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高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册第三章 排列、组合与二项式定理3.1 排列与组合3.1.1 基本计数原理教课课件ppt
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这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册第三章 排列、组合与二项式定理3.1 排列与组合3.1.1 基本计数原理教课课件ppt，共36页。PPT课件主要包含了排列与组合，学习目标，情境与问题，尝试与发现，+3+26，总结归纳，典例精析，m1+m2++mn，m1×m2××mn，练习A等内容，欢迎下载使用。
3.1.1 基本计数原理
1.通过实例,总结分类加法计数原理与分步乘法计数原理的意义,分清它们的条件和结论.2.掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理,理解两个原理的区别与联系.3.能根据具体问题的特征,选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.
在数学学习和日常生活中，我们经常会遇到类似“共有多少种情况”的计数问题.例如:(1)一个由3个元素组成的集合，共有多少个不同的子集?(2)由3个数字组成的密码锁，如图3-1-1所示，如果忘记了密码，最多要试多少次才能打开密码锁?
(3)有4位同学和1位老师站成一排照相，如果老师要站在正中间，如图 3-1-2所示，则有多少种不同的站法?
你能解答上述问题吗?对于比较简单的计数问题，我们可以通过列举法求得结果，例如上述的问题(1);但是，如果问题比较复杂，那么只借助列举法可能就难以求得问题的答案了，例如上述的问题(2)和(3).有没有其他方法可以帮助我们计数呢?答案是肯定的。
你能解答下述两个问题吗?试着由此归纳出一般的规律。 (1)已知某天从北京到上海的G字头列车有43班，D字头列车有2班，其他列车有3班，小张想在这一天坐火车从北京到上海旅游，不考虑其他因素，小张有多少种不同的选择?
尝试与发现中的问题(1)，小张乘坐的列车可以分为3类，即G宁头列车、D字头列车或其他列车，其中任何一类的任何一班车都可以让小张从北京到达上海，因此不同的选择有 43+2+3=48种
(2)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，假定火车每日有1班，汽车每日有3班，轮船每日有2班，那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法呢?
类似地，问题(2)中，从甲地到乙地，可乘坐三类交通工具:火车、汽车或轮船，每类交通工具又各有若干个班次，选择其中任何一类的任何一个班次都可以从甲地到达乙地，因此一天中不同的走法有 1 种
在某设计活动中，李明要用红色和蓝色填涂四个格子(如图3-1-3所示),要求每种颜色都用两次，李明共有多少种不同的填涂方法?
试给出一种满足条件的涂法，在明确要完成的事情是什么的前提下思考:(1)怎祥用符号表示填涂结果 ?(2)可以将填涂结果分类吗 ?
用R表示红色，用B表示蓝色，例如，RBRB表示第一个和第三解个格子涂红色，第二个和第四个格子涂蓝色。 因为红色和蓝色都要用两次，为了简化问题，考虑涂红色的格子是否相邻，则填涂结果可以分为两类:涂红色的格子相邻，涂红色的格子不相邻, 涂红色的格子相邻的方法有:RRBB，BRRB，BBRR，共 3 种； 涂红色的格子不相邻的方法有:RBRB，BRBR，RBBR，共 3 种. 依据分类加法计数原理，李明共有2 种不同的涂法。
1.分类加法计数原理完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= _________________种不同的方法.
2.对分类加法计数原理的说明(1)核心：原理的核心为“分类”，完成一件事的方法为若干类.(2)特点：相互独立；各类方案相互独立，各类方案中的各种方法也相互独立，并且用任何一类方法都可以独立完成这件事.(3)应用：①根据问题的特点确定一个分类标准；②在确定的标准下进行分类；③分类不能重复，不能遗漏.
已知某公园的示意图如图 3-1-4所示，其中从西门到景点A共有3条不同的路，从景点 A到东门共有两条不同的路，王瑞从公园的西门进入公园后，想去A景点游玩，然后从东门出公园，只考虑路的选择，王瑞共有多少种不同的走法?你能用适当的符号表示出所有的情况吗?
如果把从西门到景点A的三条路分别记为a₁，a₂，a₃，把从景点A到东门的路记为b₁，b₂，用a₁b₁表示王瑞经a₁到景点A，然后经b₁到东门注意到不管王瑞选择哪条路到景点A，其去东门都有两种不同的选择方法，因此不同的走法为a₁b₁，a₂b₂ ,3 .
