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2024年重庆市中考数学试卷（B卷） 含答案
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这是一份2024年重庆市中考数学试卷（B卷） 含答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
2．下列标点符号中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．反比例函数y＝﹣的图象一定经过的点是（ ）
A．（1，10）B．（﹣2，5）C．（2，5）D．（2，8）
4．如图，AB∥CD，若∠1＝125°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．125°
5．若两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形面积的比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
6．估计的值应在（ ）
A．8和9之间B．9和10之间
C．10和11之间D．11和12之间
7．用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ）
A．20B．21C．23D．26
8．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，则∠OAB的度数为（ ）
A．28°B．34°C．56°D．62°
9．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（ ）
A．2B．C．D．
10．已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+⋯+a1x+a0，其中n，an﹣1，…，a0为自然数，an为正整数，且n+an+an﹣1+⋯+a1+a0＝5．下列说法：
①满足条件的整式M中有5个单项式；
②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个；
③满足条件的整式M共有16个．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
11．计算：|﹣2|+30＝ ．
12．甲、乙两人分别从A、B、C三个景区中随机选取一个景区前往游览，则他们恰好选择同一景区的概率为 ．
13．若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数为 ．
14．重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为 ．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．若BC＝2，则AD的长度为 ．
16．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4，且关于y的分式方程﹣＝1的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
17．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点．连接AC交⊙O于点D，点E是⊙O上一点，连接BE，DE，过点A作AF∥BE交BD的延长线于点F．若BC＝5，CD＝3，∠F＝∠ADE，则AB的长度是 ；DF的长度是 ．
18．一个各数位均不为0的四位自然数M＝，若满足a+d＝b+c＝9，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵1+8＝2+7＝9，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且b﹣a＝c﹣b＝1，则这个数为 ；若M＝是一个“友谊数”，设F（M）＝，且是整数，则满足条件的M的最大值是 ．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（8分）计算：
（1）a（3﹣a）+（a﹣1）（a+2）；
（2）（1+）÷．
20．（10分）数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．
八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”（x≥90）的总共有多少人？
21．（10分）在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：
（1）如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点．用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且EF⊥AC．求证：四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD．
∴① ，∠OCF＝∠OAE．
∵点O是AC的中点，
∴② ．
∴△CFO≌△AEO（AAS）．
∴③ ．
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④ ．
22．（10分）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A、B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A、B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元．
（1）求A、B两种外墙漆每千克的价格各是多少元？
（2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，点P为AB上一点，过点P作PQ∥BC交AC于点Q．设AP的长度为x，点P，Q的距离为y1，△ABC的周长与△APQ的周长之比为y2．
