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高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.6 祖暅原理与几何体的体积课文内容课件ppt
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.6 祖暅原理与几何体的体积课文内容课件ppt，共34页。PPT课件主要包含了1空间几何体，学习目标，回顾引入，尝试与发现，祖暅原理，讲授新课，柱体的体积，锥体的体积，典例精析，台体的体积等内容，欢迎下载使用。
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
1.理解柱体、锥体和台体体积公式的推导,利用“祖暅原理”将空间问题转化为平面问题.2.了解球的体积公式,会计算球的体积.3.熟练运用体积公式求多面体和简单旋转体的体积.4.掌握柱体、锥体、台体体积公式之间的关系,了解求几何体体积的几种技巧.
在小学时我们就已经学过，一个几何体所占空间的大小称为这个几何体的体积，长方体的体积、圆柱的体积都等于底面积乘以高.，下面我们探讨其他几何体体积的求法.
同一摞书，当改变摆放书的形式时 (如图11-1-51 所示)，这探书的总体积是否会改变? 由此能得到有关体积的什么结论?
早在南北朝时期，祖冲之与他的儿子祖暅就研究了几何体的体积，并在总结前人成果的基础上提出了如下的祖暅原理.
祖暅原理 幂势既同，则积不容异.
这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等，如图 11-1-52 所示.
棱柱与圆柱统称为柱体. 注意到柱体被平行于底面的平面所截时，得到的截面与底面全等，因此截面面积一定等于底面面积，从而由祖暅原理可知，等底面积、等高的两个柱体，体积相等.
又因为长方体的体积等于底面积乘以高，所以如果柱体的底面积为 S，高为h，则柱体的体积计算公式为
棱锥与圆锥统称为锥体. 如图 11-1-53 所示，当锥体被平行于底面的平面所截时，得到的截面与底面相似，即△A´B´C´∽△ABC，而且相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比，因此截面与底面的面积之比
从而由祖暅原理可知，等底面积、等高的两个锥体，体积相等.
如图 11-1-54 所示的直三棱柱可以分成3个三棱锥，所得到的 3个三棱锥的体积之间有什么关系?由此能得到三棱锥的体积计算公式吗?
一般地，如果锥体的底面积为 S，高为h，则锥体的体积计算公式为
如图 11-1-55 所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，求棱锥 D'-A'CD的体积与长方体的体积之比.
已知的长方体可以看成直四棱柱ADD'A'-BCC'B'，设它的底面 ADD'A'面积为 S，高为h，则长方体的体积为
因此所求体积之比为2 .
棱台与圆台统称为台体. 因为台体可看成锥体截去一个小锥体得到，所以台体的体积可以通过计算锥体的体积之差来得到.
已知四棱台上、下底面面积分别为 S₁，S₂，而且高为h，求这个棱台的体积.
如图 11-1-56 所示，将四棱台看成从棱锥 P-ABCD中截去棱 P-A₁B₁C₁D₁所得到的，且设两个棱锥的高分别为 PO 与PO₁.由已知有
再由 PO-PO₁-OO₁ =h，因此可得
一般地，如果台体的上、下底面面积分别为 S₁，S₂，高为h，则台体的体积计算公式为
(1) 你能想办法测出一个乒乓球的体积吗?(2) 如图 11-1-57 所示是底面积和高都相等的两个几何体，左边是半球，右边是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分.用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体，分别指出截面的形状，并讨论两个截面面积的大小关系，由此你能得到球的体积公式吗?
一般地，如果球的半径为 R，那么球的体积计算公式为
如图11-1-58 所示，某铁制零件由一个正四棱柱和一个球组成，已知正四棱柱底面边长与球的直径均为1cm，正四棱柱的高为 2 cm，现有这种零件一盒共50 kg，取铁的密度为 7.8 g/cm，π≈3.14.(1)估计有多少个这样的零件;(2)如果要给这盒零件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，则需要能涂多少平方厘米的材料(球与棱柱接口处的面积不计，结果精确到1cm²)?
(1)每个零件的体积为
因此可估计出零件的个数为
（2）每个零件的表面积为
因此零件的表面积之和约为 2541×(10+π)≈33 389 (cm²).即需要能涂33 389 cm²的材料.
例3 中的几何体，是由球和棱柱组合而成的，类似的几何体一般称为组合体，求组合体的体积(或表面积) 时，只需要算出其中每个几何体的体积(或表面积)，然后再处理即可.
1.已知一个长方体的长、宽、高的比为4:2:1，它的体积为1000 cm，求这个长方体的长、宽、高.2.如果圆柱的底面半径不变，要使它的体积扩大到原来的 5倍，那么需要把它的高扩大到原来的多少倍?如果圆柱的高不变，半径扩大到原来的多少倍才能使它的体积扩大到原来的 5倍?
3.如图，将正四棱柱底面的边3 等分，过3等分点用平行于侧棱的平面截去 4 个三棱柱，得到一个八棱柱，求这个八棱柱与原四棱柱体积之比.4.在正方体ABCD-A'B'C'D'中，三校锥A'-BC'D的体积是正方体体积的几分之几?5.如果一个球的大圆的面积增加到原来的 100 倍，那么这个球的体积会怎样变化?
1.已知长方体形的铜块长、宽、高分别是2，4，8，将它熔化后铸成一个正方体形的铜块(不计损耗)，求铸成后的铜块的棱长.2.已知正四棱锥底面边长为 4 cm，高与斜高的夹角为 30°，求正四棱锥的表面积与体积.