共有6种，可以看出，这里的6能看成3和2的乘积，即 3×2=6,这样，不同的走法可以用图3-1-5直观地表示出来。
把上述解法推广到一般情况，就可以得出:分步乘法计数原理 完成一件事，如果需要分成n个步骤，且:做第一步有m₁种不同的方法，做第二步有m₂种不同的方法……做第n步有mn ，种不同的方法，那么完成这件事共有 N= m₁ ×m₂ × … × mn种不同的方法.
用1，2，3，4，5可以排成多少个数字不重复的三位数?
要排成一个三位数，只需分别指定这个三位数的百位、十位、个位上的数字即可，因此可以分为三步完成.
排成一个三位数，可以分为三步:第一步，确定百位上的数字，共有5种方法;第二步，确定十位上的数字，因为数字不能重复，所以不能是百位上已有的数字，共有4种方法；
第三步，确定个位上的数字，共有3种方法.依据分步乘法计数原理，可以排成数字不重复的三位数的个数为
5 × 4 × 3=60.
本节一开始的情境与问题中的问题(2)，可借助分步乘法计数原理来解答，因为共有3位数字，每一位数字都有10种可能，所以密码的设定方法共有
10 × 10 × 10=1 000种
这就意味着，遗忘密码时，最多要试1000次才能打开密码锁
情境与问题中的问题(3)，可以转化为将4位同学安排在从左到右的4个位置上，也可以借助分步乘法计数原理解答，请读者自行完. 分类加法计数原理和分步乘法计数原理合称为基本计数原理.
1.分步乘法计数原理完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= _________________种不同的方法.
2.对分步乘法计数原理的说明(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的.(2)将完成这件事划分为几个步骤，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成.
某班班委由2位女同学、3位男同学组成，现要从该班班委里选出2人去参加学校组织的培训活动，要求至少要有1位女同学参加，则不同的选法共有多少种?
3.基本计数原理的应用
按照选择的女同学人数分为两种情况，即2位都是女同学和只有1位女同学. 2位都是女同学的选法显然只有1种.
只有1位女同学的选法，可以分为两步完成:先从2位女同学中选出1人，有2种选法;再从3位男同学中选出1人，有3种选法.依据分步乘法计数原理，共有不同的选法 2×3=6种.
依据分类加法计数原理，不同的选法共有4 种。
值得注意的是，例3中的选择，不能分为如下两步来完成:首先选择1位女同学，然后在剩下的4人中选择1人，事实上，如果用a₁，a₂代表2位女同学，b₁，b₂，b₃代表3位男同学，则这种分步的结果可用图3-1-6表示，你能看出其中的问题吗?
分类加法计数原理的两个条件 (1)根据问题的特点能确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类. (2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理.
利用分步乘法计数原理解题的策略(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总方法数.提醒：分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成.
利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么.(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类.(3)弄清分步、分类的标准是什么.(4)利用两个计数原理求解.
1.张丽的书桌上有3本不同的语文课外读物和2本不同的数学课外读物，现在她想从中取出一本随身携带，以便外出时阅读，有多少种不同的取法?如果她想从语文课外读物和数学课外读物中各取一本随身携带，有多少种不同的取法?
2.用0，1，2，…，9这十个数字，可以组成多少种不同的银行卡密码?(每个银行卡密码均由六位数字组成，数字可以重复，不考虑其他因素.)
3.(1)用1，2，3，4，5，6可以排成多少个数字不重复的两位数? (2)用1，2，3，4，5，6可以排成多少个数字可以重复的两位数?
4.将代数式（x+y+z）(a+b+c+d+e)展开后，共有多少项?
5.某城市电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前面四位数字是固定的，后面四位的每一个数字都是0到9这十个数字中的任意一个，该电话局管辖范围内的不同的电话号码最多能有多少个?
1.如图所示，从甲地到己地有2条路，从乙地到丁地有3条路;从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路.要从甲地去丁地，共有多少种不同的走法?
2.已知A，B，C，D，E这五位司机中，A，B既能开大客车，也能开小客车，但C，D，E这三位司机都只能开小容车，现要从这五位司机中选用两人，分别去开一辆大客车和一辆小客车，共有多少种不同的选用方法?