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象；请分别写出函数y1，y2的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
24．（10分）如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西60°方向，C在A的北偏东30°方向，且在B的北偏西15°方向，AB＝2千米．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
（1）求BC的长度（结果精确到0.1千米）；
（2）甲、乙两人从景点D出发去景点B，甲选择的路线为：D﹣C﹣B，乙选择的路线为：D﹣A﹣B．请计算说明谁选择的路线较近？
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x＝．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D，作PE⊥BC于点E，求PD+PE的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿射线BC方向平移个单位，在PD+PE取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接AF交y轴于点M，点N为平移后的抛物线上一点，若∠NMF﹣∠ABC＝45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
26．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点B作BD∥AC．
（1）如图1，若点D在点B的左侧，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E．若点E是BC的中点，求证：AC＝2BD；
（2）如图2，若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，连接BF并延长交AC于点G，连接CF．过点F作FM⊥BG交AB于点M，CN平分∠ACB交BG于点N，求证：AM＝CN+BD；
（3）若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，且AF＝AC．点P是直线AC上一动点，连接FP，将FP绕点F逆时针旋转60°得到FQ，连接BQ，点R是直线AD上一动点，连接BR，QR．在点P的运动过程中，当BQ取得最小值时，在平面内将△BQR沿直线QR翻折得到△TQR，连接FT．在点R的运动过程中，直接写出的最大值．
参考答案
一、选择题
1．解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣1＜0＜1＜2，
∴四个数中，最小的数是﹣1．
故选：A．
2．解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：A．
3．解：当x＝1时，y＝﹣10，
∴图象不经过（1，10），故A选项错误；
当x＝﹣2时，y＝5，
∴图象经过（﹣2，5），故B选项正确；
当x＝2时，y＝﹣5，
∴图象不经过（2，5），（2，8），故C选项、D选项错误；
故选：B．
4．解：如图，
∵∠1+∠3＝180°，∠1＝125°，
∴∠3＝55°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝55°，
故选：C．
5．解：若两个相似三角形的相似比为1：4，
则这两个三角形面积的比是1：16，
故选：D．
6．解：
＝
＝，
∵5.76＜6＜6.25，
∴，
∴2.4＜＜2.5，
∴10.8＜＜11，
故选：C．
7．解：由所给图形可知，
第①个图案中，菱形的个数为：2＝1×3﹣1；
第②个图案中，菱形的个数为：5＝2×3﹣1；
第③个图案中，菱形的个数为：8＝3×3﹣1；
第④个图案中，菱形的个数为：11＝4×3﹣1；
…，
所以第n个图案中，菱形的个数为（3n﹣1）个，
当n＝8时，
3n﹣1＝23（个），
即第⑧个图案中，菱形的个数为23个．
故选：C．
8．解：∵∠D＝28°，
∴∠BOC＝2∠D＝56°．
∵OC⊥AB，
∴点C为的中点，
∴，
∴∠AOC＝∠BOC＝56°，
∴∠AOB＝2×56°＝112°．
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝．
故选：B．
9．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°，
∴在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（SAS），
∴AE＝AF；
∵AM平分∠EAF，
∴∠EAM＝∠FAM，
∴在△AEM和△AFM中，
，
∴△AEM≌△AFM（SAS），
∴EM＝FM；
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°，
设DM＝x，则MC＝CD﹣DM＝4﹣x，CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，EM＝FM＝FD+DM＝1+x，
在Rt△MCE中，根据勾股定理，得EM2＝MC2+CE2，即（1+x）2＝（4﹣x）2+32，
解得x＝．
故选：D．
10．解：∵n，an﹣1，…a0为自然数，an为正整数，且n+an+an﹣1+⋯+a1+a0＝5，
∴0≤n≤4，
当n＝4时，则4+a4+a3+a2+a1+a0＝5，
∴a4＝1，a3＝a2＝a1＝a0＝0，
满足条件的整式有x4，
当n＝3时，则3+a3+a2+a1+a0＝5，
∴（a3，a2，a1，a0）＝（2，0，0，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1），
满足条件的整式有：2x3，x3+x2，x3+x，x3+1，
当n＝2时，则2+a2+a1+a0＝5，
∴（a2，a1，a0）＝（3，0，0），（2，1，0），（2，0，1），（1，2，0），（1，0，2），（1，1，1），
满足条件的整式有：3x2，2x2+x，2x2+1，x2+2x，x2+2，x2+x+1；
