打卡第一天-10天刷完高考真题（新高考ⅠⅡ卷2021-2023）-冲刺2024年高考数学考前必刷题（新高考通用）（原卷版+解析版）

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Ⅱ 真题限时训练
新高考真题限时训练打卡第一天
难度：一般 建议用时:60分钟
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
3．（2023·全国·统考高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由，得，因此，而，所以.
故选：A
4．（2023·全国·统考高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种B．种
C．种D．种
【答案】D
【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.
【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.
故选：D.
5．（2023·全国·统考高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为，而为锐角，
解得：．
故选：D．
6．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
二、多选题
7．（2023·全国·统考高考真题）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
【答案】BD
【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.
【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为，
则，
因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小，
例如：，可得；
例如，可得；
例如，可得；故A错误；
对于选项B：不妨设，
可知的中位数等于的中位数均为，故B正确；
对于选项C：因为是最小值，是最大值，
则的波动性不大于的波动性，即的标准差不大于的标准差，
例如：，则平均数，
标准差，
，则平均数，
标准差，
显然，即；故C错误；
对于选项D：不妨设，
则，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：BD.
8．（2023·全国·统考高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，
因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，
因此方程有两个不等的正根，
于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.
故选：BCD
三、填空题
9．（2023·全国·统考高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
【答案】（中任意一个皆可以）
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出．
【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案为：（中任意一个皆可以）．
10．（2023·全国·统考高考真题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ．
【答案】/
【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解.
【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，

因为，
则，
故，则，
所以所求体积为.
故答案为：.
四、解答题
11．（2023·全国·统考高考真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.
【详解】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
12．（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
13．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.
方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.
【详解】（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
Ⅲ 精选模拟题预测
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对数与分式的意义可得，再根据根式的值域可得，进而可得.
【详解】由可得，解得，
又，
故.
故选：B
2．已知，则等于（ ）
A．10B．C．3D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式，准确计算即可求解.
【详解】由向量，可得，
所以.
故选：B.
3．已知椭圆的焦距为2，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由椭圆的定义得到，再由椭圆的性质得到，结合已知条件解方程组，最后求出离心率即可.
【详解】根据题意有半焦距，故①，且②，
联立①②解得的离心率.
故选：D.
4．某校有东､南､西､北四个校门，为了加大防疫的力度，学校做出如下规定：北门封闭，学生只能从东门或西门进入校园，教师不能从西门进入校园.现有名教师和名学生要进入校园（不分先后顺序），则这人进入校园的方式共有（ ）
A．7种B．64种C．128种D．648种
【答案】C
【分析】分别求出名学生进入校园方式的总个数，再求出名教师进入校园方式的总个数，再利用分步乘法计算原理求解即可.
【详解】因为学生只能从东门或西门进入校园，所以名学生进入校园的方式共有种.
依题意可得教师只能从东门或南门进入校园，所以名教师进入校园的方式共有种.
所以这人进入校园的方式共有种.
故选：C.
5．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角差的正弦公式、二倍角的余弦公式进行求解即可.
【详解】由，
由，
．
故选：C
6．已知是奇函数，则（ ）
A．－1B．1C．－2D．2
【答案】B
【分析】根据题意，利用，求得的值，进而求得的值，得到答案.
【详解】由函数，
因为是奇函数，所以，
即，
整理得，解得，
所以．
故选：B.
二、多选题
7．党的二十大作出“发展海洋经济，保护海洋生态环境，加快建设海洋强国”的战略部署．如图是2018—2023年中国海洋生产总值的条形统计图，根据图中数据可知下列结论正确的是（ ）

