴OC ⊥ BD，
∴ =,
∴∠CAB=∠CBD
（2）连接OB
由（1）知OC ⊥ BD，BD=8
∴BF=DF=4
∴在Rt△BCF中得CF=3
设半径为r,在Rt△BOF中，OF=r-3
根据勾股定理可得 解得
六、（本题满分12分）
21. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．

小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图

（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分；
（2）请你计算小涵的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．
解：（1）从小到大排序，
67，68，69，69，71，72， 74，
∴中位数是69，
众数是69，
平均数：
69，69，70
（2）（分）．
答：小涵的总评成绩为82分．
（3）结论：小涵能入选，小悦不一定能入选
理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小宁80分的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选．
七、（本题满分12分）
22. 在中，，是斜边上一点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接，，．
（1）如图，求证：是的中点；
（2）已知点和边上的点满足，连接，，．
（）如图，求证：四边形是菱形．
（）如图，连接，若，，求值．
（1）证明：由旋转的性质得: ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的中点；
（2）（）证明: 连接，
∵，是的中点，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，是的中点，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（）过点作于点，
则，
在中，由勾股定理得:，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴。
∴，
∴，
∴．
八、（本题满分14分）
23. 如图，平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，直线恰好经过B，C两点．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）已知点M是线段上的动点，过点M作轴，交抛物线于点N，以线段MN为直径作，求的周长最大值；
（3）设抛物线的顶点为D，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得?若存在，求出点P的坐标．若不存在，说明理由．
解：（1）当时，，即点；
当时，，解得：，故点，
将点分别代入中，
得，解得，
∴抛物线的表达式为；
∴，
∴抛物线的顶点坐标为
（2）如解图①，设，则，
，
∴当时，，此时以线段为直径作，的周长最大，最大值为
（3）存在．
由可得点D的坐标为，点A的坐标为，
由可知是等腰直角三角形，,
如解图②，过点A作，垂足为点E，设对称轴与x轴的交点为点H，
，,
，
，即，
，
，
，
，
，即，
∵点在对称轴上，
∴点的坐标为或．
解：原式
……
解：原式
……

选手
测试成绩/分
总评成绩/分
采访
写作
摄影
小悦
83
72
80
78
小涵
86
84
▲
▲