当n＝1时，则1+a1+a0＝5，
∴（a1，a0）＝（4，0），（3，1），（1，3），（2，2），
满足条件的整式有：4x，3x+1，x+3，2x+2；
当n＝0时，0+a0＝5，
满足条件的整式有：5；
∴满足条件的单项式有：x4，2x3，3x2，4x，5，故①符合题意；
不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个，故②符合题意；
满足条件的整式M共有1+4+6+4+1＝16个，故③符合题意；
故选：D．
二、填空题
11．解：|﹣2|+30＝2+1＝3，
故答案为：3．
12．解：根据题意列表如下：
由上面表格可得总共有9种可能，其中他们恰好选择同一景区的有3种，
则他们恰好选择同一景区的概率是＝．
故答案为：．
13．解：∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，
∴360°÷45°＝8
即该正多边形的边数为8．
14．解：根据题意得：200（1+x）2＝401．
故答案为：200（1+x）2＝401．
15．解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
又∵∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝36°，
∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC＝2，
∵∠A＝36°，∠ABD＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD＝2，
故答案为：2．
16．解：，
解不等式①，得x≤4，
解不等式②，得x＜a+2，
由题意得a+2＞4，
解得a＞2；
解方程﹣＝1得，
y＝，
当a＝8时，y＝＝﹣1；
当a＝6时，y＝＝﹣2（不合题意，舍去）；
当a＝4时，y＝＝﹣3，
∴符合条件的a有8，4，
∴8+4＝12，
即所有满足条件的整数a的值之和是12．
17．解：∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∵BC＝5，CD＝3，
∴BD＝＝4，
∵BC切圆于B，
∴直径AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵∠BCD＝∠ACB，∠CDB＝∠ABC＝90°，
∴△CDB∽△CBA，
∴DB：BA＝CD：CB，
∴4：AB＝3：5，
∴AB＝，
∵AF∥BE，
∴∠BAF＝∠ABE，
∵∠ABE＝∠ADE，∠F＝∠ADE，
∴∠F＝∠BAF，
∴BF＝AB＝，
∴FD＝BF﹣BD＝﹣4＝．
故答案为：，．
18．解：∵是一个“友谊数”，
∴a+d＝b+c＝9，
又∵b﹣a＝c﹣b＝1，
∴b＝4，c＝5，∴a＝3，d＝6，
∴这个数为3456；
∵是一个“友谊数”，
∴M＝1000a+100b+10c+d＝1000a+100b+10（9﹣b）+9﹣a＝999a+90b+99，
∴，
∴＝＝＝＝，
∵是整数，
∴是整数，即是整数，
∴3a+b+6是13的倍数，
∵a、b、c、d都是不为0的正整数，且a+d＝b+c＝9，
∴a≤8，
∴当a＝8时，31≤3a+b+6≤38，此时不满足3a+b+6是13的倍数，不符合题意；
当a＝7时，28≤3a+b+6≤35，此时不满足3a+b+6是13的倍数，不符合题意；
当a＝6时，25≤3a+b+6≤32，此时可以满足3a+b+6是13的倍数，即此时b＝2，则此时d＝3，c＝7，
∵要使M最大，则一定要满足a最大，
∴满足题意的M的最大值即为6273；
故答案为：3456；6273．
三、解答题
19．解：（1）a（3﹣a）+（a﹣1）（a+2）
＝3a﹣a2+a2+2a﹣a﹣2
＝4a﹣2；
（2）（1+）÷
＝•
＝
＝．
20．解：（1）由题意可知，八年级C组有：10×20%＝2（人），
把被抽取八年级10名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为88，88，故中位数a＝＝88，
在被抽取的七年级10名学生的数学竞赛成绩中，87分出现的次数最多，故众数b＝87，
m%＝1﹣20%﹣×100%＝40%，故m＝40；
故答案为：88，87，40；
（2）八年级学生数学文化知识较好，
理由：因为八年级学生成绩的中位数和众数比七年级的高，所以八年级学生数学文化知识较好；
（3）500×+400×40%＝310（人），
答：估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”（x≥90）的总共有310人．
21．（1）解：图形如图所示：
（2）证明：：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD．
∴①∠OFC＝∠OEA，∠OCF＝∠OAE．
∵点O是AC的中点，
∴②OC＝OA．
∴△CFO≌△AEO（AAS）．
∴③OF＝OE．
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④四边形AECF是菱形．
故答案为：∠OFC＝∠OEA，OC＝OA，OF＝OE，四边形AECF是菱形．
22．解：（1）设A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克的价格是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种外墙漆每千克的价格是26元，B种外墙漆每千克的价格是24元；
（2）设甲每小时粉刷外墙的面积是m平方米，则乙每小时粉刷外墙的面积是m方米，
根据题意得：﹣＝5，
解得：m＝25，
经检验，m＝25是所列方程的解，且符合题意．
答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米．
23．解：（1）∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴，
∴，
∴y1＝x（0＜x≤6）；
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴△ABC的周长：△APQ的周长＝AB：AP，
