江西省南昌市八一中学2022-2023学年高二上学期2月期末考试数学试题及参考答案

这是一份江西省南昌市八一中学2022-2023学年高二上学期2月期末考试数学试题及参考答案，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 空间直角坐标系中、两点坐标分别为、，则、两点间距离为( )
A. B. C. D.
2. 现从名学生干部中选出名同学分别参加全校资源、生态和环保个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是( )
A. B. C. D.
3. 已知，则( )
A. B. C. D.
4. 如图，在四面体中，是的中点，设，，，则( )
A. B.
C. D.
5. 已知随机变量的分布列如下表，若，，则( )
A. B. C. D.
6. 若的展开式中的系数为，则( )
A. B. C. D.
7. 直线的方向向量为，且过点，则点到的距离为( )
A. B. C. D.
8. 如图，长方体中，，，为的中点，则异面直
线与之间的距离是( )
A. B. C. D.
二、选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，只有多项是符合题目要求的，全部选对得5份，部分选对得2份，有选错的得0分.
9. 已知曲线，则下列说法正确的是( )
A. 若，，且，则曲线是椭圆
B. 若，则曲线是焦点在轴上的椭圆
C. 若，则曲线是焦点在轴上的双曲线
D. 曲线可以是抛物线
10. 已知二项式，则下列说法正确的是( )
A. 展开式中的常数项为
B. 展开式中含项的系数是
C. 展开式中各项系数之和为
D. 展开式中的二项式系数最大项为第项
11. 如图，正方体的棱长为，是的中点，则下列说法正确的是( )
A. 直线平面
B.
C. 三棱锥的体积为
D. 直线与平面所成的角为
12. 某校组织“喜迎二十大，奋进新征程”线上演讲比赛，经预选有甲、乙、丙、丁、戊五名同学进入复赛，在复赛中采用抽签法决定演讲顺序，记事件：学生甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，：学生乙第一个出场，则下列结论中正确的是( )
A. 事件中包括种情况B. C. D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.
13. 已知向量，，则__________. ．
14. 已知二项式的展开式中，第二项和第四项的二项式系数相等，则__________. ．
15. 设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为，第二车间的次品率为，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第，车间生产的成品比例为，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率为 __________. ．
16. 电报发射台发出“”和“”的比例为，由于干扰，传送“”时失真的概率为，传送“”时失真的概率为，则接受台收到“”时发出信号恰是“”的概率为__________. ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分10分）设有编号为，，，，的五个小球和编号为，，，，的五个盒子，现将这五个小球放入五个盒子中．
若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法
每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法
18.（本小题满分12分）设，求下列各式的值．
求；
求；
19. （本小题满分12分）某高校在今年的自主招生考试中制定了如下的规则：笔试阶段，考生从道备选试题中一次性抽取道题，并独立完成所抽取的道题，至少正确完成其中道试题则可以进入面试．已知考生甲能正确完成道试题中的道题，另外道题不能完成．
求考生甲能通过笔试进入面试的概率；
记所抽取的三道题中考生甲能正确完成的题数为，求的分布列和数学期望．
20. （本小题满分12分）在一次数学考试中，第题和第题为选做题，规定每位考生必须且只需在其中选做一题，设名考生选做这两题的可能性均为．
求其中甲、乙两人选做同一道题的概率；
设这名考生中选做第题的学生个数为，求的分布列和数学期望；
21. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点．
求证：平面平面；
若直线与平面所成角的正弦值为时，求点到平面的距离．
22. （本小题满分12分）如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，且经过点，直线恒过定点且交椭圆于两点，为的中点．
求椭圆的标准方程
记的面积为，求的最大值．
高二数学期末考试参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
13. 14. 15. 16.
17. 解：编号为，，，，的五个小球放入编号为，，，，的五个盒子中有种方法，球的编号与盒子编号完全相同的有种，利用间接法可知满足题意的投放方法为种．
分为三类：
第一类，五个球的编号与盒子的编号完全相同的投放方法有种
第二类，三个球的编号与盒子的编号相同，其中球的编号与盒子的编号相同的投放方法有种，球的编号与盒子的编号不同的投放方法有种，所以投放方法有种
第三类，两个球的编号与盒子的编号相同，其中个球的编号与盒子的编号相同的投放方法有种，球的编号与盒子的编号不同的投放方法有种，所以投放方法有种．
根据分类加法计数原理得，所有的投放方法有种．

解：令，得．
令，可得，
令，可得．
结合可得，
．
19. 解：Ⅰ考生从道备选试题中一次性抽取道题所包含的基本事件总数为，
考生甲能通过笔试进入面试所包含的基本事件个数为，
所以考生甲至少正确完成道题的概率为；
Ⅱ随机变量的所有可能取值为，，，
则，，，
所以的分布列为：
故E．
20. 解：设事件表示“甲选做第题”，事件表示“乙选做第题”，
则“甲选做第题”为，“乙选做第题”为，
进而可得，甲、乙名学生选做同一道题的事件为“”，且事件、相互独立．
；
随机变量的可能取值为，，，，，且
，
变量的分布列为：
．

21. 解：证明：底面，又底面，
，又易知，且，
平面，
平面，又平面，
平面平面；
建系如图，根据题意可得：
，，，，，
设，，
则，
，
又易知平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
解得，
，又，设平面的法向量为，
则，取，又，
点到平面的距离为
．
22. 解：由题意可得，直线恒过定点，
因为为的中点，所以，即．
因为椭圆经过点，
所以，解得，
所以椭圆的方程为．
设，
由得，恒成立，
则，，
则
，
又因为点到直线的距离，
所以
，
令，则，
因为，在上单调递增，
所以当时，为，
此时直线方程为，面积取得最大值为．
即的最大值为．