4.如图所示，把硬币有币值的一面称为正面，有花的一面称为反面，抛一次硬币，得到正面记为1，得到反面记为0，现抛一枚硬币5次，按照每次的结果，可得到由5个数组成的数组(例如，若第一、二、四次得到的是正面，第三、五次得到的是反面，则结果可记为(1，1，0，1，0))，则可得不同的数组共有多少个?
3.1.1 基本计数原理
1.通过实例,总结分类加法计数原理与分步乘法计数原理的意义,分清它们的条件和结论.2.掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理,理解两个原理的区别与联系.3.能根据具体问题的特征,选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.
在数学学习和日常生活中，我们经常会遇到类似“共有多少种情况”的计数问题.例如:(1)一个由3个元素组成的集合，共有多少个不同的子集?(2)由3个数字组成的密码锁，如图3-1-1所示，如果忘记了密码，最多要试多少次才能打开密码锁?
(3)有4位同学和1位老师站成一排照相，如果老师要站在正中间，如图 3-1-2所示，则有多少种不同的站法?
你能解答上述问题吗?对于比较简单的计数问题，我们可以通过列举法求得结果，例如上述的问题(1);但是，如果问题比较复杂，那么只借助列举法可能就难以求得问题的答案了，例如上述的问题(2)和(3).有没有其他方法可以帮助我们计数呢?答案是肯定的。
你能解答下述两个问题吗?试着由此归纳出一般的规律。 (1)已知某天从北京到上海的G字头列车有43班，D字头列车有2班，其他列车有3班，小张想在这一天坐火车从北京到上海旅游，不考虑其他因素，小张有多少种不同的选择?
尝试与发现中的问题(1)，小张乘坐的列车可以分为3类，即G宁头列车、D字头列车或其他列车，其中任何一类的任何一班车都可以让小张从北京到达上海，因此不同的选择有 43+2+3=48种
(2)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，假定火车每日有1班，汽车每日有3班，轮船每日有2班，那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法呢?
类似地，问题(2)中，从甲地到乙地，可乘坐三类交通工具:火车、汽车或轮船，每类交通工具又各有若干个班次，选择其中任何一类的任何一个班次都可以从甲地到达乙地，因此一天中不同的走法有 1 种
在某设计活动中，李明要用红色和蓝色填涂四个格子(如图3-1-3所示),要求每种颜色都用两次，李明共有多少种不同的填涂方法?
试给出一种满足条件的涂法，在明确要完成的事情是什么的前提下思考:(1)怎祥用符号表示填涂结果 ?(2)可以将填涂结果分类吗 ?
用R表示红色，用B表示蓝色，例如，RBRB表示第一个和第三解个格子涂红色，第二个和第四个格子涂蓝色。 因为红色和蓝色都要用两次，为了简化问题，考虑涂红色的格子是否相邻，则填涂结果可以分为两类:涂红色的格子相邻，涂红色的格子不相邻, 涂红色的格子相邻的方法有:RRBB，BRRB，BBRR，共 3 种； 涂红色的格子不相邻的方法有:RBRB，BRBR，RBBR，共 3 种. 依据分类加法计数原理，李明共有2 种不同的涂法。
1.分类加法计数原理完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= _________________种不同的方法.
2.对分类加法计数原理的说明(1)核心：原理的核心为“分类”，完成一件事的方法为若干类.(2)特点：相互独立；各类方案相互独立，各类方案中的各种方法也相互独立，并且用任何一类方法都可以独立完成这件事.(3)应用：①根据问题的特点确定一个分类标准；②在确定的标准下进行分类；③分类不能重复，不能遗漏.
已知某公园的示意图如图 3-1-4所示，其中从西门到景点A共有3条不同的路，从景点 A到东门共有两条不同的路，王瑞从公园的西门进入公园后，想去A景点游玩，然后从东门出公园，只考虑路的选择，王瑞共有多少种不同的走法?你能用适当的符号表示出所有的情况吗?
如果把从西门到景点A的三条路分别记为a₁，a₂，a₃，把从景点A到东门的路记为b₁，b₂，用a₁b₁表示王瑞经a₁到景点A，然后经b₁到东门注意到不管王瑞选择哪条路到景点A，其去东门都有两种不同的选择方法，因此不同的走法为a₁b₁，a₂b₂ ,3 .