∴y2＝（0＜x≤6）；
（2）平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象如图所示；
当0＜x＜6时，y1随x的增大而增大；y2随x的增大而减小；
（3）由函数图象得，当y1＞y2时x的取值范围为2.1＜x≤6．
24．解：（1）过B作BE⊥AC于E，如图：
根据已知得∠DAB＝90°，
∵∠DAC＝30°，
∴∠EAB＝60°，∠EBA＝30°，
∴AE＝AB＝1（千米），BE＝AE＝（千米），
∵C在B的北偏西15°方向，
∴∠EBC＝90°﹣30°﹣15°＝45°，
∴△EBC是等腰直角三角形，
∴CE＝BE＝（千米），BC＝BE＝×＝≈2.5（千米），
∴BC的长度约为2.5千米；
（2）过C作CF⊥AD于F，如图：
由（1）知AE＝1千米，CE＝千米，
∴AC＝AE+CE＝（1+）千米，
在Rt△ACF中，CF＝AC＝（千米），AF＝CF＝（千米），
∵D在C的北偏西60°方向，
∴∠DCF＝30°，
∴DF＝＝（千米），CD＝2DF＝（千米），
∴AD+AB＝++2＝≈5.15（千米）；
CD+BC＝+≈4.02（千米），
∴CD+BC＜AD+AB；
∴甲选择的路线比较近．
25．解：∵抛物线 y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x＝，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣3；
（2）如图，延长PE交x轴于G，过P作PH∥y轴于H，
在y＝x2﹣x﹣3中，令y＝0得0＝x2﹣x﹣3，
解得：x1＝﹣1，x2＝6，
∴B（6，0），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴，
∴sin，
∵PD∥x轴，
∴∠PHE＝∠BCO，
∴sin∠PHE＝＝，
∴PE＝PH，
由B（6，0），C（0，﹣3）得直线BC为y＝x﹣3，
设 ，则，
∴，
∵抛物线 的对称轴为直线，
∴PD＝2（x﹣）＝2x﹣5，
∴＝﹣x2+5x﹣5，
∵﹣＜0，
∴当时，取得最大值，最大值为 ，此时P（5，﹣3）；
（3）∵抛物线沿射线BC方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴新的抛物线为y＝（x+2）2﹣（x+2）﹣3﹣1＝x2﹣x﹣7，F的坐标为（3，﹣4），
如图，当N在y轴的左侧时，过N作NK⊥y轴于K，
由A（﹣1，0），F（3，﹣4）得直线AF解析式为y＝﹣x﹣1，
当 x＝0 时，y＝﹣1，
∴M（0，﹣1），
∴∠AMO＝∠OAM＝45°＝∠FMK，
∵∠NMF﹣∠ABC＝45°，
∴∠NMK+45°﹣∠ABC＝45°，
∴∠NMK＝∠ABC，
∴tan∠NMK＝tan∠ABC＝＝＝，
设，
∴，
解得： 或 （舍去），
∴；
如图，当N在y轴的右侧时，过M作y轴的垂线MT，过N′作N'T⊥MT于T，
同理可得∠N'MT＝∠ABC，
设，则T（x，﹣1），
同理可得：，
∴ 或x＝ （舍去），
∴，
综上所述，N的坐标为（，4﹣）或（1+，）．
26．证明：（1）∵∠ACB＝90°，BD∥AC，
∴∠CBD＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵AE⊥CD，
∴∠ACD+∠CAE＝90°，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠CAE＝∠BCD，
又∵AC＝CB，∠CBD＝∠ACE＝90°，
∴△ACE≌△CBD（ASA），
∴BD＝CE，
∵点E是BC的中点，
∴BC＝2CE＝2BD，
∴AC＝2BD；
证明：（2）过点G作GH⊥AB于H，连接HF，
∵BD∥AC，
∴∠FBD＝∠FGA，∠D＝∠FAG，
∵点F是AD的中点，
∴AF＝DF，
∴△AGF≌△DBF（AAS），
∴AG＝BD，BF＝GF，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°，
∵GH⊥AH，
∴△AHG是等腰直角三角形，
∴，
∵∠BHG＝∠BCG＝90°，BF＝GF，
∴，
∴∠FBH＝∠FHB，∠FBC＝∠FCB，
∴∠GFH＝∠FBH+∠FHB＝2∠FBH，∠GFC＝∠FBC+∠FCB＝2∠FBC，
∴∠HFC＝∠GFH+∠GFC＝2∠FBH+2∠FBC＝2∠ABC＝90°，
∵FM⊥BG，
∴∠BFM＝90°，
∴∠HFM＝∠CFN，
设∠CBG＝x，则∠ABG＝45°﹣x，∠CGB＝90°﹣x，
∴∠HMF＝∠BFM+∠FBM＝135°﹣x，
∵CN平分∠ACB，
∴，
∴∠CNF＝∠CGN+∠GCN＝135°﹣x，
∴∠HMF＝∠CNF，
∴△HFM≌△CFN（AAS），
∴HM＝CN，
∵AM＝AH+HM，
∴；
（3）解：过点D作DH⊥AC交AC延长线与H，连接FH，
∵BD∥AC，∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝∠CBD＝90°，
∵DH⊥AC，
∴四边形BCHD是矩形，
∴BC＝DH＝AC，
∵点F是AD的中点，且AF＝AC，
∴AD＝2AF＝2DH＝2FH＝2DF，
∴△FDH是等边三角形，
∴∠DFH＝∠FDH＝60°，
∴∠BDA＝∠DAH＝30°，
∴∠FHA＝∠FAH＝30°，
由旋转的性质可得FQ＝FP，∠PFQ＝60°＝∠DFH，
∴∠DFQ＝∠HFP，
∴△DFQ≌△HFP（SAS），
∴∠FDQ＝∠FHP＝30°，
∴点Q在直线DQ上运动，
设直线DQ交FH于K，则DK⊥FH，，，
∴∠BDQ＝60°，
由垂线段最短可知，当BQ⊥DQ时，BQ有最小值，
∴∠DBQ＝30°，
设AC＝DH＝6a，则，
∴，
∴，
∴，
在Rt△DFK中，，
∴，
∴QK＝DK﹣DQ＝3a，
在Rt△FQK中，由勾股定理得，
∵△DFQ≌△HFP，
∴，
∴，
∴由折叠的性质可得：，
∵FT≤FQ+TQ，
∴，
∴当点Q在线段FT上时，此时有最大值，最大值为，
∴的最大值为．
年级
平均数
中位数
众数
七年级
86
87
b
八年级
86
a
90
甲 乙