3.《九章算术》中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周入尺高五尺，问积及为米几何.”其意思为:“在屋内墙角处堆放米 (如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少.”已知1斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有 ( ).(A) 14 斛 (B)22斛 (C)36斛 (D) 66斛
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
1.理解柱体、锥体和台体体积公式的推导,利用“祖暅原理”将空间问题转化为平面问题.2.了解球的体积公式,会计算球的体积.3.熟练运用体积公式求多面体和简单旋转体的体积.4.掌握柱体、锥体、台体体积公式之间的关系,了解求几何体体积的几种技巧.
在小学时我们就已经学过，一个几何体所占空间的大小称为这个几何体的体积，长方体的体积、圆柱的体积都等于底面积乘以高.，下面我们探讨其他几何体体积的求法.
同一摞书，当改变摆放书的形式时 (如图11-1-51 所示)，这探书的总体积是否会改变? 由此能得到有关体积的什么结论?
早在南北朝时期，祖冲之与他的儿子祖暅就研究了几何体的体积，并在总结前人成果的基础上提出了如下的祖暅原理.
祖暅原理 幂势既同，则积不容异.
这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等，如图 11-1-52 所示.
棱柱与圆柱统称为柱体. 注意到柱体被平行于底面的平面所截时，得到的截面与底面全等，因此截面面积一定等于底面面积，从而由祖暅原理可知，等底面积、等高的两个柱体，体积相等.
又因为长方体的体积等于底面积乘以高，所以如果柱体的底面积为 S，高为h，则柱体的体积计算公式为
棱锥与圆锥统称为锥体. 如图 11-1-53 所示，当锥体被平行于底面的平面所截时，得到的截面与底面相似，即△A´B´C´∽△ABC，而且相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比，因此截面与底面的面积之比
从而由祖暅原理可知，等底面积、等高的两个锥体，体积相等.
如图 11-1-54 所示的直三棱柱可以分成3个三棱锥，所得到的 3个三棱锥的体积之间有什么关系?由此能得到三棱锥的体积计算公式吗?
一般地，如果锥体的底面积为 S，高为h，则锥体的体积计算公式为
如图 11-1-55 所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，求棱锥 D'-A'CD的体积与长方体的体积之比.
已知的长方体可以看成直四棱柱ADD'A'-BCC'B'，设它的底面 ADD'A'面积为 S，高为h，则长方体的体积为
因此所求体积之比为2 .
棱台与圆台统称为台体. 因为台体可看成锥体截去一个小锥体得到，所以台体的体积可以通过计算锥体的体积之差来得到.
已知四棱台上、下底面面积分别为 S₁，S₂，而且高为h，求这个棱台的体积.
如图 11-1-56 所示，将四棱台看成从棱锥 P-ABCD中截去棱 P-A₁B₁C₁D₁所得到的，且设两个棱锥的高分别为 PO 与PO₁.由已知有
再由 PO-PO₁-OO₁ =h，因此可得
一般地，如果台体的上、下底面面积分别为 S₁，S₂，高为h，则台体的体积计算公式为
(1) 你能想办法测出一个乒乓球的体积吗?(2) 如图 11-1-57 所示是底面积和高都相等的两个几何体，左边是半球，右边是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分.用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体，分别指出截面的形状，并讨论两个截面面积的大小关系，由此你能得到球的体积公式吗?
一般地，如果球的半径为 R，那么球的体积计算公式为
如图11-1-58 所示，某铁制零件由一个正四棱柱和一个球组成，已知正四棱柱底面边长与球的直径均为1cm，正四棱柱的高为 2 cm，现有这种零件一盒共50 kg，取铁的密度为 7.8 g/cm，π≈3.14.(1)估计有多少个这样的零件;(2)如果要给这盒零件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，则需要能涂多少平方厘米的材料(球与棱柱接口处的面积不计，结果精确到1cm²)?
(1)每个零件的体积为
因此可估计出零件的个数为
（2）每个零件的表面积为
因此零件的表面积之和约为 2541×(10+π)≈33 389 (cm²).即需要能涂33 389 cm²的材料.
例3 中的几何体，是由球和棱柱组合而成的，类似的几何体一般称为组合体，求组合体的体积(或表面积) 时，只需要算出其中每个几何体的体积(或表面积)，然后再处理即可.
1.已知一个长方体的长、宽、高的比为4:2:1，它的体积为1000 cm，求这个长方体的长、宽、高.2.如果圆柱的底面半径不变，要使它的体积扩大到原来的 5倍，那么需要把它的高扩大到原来的多少倍?如果圆柱的高不变，半径扩大到原来的多少倍才能使它的体积扩大到原来的 5倍?
3.如图，将正四棱柱底面的边3 等分，过3等分点用平行于侧棱的平面截去 4 个三棱柱，得到一个八棱柱，求这个八棱柱与原四棱柱体积之比.4.在正方体ABCD-A'B'C'D'中，三校锥A'-BC'D的体积是正方体体积的几分之几?5.如果一个球的大圆的面积增加到原来的 100 倍，那么这个球的体积会怎样变化?
1.已知长方体形的铜块长、宽、高分别是2，4，8，将它熔化后铸成一个正方体形的铜块(不计损耗)，求铸成后的铜块的棱长.2.已知正四棱锥底面边长为 4 cm，高与斜高的夹角为 30°，求正四棱锥的表面积与体积.
3.《九章算术》中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周入尺高五尺，问积及为米几何.”其意思为:“在屋内墙角处堆放米 (如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少.”已知1斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有 ( ).(A) 14 斛 (B)22斛 (C)36斛 (D) 66斛
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