共有6种，可以看出，这里的6能看成3和2的乘积，即 3×2=6,这样，不同的走法可以用图3-1-5直观地表示出来。
把上述解法推广到一般情况，就可以得出:分步乘法计数原理 完成一件事，如果需要分成n个步骤，且:做第一步有m₁种不同的方法，做第二步有m₂种不同的方法……做第n步有mn ，种不同的方法，那么完成这件事共有 N= m₁ ×m₂ × … × mn种不同的方法.
用1，2，3，4，5可以排成多少个数字不重复的三位数?
要排成一个三位数，只需分别指定这个三位数的百位、十位、个位上的数字即可，因此可以分为三步完成.
排成一个三位数，可以分为三步:第一步，确定百位上的数字，共有5种方法;第二步，确定十位上的数字，因为数字不能重复，所以不能是百位上已有的数字，共有4种方法；
第三步，确定个位上的数字，共有3种方法.依据分步乘法计数原理，可以排成数字不重复的三位数的个数为
5 × 4 × 3=60.
本节一开始的情境与问题中的问题(2)，可借助分步乘法计数原理来解答，因为共有3位数字，每一位数字都有10种可能，所以密码的设定方法共有
10 × 10 × 10=1 000种
这就意味着，遗忘密码时，最多要试1000次才能打开密码锁
情境与问题中的问题(3)，可以转化为将4位同学安排在从左到右的4个位置上，也可以借助分步乘法计数原理解答，请读者自行完. 分类加法计数原理和分步乘法计数原理合称为基本计数原理.
1.分步乘法计数原理完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= _________________种不同的方法.
2.对分步乘法计数原理的说明(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的.(2)将完成这件事划分为几个步骤，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成.
某班班委由2位女同学、3位男同学组成，现要从该班班委里选出2人去参加学校组织的培训活动，要求至少要有1位女同学参加，则不同的选法共有多少种?
3.基本计数原理的应用
按照选择的女同学人数分为两种情况，即2位都是女同学和只有1位女同学. 2位都是女同学的选法显然只有1种.
只有1位女同学的选法，可以分为两步完成:先从2位女同学中选出1人，有2种选法;再从3位男同学中选出1人，有3种选法.依据分步乘法计数原理，共有不同的选法 2×3=6种.
依据分类加法计数原理，不同的选法共有4 种。
值得注意的是，例3中的选择，不能分为如下两步来完成:首先选择1位女同学，然后在剩下的4人中选择1人，事实上，如果用a₁，a₂代表2位女同学，b₁，b₂，b₃代表3位男同学，则这种分步的结果可用图3-1-6表示，你能看出其中的问题吗?
分类加法计数原理的两个条件 (1)根据问题的特点能确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类. (2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理.
利用分步乘法计数原理解题的策略(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总方法数.提醒：分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成.
利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么.(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类.(3)弄清分步、分类的标准是什么.(4)利用两个计数原理求解.
1.张丽的书桌上有3本不同的语文课外读物和2本不同的数学课外读物，现在她想从中取出一本随身携带，以便外出时阅读，有多少种不同的取法?如果她想从语文课外读物和数学课外读物中各取一本随身携带，有多少种不同的取法?
2.用0，1，2，…，9这十个数字，可以组成多少种不同的银行卡密码?(每个银行卡密码均由六位数字组成，数字可以重复，不考虑其他因素.)
3.(1)用1，2，3，4，5，6可以排成多少个数字不重复的两位数? (2)用1，2，3，4，5，6可以排成多少个数字可以重复的两位数?
4.将代数式（x+y+z）(a+b+c+d+e)展开后，共有多少项?
5.某城市电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前面四位数字是固定的，后面四位的每一个数字都是0到9这十个数字中的任意一个，该电话局管辖范围内的不同的电话号码最多能有多少个?
1.如图所示，从甲地到己地有2条路，从乙地到丁地有3条路;从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路.要从甲地去丁地，共有多少种不同的走法?
2.已知A，B，C，D，E这五位司机中，A，B既能开大客车，也能开小客车，但C，D，E这三位司机都只能开小容车，现要从这五位司机中选用两人，分别去开一辆大客车和一辆小客车，共有多少种不同的选用方法?
4.如图所示，把硬币有币值的一面称为正面，有花的一面称为反面，抛一次硬币，得到正面记为1，得到反面记为0，现抛一枚硬币5次，按照每次的结果，可得到由5个数组成的数组(例如，若第一、二、四次得到的是正面，第三、五次得到的是反面，则结果可记为(1，1，0，1，0))，则可得不同的数组共有多少个?
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