A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
1．下列四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
2．下列标点符号中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．反比例函数y＝﹣的图象一定经过的点是（ ）
A．（1，10）B．（﹣2，5）C．（2，5）D．（2，8）
4．如图，AB∥CD，若∠1＝125°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．125°
5．若两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形面积的比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
6．估计的值应在（ ）
A．8和9之间B．9和10之间
C．10和11之间D．11和12之间
7．用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ）
A．20B．21C．23D．26
8．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，则∠OAB的度数为（ ）
A．28°B．34°C．56°D．62°
9．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（ ）
A．2B．C．D．
10．已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+⋯+a1x+a0，其中n，an﹣1，…，a0为自然数，an为正整数，且n+an+an﹣1+⋯+a1+a0＝5．下列说法：
①满足条件的整式M中有5个单项式；
②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个；
③满足条件的整式M共有16个．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
11．计算：|﹣2|+30＝ ．
12．甲、乙两人分别从A、B、C三个景区中随机选取一个景区前往游览，则他们恰好选择同一景区的概率为 ．
13．若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数为 ．
14．重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为 ．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．若BC＝2，则AD的长度为 ．
16．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4，且关于y的分式方程﹣＝1的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
17．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点．连接AC交⊙O于点D，点E是⊙O上一点，连接BE，DE，过点A作AF∥BE交BD的延长线于点F．若BC＝5，CD＝3，∠F＝∠ADE，则AB的长度是 ；DF的长度是 ．
18．一个各数位均不为0的四位自然数M＝，若满足a+d＝b+c＝9，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵1+8＝2+7＝9，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且b﹣a＝c﹣b＝1，则这个数为 ；若M＝是一个“友谊数”，设F（M）＝，且是整数，则满足条件的M的最大值是 ．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（8分）计算：
（1）a（3﹣a）+（a﹣1）（a+2）；
（2）（1+）÷．
20．（10分）数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．
八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”（x≥90）的总共有多少人？
21．（10分）在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：
（1）如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点．用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且EF⊥AC．求证：四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD．
∴① ，∠OCF＝∠OAE．
∵点O是AC的中点，
∴② ．
∴△CFO≌△AEO（AAS）．
∴③ ．
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④ ．
22．（10分）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A、B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A、B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元．
（1）求A、B两种外墙漆每千克的价格各是多少元？
（2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，点P为AB上一点，过点P作PQ∥BC交AC于点Q．设AP的长度为x，点P，Q的距离为y1，△ABC的周长与△APQ的周长之比为y2．
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象；请分别写出函数y1，y2的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