A．从2018年开始，中国海洋生产总值逐年增大
B．从2019年开始，中国海洋生产总值的年增长率最大的是2021年
C．这6年中国海洋生产总值的极差为15122
D．这6年中国海洋生产总值的80%分位数是94628
【答案】BD
【分析】对A，根据条形图数据可判断；对B，根据数据计算年增长率可判断；对C，计算极差可判断；对D，根据80%分位数概念计算可判断.
【详解】对于A，根据条形图数据可以看到2020年较2019年海洋生产总值是下降的，故A错误；
对于B，2019年海洋生产总值年增长率是，
2020年海洋生产总值年增长率是，2021年海洋生产总值年增长率是，
2022年海洋生产总值年增长率是，2023年海洋生产总值年增长率是，
故年增长率最大的是2021年，故B正确；
对于C，这6年中国海洋生产总值的极差为，故C错误；
对于D，将这6年的海洋生产总值按照从小到大排列80010，83415，89415，90385，94628，98537，又，
所以这6年中国海洋生产总值的80%分位数是94628，故D正确.
故选：BD.
8．已知函数，若函数恰有5个零点，则m的值可以是（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】BC
【分析】先作出函数的图象，然后结合函数的零点与方程的根的关系，得到方程的一个根在，一个根在，结合一元二次方程的根的分布问题即可求解．
【详解】记，作出函数的图象如图所示，
令，则由图可知，当时，方程只有一个根；
当时，方程有两个根；当时，方程只有一个根；
显然不是方程的根；
若是方程的根，则，此时，
结合图象可知，此时方程和方程共有4个根，则函数有4个零点，不满足题意；
所以恰有5个零点等价于方程恰有5个实根，
等价于方程的一个根在，一个根在，
令，则，所以，
结合选项可知，m的值可以是1和.故选：BC
三、填空题
9．某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从设备正东方向米的A处出发，沿A处西北方向走向位于设备正北方向的处，则这名工作人员被持续监测的时长为 分钟.
【答案】2
【分析】建立平面直角坐标系，求出直线的方程，利用点到直线距离公式和垂径定理求出弦长，进而求出答案.
【详解】以设备的位置为坐标原点，其正东方向为轴正方向，
正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，所以直线，
可得，即，
圆.
记从处开始被监测，到处监测结束，
因为到的距离为米，
所以米，
故监测时长为分钟.
故答案为：2
10．招待客人时，人们常使用一次性纸杯，将其视为圆台，设其杯底直径为，杯口直径为，高为ℎ，将该纸杯装满水（水面与杯口齐平）后，再将一直径为的小铁球缓慢放入杯中，待小铁球完全沉入水中并静止后，从杯口溢出水的体积为纸杯容积的，则
【答案】4
【分析】利用圆台及球的体积公式结合条件即得．
【详解】解：由题可得纸杯的体积为，
小铁球的体积为，
由题可得，即．
故答案为：4
四、解答题
11．设的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)设的角平分线交于点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）首先根据正弦定理将边化为角，再结合三角恒等变换，即可求解；
（2）首先根据角平分线的性质，结合三角形的面积公式，求得，再结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）.
由正弦定理，得
，即
，即
（2）由题意可得，

即

当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为9.
12．已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，.
(1)求的通项公式;
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件转化为关于等差数列的首项和公差的方程组，列式求解；
（2）根据数列的通项公式，以及数列与的关系，利用分组转化的方法，即可求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
，

，
整理得，解得
；
（2）当n为偶数时，
；
当为奇数时，，
，
当时，上式也成立；
.
13．已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：当时，恒成立．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）对参数分类讨论，在不同情况下利用导数判断函数单调性，即可求得结果；
（2）将问题转化为证明，构造函数，利用导数判断其单调性，结合题意，即可证明.
【详解】（1）的定义域是，，
①时，，在单调递增，
②时，，
令，解得；令，解得，
故在递减，在递增，
综上：
时，在单调递增，时，在递减，在递增.
（2）要证，即证，，
①当时，，，该不等式恒成立；
②当时，，结合，得，
只需证明：，即证，
令，，
令，则，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
又，，所以存在，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，，
所以当时，；当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，问题得证，
即当时，恒成立．
综上所述，当时，恒成立．