24．（10分）如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西60°方向，C在A的北偏东30°方向，且在B的北偏西15°方向，AB＝2千米．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
（1）求BC的长度（结果精确到0.1千米）；
（2）甲、乙两人从景点D出发去景点B，甲选择的路线为：D﹣C﹣B，乙选择的路线为：D﹣A﹣B．请计算说明谁选择的路线较近？
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x＝．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D，作PE⊥BC于点E，求PD+PE的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿射线BC方向平移个单位，在PD+PE取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接AF交y轴于点M，点N为平移后的抛物线上一点，若∠NMF﹣∠ABC＝45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
26．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点B作BD∥AC．
（1）如图1，若点D在点B的左侧，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E．若点E是BC的中点，求证：AC＝2BD；
（2）如图2，若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，连接BF并延长交AC于点G，连接CF．过点F作FM⊥BG交AB于点M，CN平分∠ACB交BG于点N，求证：AM＝CN+BD；
（3）若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，且AF＝AC．点P是直线AC上一动点，连接FP，将FP绕点F逆时针旋转60°得到FQ，连接BQ，点R是直线AD上一动点，连接BR，QR．在点P的运动过程中，当BQ取得最小值时，在平面内将△BQR沿直线QR翻折得到△TQR，连接FT．在点R的运动过程中，直接写出的最大值．
参考答案
一、选择题
1．解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣1＜0＜1＜2，
∴四个数中，最小的数是﹣1．
故选：A．
2．解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：A．
3．解：当x＝1时，y＝﹣10，
∴图象不经过（1，10），故A选项错误；
当x＝﹣2时，y＝5，
∴图象经过（﹣2，5），故B选项正确；
当x＝2时，y＝﹣5，
∴图象不经过（2，5），（2，8），故C选项、D选项错误；
故选：B．
4．解：如图，
∵∠1+∠3＝180°，∠1＝125°，
∴∠3＝55°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝55°，
故选：C．
5．解：若两个相似三角形的相似比为1：4，
则这两个三角形面积的比是1：16，
故选：D．
6．解：
＝
＝，
∵5.76＜6＜6.25，
∴，
∴2.4＜＜2.5，
∴10.8＜＜11，
故选：C．
7．解：由所给图形可知，
第①个图案中，菱形的个数为：2＝1×3﹣1；
第②个图案中，菱形的个数为：5＝2×3﹣1；
第③个图案中，菱形的个数为：8＝3×3﹣1；
第④个图案中，菱形的个数为：11＝4×3﹣1；
…，
所以第n个图案中，菱形的个数为（3n﹣1）个，
当n＝8时，
3n﹣1＝23（个），
即第⑧个图案中，菱形的个数为23个．
故选：C．
8．解：∵∠D＝28°，
∴∠BOC＝2∠D＝56°．
∵OC⊥AB，
∴点C为的中点，
∴，
∴∠AOC＝∠BOC＝56°，
∴∠AOB＝2×56°＝112°．
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝．
故选：B．
9．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°，
∴在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（SAS），
∴AE＝AF；
∵AM平分∠EAF，
∴∠EAM＝∠FAM，
∴在△AEM和△AFM中，
，
∴△AEM≌△AFM（SAS），
∴EM＝FM；
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°，
设DM＝x，则MC＝CD﹣DM＝4﹣x，CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，EM＝FM＝FD+DM＝1+x，
在Rt△MCE中，根据勾股定理，得EM2＝MC2+CE2，即（1+x）2＝（4﹣x）2+32，
解得x＝．
故选：D．
10．解：∵n，an﹣1，…a0为自然数，an为正整数，且n+an+an﹣1+⋯+a1+a0＝5，
∴0≤n≤4，
当n＝4时，则4+a4+a3+a2+a1+a0＝5，
∴a4＝1，a3＝a2＝a1＝a0＝0，
满足条件的整式有x4，
当n＝3时，则3+a3+a2+a1+a0＝5，
∴（a3，a2，a1，a0）＝（2，0，0，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1），
满足条件的整式有：2x3，x3+x2，x3+x，x3+1，
当n＝2时，则2+a2+a1+a0＝5，
∴（a2，a1，a0）＝（3，0，0），（2，1，0），（2，0，1），（1，2，0），（1，0，2），（1，1，1），
满足条件的整式有：3x2，2x2+x，2x2+1，x2+2x，x2+2，x2+x+1；
当n＝1时，则1+a1+a0＝5，
∴（a1，a0）＝（4，0），（3，1），（1，3），（2，2），
满足条件的整式有：4x，3x+1，x+3，2x+2；
当n＝0时，0+a0＝5，
满足条件的整式有：5；
∴满足条件的单项式有：x4，2x3，3x2，4x，5，故①符合题意；
不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个，故②符合题意；
满足条件的整式M共有1+4+6+4+1＝16个，故③符合题意；
故选：D．
二、填空题
11．解：|﹣2|+30＝2+1＝3，
故答案为：3．
12．解：根据题意列表如下：
由上面表格可得总共有9种可能，其中他们恰好选择同一景区的有3种，
则他们恰好选择同一景区的概率是＝．
故答案为：．
13．解：∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，
∴360°÷45°＝8
即该正多边形的边数为8．
14．解：根据题意得：200（1+x）2＝401．
故答案为：200（1+x）2＝401．
15．解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
又∵∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝36°，
∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC＝2，
∵∠A＝36°，∠ABD＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD＝2，
故答案为：2．
16．解：，
解不等式①，得x≤4，
解不等式②，得x＜a+2，
由题意得a+2＞4，
解得a＞2；
解方程﹣＝1得，
y＝，
当a＝8时，y＝＝﹣1；
当a＝6时，y＝＝﹣2（不合题意，舍去）；
当a＝4时，y＝＝﹣3，
∴符合条件的a有8，4，
∴8+4＝12，
即所有满足条件的整数a的值之和是12．
17．解：∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∵BC＝5，CD＝3，
∴BD＝＝4，
∵BC切圆于B，
∴直径AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵∠BCD＝∠ACB，∠CDB＝∠ABC＝90°，
∴△CDB∽△CBA，
∴DB：BA＝CD：CB，
∴4：AB＝3：5，
∴AB＝，
∵AF∥BE，
∴∠BAF＝∠ABE，
∵∠ABE＝∠ADE，∠F＝∠ADE，
∴∠F＝∠BAF，
∴BF＝AB＝，
∴FD＝BF﹣BD＝﹣4＝．
故答案为：，．
18．解：∵是一个“友谊数”，
∴a+d＝b+c＝9，
又∵b﹣a＝c﹣b＝1，
∴b＝4，c＝5，∴a＝3，d＝6，
∴这个数为3456；
∵是一个“友谊数”，
∴M＝1000a+100b+10c+d＝1000a+100b+10（9﹣b）+9﹣a＝999a+90b+99，
∴，
∴＝＝＝＝，
∵是整数，
∴是整数，即是整数，
∴3a+b+6是13的倍数，
∵a、b、c、d都是不为0的正整数，且a+d＝b+c＝9，
∴a≤8，
∴当a＝8时，31≤3a+b+6≤38，此时不满足3a+b+6是13的倍数，不符合题意；
当a＝7时，28≤3a+b+6≤35，此时不满足3a+b+6是13的倍数，不符合题意；
当a＝6时，25≤3a+b+6≤32，此时可以满足3a+b+6是13的倍数，即此时b＝2，则此时d＝3，c＝7，
∵要使M最大，则一定要满足a最大，
∴满足题意的M的最大值即为6273；
故答案为：3456；6273．
三、解答题
19．解：（1）a（3﹣a）+（a﹣1）（a+2）
＝3a﹣a2+a2+2a﹣a﹣2
＝4a﹣2；
（2）（1+）÷
＝•
＝
＝．
20．解：（1）由题意可知，八年级C组有：10×20%＝2（人），
把被抽取八年级10名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为88，88，故中位数a＝＝88，
在被抽取的七年级10名学生的数学竞赛成绩中，87分出现的次数最多，故众数b＝87，
m%＝1﹣20%﹣×100%＝40%，故m＝40；
故答案为：88，87，40；
（2）八年级学生数学文化知识较好，
理由：因为八年级学生成绩的中位数和众数比七年级的高，所以八年级学生数学文化知识较好；
（3）500×+400×40%＝310（人），
答：估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”（x≥90）的总共有310人．
21．（1）解：图形如图所示：
（2）证明：：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD．
∴①∠OFC＝∠OEA，∠OCF＝∠OAE．
∵点O是AC的中点，
∴②OC＝OA．
∴△CFO≌△AEO（AAS）．
∴③OF＝OE．
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④四边形AECF是菱形．
故答案为：∠OFC＝∠OEA，OC＝OA，OF＝OE，四边形AECF是菱形．
22．解：（1）设A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克的价格是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种外墙漆每千克的价格是26元，B种外墙漆每千克的价格是24元；
（2）设甲每小时粉刷外墙的面积是m平方米，则乙每小时粉刷外墙的面积是m方米，
根据题意得：﹣＝5，
解得：m＝25，
经检验，m＝25是所列方程的解，且符合题意．
答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米．
23．解：（1）∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴，
∴，
∴y1＝x（0＜x≤6）；
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴△ABC的周长：△APQ的周长＝AB：AP，
∴y2＝（0＜x≤6）；
（2）平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象如图所示；
当0＜x＜6时，y1随x的增大而增大；y2随x的增大而减小；
（3）由函数图象得，当y1＞y2时x的取值范围为2.1＜x≤6．
24．解：（1）过B作BE⊥AC于E，如图：
根据已知得∠DAB＝90°，
∵∠DAC＝30°，
∴∠EAB＝60°，∠EBA＝30°，
∴AE＝AB＝1（千米），BE＝AE＝（千米），
∵C在B的北偏西15°方向，
∴∠EBC＝90°﹣30°﹣15°＝45°，
∴△EBC是等腰直角三角形，
∴CE＝BE＝（千米），BC＝BE＝×＝≈2.5（千米），
∴BC的长度约为2.5千米；
（2）过C作CF⊥AD于F，如图：
由（1）知AE＝1千米，CE＝千米，
∴AC＝AE+CE＝（1+）千米，
在Rt△ACF中，CF＝AC＝（千米），AF＝CF＝（千米），
∵D在C的北偏西60°方向，
∴∠DCF＝30°，
∴DF＝＝（千米），CD＝2DF＝（千米），
∴AD+AB＝++2＝≈5.15（千米）；
CD+BC＝+≈4.02（千米），
∴CD+BC＜AD+AB；
∴甲选择的路线比较近．
25．解：∵抛物线 y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x＝，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣3；
（2）如图，延长PE交x轴于G，过P作PH∥y轴于H，
在y＝x2﹣x﹣3中，令y＝0得0＝x2﹣x﹣3，
解得：x1＝﹣1，x2＝6，
∴B（6，0），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴，
∴sin，
∵PD∥x轴，
∴∠PHE＝∠BCO，
∴sin∠PHE＝＝，
∴PE＝PH，
由B（6，0），C（0，﹣3）得直线BC为y＝x﹣3，
设 ，则，
∴，
∵抛物线 的对称轴为直线，
∴PD＝2（x﹣）＝2x﹣5，
∴＝﹣x2+5x﹣5，
∵﹣＜0，
∴当时，取得最大值，最大值为 ，此时P（5，﹣3）；
（3）∵抛物线沿射线BC方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴新的抛物线为y＝（x+2）2﹣（x+2）﹣3﹣1＝x2﹣x﹣7，F的坐标为（3，﹣4），
如图，当N在y轴的左侧时，过N作NK⊥y轴于K，
由A（﹣1，0），F（3，﹣4）得直线AF解析式为y＝﹣x﹣1，
当 x＝0 时，y＝﹣1，
∴M（0，﹣1），
∴∠AMO＝∠OAM＝45°＝∠FMK，
∵∠NMF﹣∠ABC＝45°，
∴∠NMK+45°﹣∠ABC＝45°，
∴∠NMK＝∠ABC，
∴tan∠NMK＝tan∠ABC＝＝＝，
设，
∴，
解得： 或 （舍去），
∴；
如图，当N在y轴的右侧时，过M作y轴的垂线MT，过N′作N'T⊥MT于T，
同理可得∠N'MT＝∠ABC，
设，则T（x，﹣1），
同理可得：，
∴ 或x＝ （舍去），
∴，
综上所述，N的坐标为（，4﹣）或（1+，）．
26．证明：（1）∵∠ACB＝90°，BD∥AC，
∴∠CBD＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵AE⊥CD，
∴∠ACD+∠CAE＝90°，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠CAE＝∠BCD，
又∵AC＝CB，∠CBD＝∠ACE＝90°，
∴△ACE≌△CBD（ASA），
∴BD＝CE，
∵点E是BC的中点，
∴BC＝2CE＝2BD，
∴AC＝2BD；
证明：（2）过点G作GH⊥AB于H，连接HF，
∵BD∥AC，
∴∠FBD＝∠FGA，∠D＝∠FAG，
∵点F是AD的中点，
∴AF＝DF，
∴△AGF≌△DBF（AAS），
∴AG＝BD，BF＝GF，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°，
∵GH⊥AH，
∴△AHG是等腰直角三角形，
∴，
∵∠BHG＝∠BCG＝90°，BF＝GF，
∴，
∴∠FBH＝∠FHB，∠FBC＝∠FCB，
∴∠GFH＝∠FBH+∠FHB＝2∠FBH，∠GFC＝∠FBC+∠FCB＝2∠FBC，
∴∠HFC＝∠GFH+∠GFC＝2∠FBH+2∠FBC＝2∠ABC＝90°，
∵FM⊥BG，
∴∠BFM＝90°，
∴∠HFM＝∠CFN，
设∠CBG＝x，则∠ABG＝45°﹣x，∠CGB＝90°﹣x，
∴∠HMF＝∠BFM+∠FBM＝135°﹣x，
∵CN平分∠ACB，
∴，
∴∠CNF＝∠CGN+∠GCN＝135°﹣x，
∴∠HMF＝∠CNF，
∴△HFM≌△CFN（AAS），
∴HM＝CN，
∵AM＝AH+HM，
∴；
（3）解：过点D作DH⊥AC交AC延长线与H，连接FH，
∵BD∥AC，∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝∠CBD＝90°，
∵DH⊥AC，
∴四边形BCHD是矩形，
∴BC＝DH＝AC，
∵点F是AD的中点，且AF＝AC，
∴AD＝2AF＝2DH＝2FH＝2DF，
∴△FDH是等边三角形，
∴∠DFH＝∠FDH＝60°，
∴∠BDA＝∠DAH＝30°，
∴∠FHA＝∠FAH＝30°，
由旋转的性质可得FQ＝FP，∠PFQ＝60°＝∠DFH，
∴∠DFQ＝∠HFP，
∴△DFQ≌△HFP（SAS），
∴∠FDQ＝∠FHP＝30°，
∴点Q在直线DQ上运动，
设直线DQ交FH于K，则DK⊥FH，，，
∴∠BDQ＝60°，
由垂线段最短可知，当BQ⊥DQ时，BQ有最小值，
∴∠DBQ＝30°，
设AC＝DH＝6a，则，
∴，
∴，
∴，
在Rt△DFK中，，
∴，
∴QK＝DK﹣DQ＝3a，
在Rt△FQK中，由勾股定理得，
∵△DFQ≌△HFP，
∴，
∴，
∴由折叠的性质可得：，
∵FT≤FQ+TQ，
∴，
∴当点Q在线段FT上时，此时有最大值，最大值为，
∴的最大值为．
年级
平均数
中位数
众数
七年级
86
87
b
八年级
86
a
90
甲 乙
A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
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